Teorema de Torelli

En matemáticas , el teorema de Torelli , llamado así por Ruggiero Torelli , es un resultado clásico de la geometría algebraica sobre el cuerpo de números complejos , que establece que una curva algebraica proyectiva no singular ( superficie compacta de Riemann ) C está determinada por su variedad jacobiana J ( C ), cuando esta última se da en forma de una variedad abeliana principalmente polarizada . En otras palabras, el toro complejo J ( C ), con ciertas 'marcas', es suficiente para recuperar C . La misma afirmación se aplica a cualquier cuerpo algebraicamente cerrado . ^[1] A partir de información más precisa sobre el isomorfismo construido de las curvas se deduce que si las variedades jacobianas canónicamente principalmente polarizadas de las curvas de género son k -isomorfas para k cualquier cuerpo perfecto , también lo son las curvas. ^[2] ${\displaystyle \geq 2}$

Este resultado ha tenido muchas extensiones importantes. Puede reformularse para leer que un cierto morfismo natural , la aplicación de período , del espacio de módulos de curvas de un género fijo , a un espacio de módulos de variedades abelianas , es inyectivo (en puntos geométricos ). Las generalizaciones van en dos direcciones. En primer lugar, a cuestiones geométricas sobre ese morfismo, por ejemplo el teorema local de Torelli . En segundo lugar, a otras aplicaciones de período. Un caso que se ha investigado profundamente es para superficies K3 (por Viktor S. Kulikov, Ilya Pyatetskii-Shapiro , Igor Shafarevich y Fedor Bogomolov ) ^[3] y variedades de hyperkähler (por Misha Verbitsky , Eyal Markman y Daniel Huybrechts ). ^[4]

• Ruggiero Torelli (1913). "Sulle varietà di Jacobi". Rendiconti della Reale accademia nazionale dei Lincei . 22 (5): 98-103.
• André Weil (1957). "Zum Beweis des Torellischen Satzes". Nachr. Akád. Wiss. Göttingen, Matemáticas-Física. Kl . IIa : 32–53.
• Cornell, Gary; Silverman, Joseph , eds. (1986), Geometría aritmética , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-96311-0, Sr.  0861969