Superficie de Riemann

En matemáticas , particularmente en análisis complejo , una superficie de Riemann es una variedad compleja unidimensional conectada . Estas superficies fueron estudiadas por primera vez por Bernhard Riemann y recibieron su nombre en honor a él . Las superficies de Riemann pueden considerarse versiones deformadas del plano complejo : localmente cerca de cada punto parecen parches del plano complejo, pero la topología global puede ser bastante diferente. Por ejemplo, pueden parecer una esfera o un toro o varias láminas pegadas entre sí.

Los ejemplos de superficies de Riemann incluyen gráficos de funciones multivalor como √z o log(z) , por ejemplo, el subconjunto de pares ( z,w ) ∈ C ² con w = log(z) .

Toda superficie de Riemann es una superficie : una variedad real bidimensional , pero contiene más estructura (específicamente una estructura compleja ). Por el contrario, una variedad real bidimensional puede convertirse en una superficie de Riemann (generalmente de varias maneras no equivalentes) si y solo si es orientable y metrizable . Dado esto, la esfera y el toro admiten estructuras complejas, pero la banda de Möbius , la botella de Klein y el plano proyectivo real no. Toda superficie de Riemann compacta es una curva algebraica compleja según el teorema de Chow y el teorema de Riemann-Roch .

Existen varias definiciones equivalentes de una superficie de Riemann.

1. Una superficie de Riemann X es una variedad compleja conexa de dimensión compleja uno. Esto significa que X es un espacio de Hausdorff conexo que está dotado de un atlas de cartas al disco unitario abierto del plano complejo : para cada punto x ∈ X hay un entorno de x que es homeomorfo al disco unitario abierto del plano complejo, y se requiere que las funciones de transición entre dos cartas superpuestas sean holomorfas . ^[1]
2. Una superficie de Riemann es una variedad orientada de dimensión (real) dos –una superficie de dos lados– junto con una estructura conforme . Nuevamente, variedad significa que localmente en cualquier punto x de X , el espacio es homeomorfo a un subconjunto del plano real. El suplemento "Riemann" significa que X está dotado de una estructura adicional que permite la medición de ángulos en la variedad, a saber, una clase de equivalencia de las llamadas métricas de Riemann . Dos de estas métricas se consideran equivalentes si los ángulos que miden son los mismos. La elección de una clase de equivalencia de métricas en X es el dato adicional de la estructura conforme.

Una estructura compleja da lugar a una estructura conforme al elegir la métrica euclidiana estándar dada en el plano complejo y transportarla a X por medio de los diagramas. Demostrar que una estructura conforme determina una estructura compleja es más difícil. ^[2]

• 
  f ( z ) = arcoseno z
• 
  f ( z ) = logaritmo z
• 
  f ( z ) = z ^1/2
• 
  f ( z ) = z ^1/3
• 
  f ( z ) = z ^1/4

Como sucede con cualquier función entre variedades complejas, una función f : M → N entre dos superficies de Riemann M y N se denomina holomorfa si para cada carta g en el atlas de M y cada carta h en el atlas de N , la función h ∘ f ∘ g ⁻¹ es holomorfa (como función de C a C ) dondequiera que esté definida. La composición de dos funciones holomorfas es holomorfa. Las dos superficies de Riemann M y N se denominan biholomorfas (o equivalentes conformes para enfatizar el punto de vista conforme) si existe una función holomorfa biyectiva de M a N cuya inversa también es holomorfa (resulta que la última condición es automática y, por lo tanto, puede omitirse). Dos superficies de Riemann equivalentes conformes son idénticas para todos los efectos prácticos.

Cada superficie de Riemann, al ser una variedad compleja, es orientable como una variedad real. Para las cartas complejas f y g con función de transición h = f ( g ⁻¹ ( z )), h puede considerarse como una función de un conjunto abierto de R ² a R ² cuyo jacobiano en un punto z es simplemente la función lineal real dada por la multiplicación por el número complejo h '( z ). Sin embargo, el determinante real de la multiplicación por un número complejo α es igual a | α | ² , por lo que el jacobiano de h tiene determinante positivo. En consecuencia, el atlas complejo es un atlas orientado.

Toda superficie de Riemann no compacta admite funciones holomorfas no constantes (con valores en C ). De hecho, toda superficie de Riemann no compacta es una variedad de Stein .

Por el contrario, en una superficie compacta de Riemann X toda función holomorfa con valores en C es constante debido al principio del máximo . Sin embargo, siempre existen funciones meromorfas no constantes (funciones holomorfas con valores en la esfera de Riemann C ∪ {∞}). Más precisamente, el cuerpo de funciones de X es una extensión finita de C ( t ), el cuerpo de funciones en una variable, es decir, dos funciones meromorfas cualesquiera son algebraicamente dependientes. Esta afirmación se generaliza a dimensiones superiores, véase Siegel (1955). Las funciones meromorfas se pueden dar de forma bastante explícita, en términos de funciones theta de Riemann y la función Abel–Jacobi de la superficie.

Todas las superficies compactas de Riemann son curvas algebraicas, ya que pueden incrustarse en algún . Esto se desprende del teorema de incrustación de Kodaira y del hecho de que existe un fibrado de líneas positivo en cualquier curva compleja. ^[3]${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

La existencia de funciones meromórficas no constantes se puede utilizar para demostrar que cualquier superficie compacta de Riemann es una variedad proyectiva , es decir, puede darse por ecuaciones polinómicas dentro de un espacio proyectivo . En realidad, se puede demostrar que cada superficie compacta de Riemann se puede incrustar en un 3-espacio proyectivo complejo . Este es un teorema sorprendente: las superficies de Riemann se dan mediante gráficos de parcheo local. Si se agrega una condición global, a saber, compacidad, la superficie es necesariamente algebraica. Esta característica de las superficies de Riemann permite estudiarlas con los medios de la geometría analítica o algebraica . La afirmación correspondiente para objetos de dimensiones superiores es falsa, es decir, hay 2-variedades complejas compactas que no son algebraicas. Por otro lado, cada variedad compleja proyectiva es necesariamente algebraica, véase el teorema de Chow .

Como ejemplo, considere el toro T  :=  C /( Z  +  τ Z ). La función de Weierstrass que pertenece a la red Z  +  τ Z es una función meromórfica en T . Esta función y su derivada generan el campo de funciones de T . Existe una ecuación ${\displaystyle \wp _{\tau }(z)}$ ${\displaystyle \wp _{\tau }'(z)}$

${\displaystyle [\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},}$

donde los coeficientes g ₂ y g ₃ dependen de τ, lo que da una curva elíptica E _τ en el sentido de la geometría algebraica. La inversión de esta ecuación se logra mediante el invariante j ( E ), que se puede utilizar para determinar τ y, por lo tanto, un toro.

El conjunto de todas las superficies de Riemann se puede dividir en tres subconjuntos: superficies de Riemann hiperbólicas, parabólicas y elípticas. Geométricamente, estas corresponden a superficies con curvatura seccional constante negativa, nula o positiva . Es decir, toda superficie de Riemann conexa admite una única métrica de Riemann real bidimensional completa con curvatura constante igual o que pertenece a la clase conforme de métricas de Riemann determinadas por su estructura como superficie de Riemann. Esto puede verse como una consecuencia de la existencia de coordenadas isotérmicas . ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización -1,0}$${\estilo de visualización 1}$

En términos analíticos complejos, el teorema de uniformización de Poincaré-Koebe (una generalización del teorema de mapeo de Riemann ) establece que cada superficie de Riemann simplemente conexa es conformemente equivalente a una de las siguientes:

• La esfera de Riemann , que es isomorfa a la ;${\displaystyle {\widehat {\mathbf {C} }}:=\mathbf {C} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$
• El plano complejo ;${\displaystyle \mathbf {C}}$
• El disco abierto que es isomorfo al semiplano superior .${\displaystyle \mathbf {D} :=\{z\in \mathbf {C} :|z|<1\}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} :=\{z\in \mathbf {C} :\mathrm {Im} (z)>0\}}$

Una superficie de Riemann es elíptica, parabólica o hiperbólica según su recubrimiento universal sea isomorfo a , o a . Los elementos de cada clase admiten una descripción más precisa. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$${\displaystyle \mathbf {C}}$${\displaystyle \mathbf {D}}$

La esfera de Riemann es el único ejemplo, ya que no hay ningún grupo que actúe sobre ella mediante transformaciones biholomórficas de manera libre y propiamente discontinua y, por lo tanto, cualquier superficie de Riemann cuya cubierta universal sea isomorfa a ella debe ser, a su vez, isomorfa a ella. ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$

Si es una superficie de Riemann cuya cubierta universal es isomorfa al plano complejo , entonces es isomorfa a una de las siguientes superficies: ${\estilo de visualización X}$${\displaystyle \mathbf {C}}$

• ${\displaystyle \mathbf {C}}$sí mismo;
• El cociente ;${\displaystyle \mathbf {C} /\mathbf {Z} }$
• Un cociente donde con .${\displaystyle \mathbf {C} /(\mathbf {Z} +\mathbf {Z} \tau )}$${\displaystyle \tau \in \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathrm {Im} (\tau )>0}$

Topológicamente sólo hay tres tipos: el plano, el cilindro y el toro . Pero mientras que en los dos primeros casos la estructura superficial (parabólica) de Riemann es única, variando el parámetro en el tercer caso se obtienen superficies de Riemann no isomorfas. La descripción por el parámetro da el espacio de Teichmüller de superficies de Riemann "marcadas" (además de la estructura superficial de Riemann se añaden los datos topológicos de una "marcación", que puede verse como un homeomorfismo fijo al toro). Para obtener el espacio de módulos analítico (olvidando la marcación) se toma el cociente del espacio de Teichmüller por el grupo de clases de aplicación . En este caso es la curva modular . ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$

En los casos restantes se trata de una superficie de Riemann hiperbólica, que es isomorfa a un cociente del semiplano superior por un grupo fuchsiano (a esto a veces se le llama modelo fuchsiano para la superficie). El tipo topológico de puede ser cualquier superficie orientable excepto el toro y la esfera . ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Un caso de particular interés es cuando es compacto. En ese caso, su tipo topológico se describe por su género . Su espacio de Teichmüller y su espacio de módulos son de dimensión . Se puede dar una clasificación similar de las superficies de Riemann de tipo finito (es decir, homeomorfas a una superficie cerrada menos un número finito de puntos). Sin embargo, en general, el espacio de módulos de las superficies de Riemann de tipo topológico infinito es demasiado grande para admitir tal descripción. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g\geq 2}$${\displaystyle 6g-6}$

La clasificación geométrica se refleja en las aplicaciones entre superficies de Riemann, como se detalla en el teorema de Liouville y el teorema de Little Picard : las aplicaciones de hiperbólica a parabólica a elíptica son fáciles, pero las aplicaciones de elíptica a parabólica o de parabólica a hiperbólica son muy restringidas (de hecho, ¡generalmente constantes!). Hay inclusiones del disco en el plano en la esfera: pero cualquier aplicación holomorfa de la esfera al plano es constante, cualquier aplicación holomorfa del plano al disco unidad es constante (teorema de Liouville), y de hecho cualquier aplicación holomorfa del plano al plano menos dos puntos es constante (teorema de Little Picard). ${\displaystyle \Delta \subset \mathbf {C} \subset {\widehat {\mathbf {C} }},}$

Estas afirmaciones se aclaran considerando el tipo de esfera de Riemann con una serie de perforaciones. Sin perforaciones, es la esfera de Riemann, que es elíptica. Con una perforación, que puede colocarse en el infinito, es el plano complejo, que es parabólico. Con dos perforaciones, es el plano perforado o alternativamente el anillo o cilindro, que es parabólico. Con tres o más perforaciones, es hiperbólica - compárese con pair of pants . Se puede mapear de una perforación a dos, a través del mapa exponencial (que es entero y tiene una singularidad esencial en el infinito, por lo que no está definido en el infinito, y omite cero e infinito), pero todos los mapas de cero perforaciones a una o más, o de una o dos perforaciones a tres o más son constantes. ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {C} }}}$

Siguiendo en esta línea, las superficies de Riemann compactas pueden mapearse a superficies de género inferior , pero no a género superior , excepto como mapas constantes. Esto se debe a que los mapas holomorfos y meromórficos se comportan localmente como tales , por lo que los mapas no constantes son mapas de recubrimiento ramificados , y para las superficies de Riemann compactas estos están restringidos por la fórmula de Riemann-Hurwitz en topología algebraica , que relaciona la característica de Euler de un espacio y un recubrimiento ramificado. ${\displaystyle z\mapsto z^{n},}$

Por ejemplo, las superficies de Riemann hiperbólicas son espacios de recubrimiento ramificados de la esfera (tienen funciones meromórficas no constantes), pero la esfera no cubre ni se asigna de otro modo a superficies de género superiores, excepto como una constante.

El grupo de isometría de una superficie de Riemann uniformizada (equivalentemente, el grupo de automorfismo conforme ) refleja su geometría:

• género 0 – el grupo de isometría de la esfera es el grupo de Möbius de transformadas proyectivas de la línea compleja,
• el grupo de isometría del plano es el subgrupo que fija el infinito, y del plano perforado es el subgrupo que deja invariante el conjunto que contiene sólo el infinito y el cero: o bien fijándolos ambos, o bien intercambiándolos (1/ z ).
• El grupo de isometría del semiplano superior es el grupo real de Möbius; este es conjugado al grupo de automorfismos del disco.
• género 1 – el grupo de isometría de un toro es en general traslaciones (como una variedad abeliana ), aunque la red cuadrada y la red hexagonal tienen simetrías de adición debido a una rotación de 90° y 60°.
• Para el género g  ≥ 2, el grupo de isometría es finito y tiene orden como máximo 84( g  − 1), por el teorema de automorfismos de Hurwitz ; las superficies que realizan este límite se denominan superficies de Hurwitz.
• Se sabe que todo grupo finito puede realizarse como el grupo completo de isometrías de alguna superficie de Riemann. ^[4]
  • Para el género 2 el orden se maximiza por la superficie de Bolza , con orden 48.
  • Para el género 3, el orden se maximiza mediante la superficie cuártica de Klein , con orden 168; esta es la primera superficie de Hurwitz, y su grupo de automorfismos es isomorfo al único grupo simple de orden 168, que es el segundo grupo simple no abeliano más pequeño. Este grupo es isomorfo tanto a PSL(2,7) como a PSL(3,2) .
  • Para el género 4, la superficie de Bring es una superficie altamente simétrica.
  • Para el género 7, el orden se maximiza mediante la superficie Macbeath , con orden 504; esta es la segunda superficie de Hurwitz, y su grupo de automorfismo es isomorfo a PSL(2,8), el cuarto grupo simple no abeliano más pequeño.

El esquema de clasificación anterior es utilizado normalmente por los geómetras. Existe una clasificación diferente para las superficies de Riemann que es utilizada normalmente por los analistas complejos. Emplea una definición diferente para "parabólica" e "hiperbólica". En este esquema de clasificación alternativo, una superficie de Riemann se llama parabólica si no hay funciones subarmónicas negativas no constantes en la superficie y de lo contrario se llama hiperbólica . ^{[5] [6]} Esta clase de superficies hiperbólicas se subdivide a su vez en subclases según si los espacios de funciones distintos de las funciones subarmónicas negativas son degenerados, por ejemplo, superficies de Riemann en las que todas las funciones holomorfas acotadas son constantes, o en las que todas las funciones armónicas acotadas son constantes, o en las que todas las funciones armónicas positivas son constantes, etc.

Para evitar confusiones, llamaremos a la clasificación basada en métricas de curvatura constante clasificación geométrica y a la basada en la degeneración de espacios de funciones clasificación funcional-teórica . Por ejemplo, la superficie de Riemann que consiste en "todos los números complejos excepto 0 y 1" es parabólica en la clasificación funcional-teórica pero es hiperbólica en la clasificación geométrica.

• Dibujo infantil
• Colector Kähler
• Superficie de Lorentz
• Grupo de clases de mapeo
• Dualidad de Serre

• Teorema de ramificación
• Teorema de automorfismos de Hurwitz
• Teorema de identidad para superficies de Riemann
• Teorema de Riemann-Roch
• Fórmula de Riemann-Hurwitz

• "Superficie de Riemann", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• McMullen, C. "Análisis complejo sobre superficies de Riemann, Matemáticas 213b" (PDF) . Harvard Math . Universidad de Harvard.