Teorema de ramificación

En matemáticas , el teorema de ramificación es un teorema sobre superficies de Riemann . Intuitivamente, afirma que toda función holomorfa no constante es localmente un polinomio .

Dejar${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$sean superficies de Riemann, y dejemos que${\displaystyle f:X\to Y}$Sea una aplicación holomorfa no constante. Fije un punto.${\displaystyle a\in X}$y establecer${\displaystyle b:=f(a)\in Y}$. Entonces existen${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$y gráficos${\displaystyle \psi _{1}:U_{1}\to V_{1}}$en${\displaystyle X}$y${\displaystyle \psi _{2}:U_{2}\to V_{2}}$en${\displaystyle Y}$de tal manera que

• ${\displaystyle \psi _{1}(a)=\psi _{2}(b)=0}$; y
• ${\displaystyle \psi _{2}\circ f\circ \psi _{1}^{-1}:V_{1}\to V_{2}}$es${\displaystyle z\mapsto z^{k}.}$

Este teorema da lugar a varias definiciones:

• Nosotros llamamos${\displaystyle k}$la multiplicidad de${\displaystyle f}$en${\displaystyle a}$Algunos autores lo denominan así.${\displaystyle \nu (f,a)}$.
• Si${\displaystyle k>1}$, el punto${\displaystyle a}$se llama punto de ramificación de${\displaystyle f}$.
• Si${\displaystyle f}$No tiene puntos de ramificación, se denomina no ramificado . Véase también morfismo no ramificado .

• Ahlfors, Lars (1979), Análisis complejo (3.ª  ed.), McGraw Hill, ISBN 0-07-000657-1.