Superficie del género g

En matemáticas, una superficie de género g (también conocida como toro g o toro con agujeros g ) es una superficie formada por la suma conectada de g toros distintos : se elimina el interior de un disco de cada uno de los g toros distintos y se identifican (pegan) los límites de los g discos, formando un toro g . El género de dicha superficie es g .

Una superficie de género g es una variedad bidimensional . El teorema de clasificación para superficies establece que toda variedad bidimensional compacta y conexa es homeomorfa a la esfera, a la suma conexa de toros o a la suma conexa de planos proyectivos reales .

El género de una superficie orientable conexa es un número entero que representa el número máximo de cortes a lo largo de curvas simples cerradas que no se intersecan sin que la variedad resultante se vuelva desconectada. ^{[ 1 ]} Es igual al número de asas en ella. Alternativamente, puede definirse en términos de la característica de Euler χ , mediante la relación χ  =  2  −  2 g para superficies cerradas , donde g es el género.

El género (a veces llamado semigénero o género de Euler) de una superficie cerrada no orientable y conexa es un número entero positivo que representa la cantidad de extremos unidos a una esfera. Alternativamente, se puede definir para una superficie cerrada en términos de la característica de Euler χ , mediante la relación χ = 2 − g , donde g es el género no orientable.

Una superficie orientable de género cero es la esfera S ² . Otra superficie de género cero es el disco .

• Representaciones de superficies de género 0
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  Una esfera${\displaystyle S^{2}}$
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  Un disco cerrado (con límite)
• 
  Según la conjetura de Heawood , puede colorearse con hasta 4 regiones mutuamente adyacentes.

Una superficie orientable de género uno es el toro ordinario. Una superficie no orientable de género uno es el plano proyectivo . ^{[ 2 ]}

Las curvas elípticas sobre los números complejos pueden identificarse con superficies de género 1. La formulación de las curvas elípticas como la incrustación de un toro en el plano proyectivo complejo se deriva naturalmente de una propiedad de las funciones elípticas de Weierstrass que permite obtener curvas elípticas a partir del cociente del plano complejo por una red . ^{[ 3 ]}

• Representaciones de superficies del género 1
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  Un toroide de género 1
• 
  Se puede colorear con hasta 7 regiones mutuamente adyacentes.
• 
  (Puntos reales de) una curva elíptica

El término toro doble se usa ocasionalmente para denotar una superficie de género 2. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Una superficie no orientable de género dos es la botella de Klein .

La superficie de Bolza es la superficie de Riemann más simétrica de género  2, en el sentido de que tiene el grupo de automorfismos conformes más grande posible . ^{[ 6 ]}

• Representaciones de superficies de género 2
• 
  Un toroide de género 2
• 
  Se puede colorear con hasta 8 regiones mutuamente adyacentes.

El término toro triple también se usa ocasionalmente para denotar una superficie de género 3. ^{[ 7 ] [ 5 ]}

La cuártica de Klein es una superficie de Riemann compacta de género 3 con el grupo de automorfismos de orden más alto posible para superficies de Riemann compactas de género 3. Tiene 168 automorfismos que preservan la orientación y 336 automorfismos en total.

• Varias superficies del género 3
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  Una esfera con tres asas
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  La suma conectada de tres toros
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  Toro triple
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  Se puede colorear con hasta 9 regiones mutuamente adyacentes.
• 
  Dodecágono con bordes opuestos identificados ^{[ 8 ]}
• 
  Tetradecágono con bordes opuestos identificados ^{[ 8 ]}

• Toro trigonal
• nudo g-toroide

• James R. Munkres , Topología, Segunda edición , Prentice-Hall, 2000, ISBN 0-13-181629-2.
• William S. Massey , Topología algebraica: una introducción , Harbrace, 1967.