Campo finito

En matemáticas , un cuerpo finito o cuerpo de Galois (llamado así en honor a Évariste Galois ) es un cuerpo que contiene un número finito de elementos . Como ocurre con cualquier cuerpo, un cuerpo finito es un conjunto sobre el que las operaciones de multiplicación, adición, sustracción y división están definidas y satisfacen ciertas reglas básicas. Los ejemplos más comunes de cuerpos finitos son los números enteros módulo${\displaystyle p}$ cuando es un número primo . ${\displaystyle p}$

El orden de un cuerpo finito es su número de elementos, que puede ser un número primo o una potencia prima . Para cada número primo y cada entero positivo existen cuerpos de orden . Todos los cuerpos finitos de un orden dado son isomorfos . ${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p^{k}}$

Los campos finitos son fundamentales en varias áreas de las matemáticas y la informática , incluidas la teoría de números , la geometría algebraica , la teoría de Galois , la geometría finita , la criptografía y la teoría de la codificación .

Un cuerpo finito es un conjunto finito que es un cuerpo ; esto significa que la multiplicación, la suma, la resta y la división (excluyendo la división por cero) están definidas y satisfacen las reglas de la aritmética conocidas como axiomas de cuerpo .

El número de elementos de un cuerpo finito se denomina orden o, a veces, tamaño . Un cuerpo finito de orden existe si y solo si es una potencia prima (donde es un número primo y es un entero positivo). En un cuerpo de orden , la suma de copias de cualquier elemento siempre da como resultado cero; es decir, la característica del cuerpo es . ${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p^{k}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p^{k}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

Para , todos los campos de orden son isomorfos (véase § Existencia y unicidad más abajo). ^[1] Además, un campo no puede contener dos subcampos finitos diferentes con el mismo orden. Por lo tanto, se pueden identificar todos los campos finitos con el mismo orden, y se los denota inequívocamente como , o , donde las letras GF significan "campo de Galois". ^[2]${\displaystyle q=p^{k}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$

En un cuerpo finito de orden , el polinomio tiene todos los elementos del cuerpo finito como raíces . Los elementos distintos de cero de un cuerpo finito forman un grupo multiplicativo . Este grupo es cíclico , por lo que todos los elementos distintos de cero se pueden expresar como potencias de un único elemento llamado elemento primitivo del cuerpo. (En general, habrá varios elementos primitivos para un cuerpo dado). ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X^{q}-X}$${\displaystyle q}$

Los ejemplos más simples de campos finitos son los campos de orden primo: para cada número primo , el cuerpo primo de orden puede construirse como los enteros módulo , . ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

Los elementos del cuerpo primo de orden pueden representarse mediante números enteros en el rango . La suma, la diferencia y el producto son el resto de la división por del resultado de la operación entera correspondiente. El inverso multiplicativo de un elemento puede calcularse utilizando el algoritmo euclidiano extendido (véase Algoritmo euclidiano extendido § Enteros modulares ). ${\displaystyle p}$${\displaystyle 0,\ldots ,p-1}$${\displaystyle p}$

Sea un cuerpo finito. Para cualquier elemento de y cualquier entero , denote por la suma de copias de . El menos positivo tal que es la característica del cuerpo. Esto permite definir una multiplicación de un elemento de por un elemento de eligiendo un entero representativo de . Esta multiplicación se convierte en un espacio vectorial - . Se deduce que el número de elementos de es para algún entero . ${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n\cdot x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\cdot 1=0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle (k,x)\mapsto k\cdot x}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle k}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle p^{n}}$${\displaystyle n}$

La identidad (a veces llamada el sueño del novato ) es verdadera en un campo de característica . Esto se desprende del teorema binomial , ya que cada coeficiente binomial de la expansión de , excepto el primero y el último, es un múltiplo de . $${\displaystyle (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}}$$${\displaystyle p}$${\displaystyle (x+y)^{p}}$${\displaystyle p}$

Por el pequeño teorema de Fermat , si es un número primo y está en el cuerpo entonces . Esto implica la igualdad para polinomios sobre . De manera más general, cada elemento en satisface la ecuación polinómica . ${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$${\displaystyle x^{p}=x}$$${\displaystyle X^{p}-X=\prod _{a\in \mathrm {GF} (p)}(X-a)}$$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{n})}$${\displaystyle x^{p^{n}}-x=0}$

Cualquier extensión de un cuerpo finito de un cuerpo finito es separable y simple. Es decir, si es un cuerpo finito y es un subcuerpo de , entonces se obtiene de mediante la unión de un único elemento cuyo polinomio mínimo es separable . Para utilizar un poco de jerga, los cuerpos finitos son perfectos . ${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$

Una estructura algebraica más general que satisface todos los demás axiomas de un cuerpo, pero cuya multiplicación no tiene por qué ser conmutativa, se denomina anillo de división (o, a veces, cuerpo oblicuo ). Según el pequeño teorema de Wedderburn , cualquier anillo de división finito es conmutativo y, por lo tanto, es un cuerpo finito.

Sea una potencia prima , y sea el cuerpo de descomposición del polinomio sobre el cuerpo primo . Esto significa que es un cuerpo finito de orden más bajo, en el que tiene raíces distintas (la derivada formal de es , lo que implica que , lo que en general implica que el cuerpo de descomposición es una extensión separable del original). La identidad anterior muestra que la suma y el producto de dos raíces de son raíces de , así como el inverso multiplicativo de una raíz de . En otras palabras, las raíces de forman un cuerpo de orden , que es igual a por la minimalidad del cuerpo de descomposición. ${\displaystyle q=p^{n}}$${\displaystyle F}$$${\displaystyle P=X^{q}-X}$$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle P}$${\displaystyle q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P'=-1}$${\displaystyle \mathrm {gcd} (P,P')=1}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle q}$${\displaystyle F}$

La unicidad hasta el isomorfismo de los cuerpos desdoblables implica, por tanto, que todos los cuerpos de orden son isomorfos. Además, si un cuerpo tiene un cuerpo de orden como subcuerpo, sus elementos son las raíces de , y no pueden contener otro subcuerpo de orden . ${\displaystyle q}$${\displaystyle F}$${\displaystyle q=p^{k}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle X^{q}-X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle q}$

En resumen, tenemos el siguiente teorema de clasificación demostrado por primera vez en 1893 por EH Moore : ^[1]

El orden de un cuerpo finito es una potencia prima. Para cada potencia prima hay cuerpos de orden , y todos son isomorfos. En estos cuerpos, cada elemento satisface${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

$${\displaystyle x^{q}=x,}$$ y los factores polinomiales como${\displaystyle X^{q}-X}$

$${\displaystyle X^{q}-X=\prod _{a\in F}(X-a).}$$

De ello se deduce que contiene un subcuerpo isomorfo a si y solo si es divisor de ; en ese caso, este subcuerpo es único. De hecho, el polinomio divide si y solo si es divisor de . ${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{n})}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{m})}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X^{p^{m}}-X}$${\displaystyle X^{p^{n}}-X}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

Dado un exponente primo con primos y , el campo puede construirse explícitamente de la siguiente manera. Primero se elige un polinomio irreducible en de grado (siempre existe un polinomio irreducible de ese tipo). Luego, el anillo cociente del anillo de polinomios por el ideal generado por es un campo de orden . ${\displaystyle q=p^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$ ${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)[X]}$${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \mathrm {GF} (q)=\mathrm {GF} (p)[X]/(P)}$$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)[X]}$${\displaystyle P}$${\displaystyle q}$

Más explícitamente, los elementos de son los polinomios sobre cuyo grado es estrictamente menor que . La suma y la resta son las de polinomios sobre . El producto de dos elementos es el resto de la división euclidiana por del producto en . El inverso multiplicativo de un elemento distinto de cero se puede calcular con el algoritmo euclidiano extendido; véase Algoritmo euclidiano extendido § Extensiones de campos algebraicos simples . ${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)[X]}$

Sin embargo, con esta representación, los elementos de pueden ser difíciles de distinguir de los polinomios correspondientes. Por lo tanto, es común dar un nombre, comúnmente al elemento de que corresponde al polinomio . Así, los elementos de se convierten en polinomios en , donde , y, cuando uno se encuentra con un polinomio en de grado mayor o igual a (por ejemplo después de una multiplicación), uno sabe que tiene que usar la relación para reducir su grado (es lo que hace la división euclidiana). ${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle P(\alpha )=0}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle n}$${\displaystyle P(\alpha )=0}$

Excepto en la construcción de , hay varias opciones posibles para , que producen resultados isomorfos. Para simplificar la división euclidiana, uno comúnmente elige un polinomio de la forma que hace que las divisiones euclidianas necesarias sean muy eficientes. Sin embargo, para algunos cuerpos, típicamente en la característica , pueden no existir polinomios irreducibles de la forma . En la característica , si el polinomio es reducible, se recomienda elegir con el menor posible que haga que el polinomio sea irreducible. Si todos estos trinomios son reducibles, uno elige "pentanomios" , ya que los polinomios de grado mayor que , con un número par de términos, nunca son irreducibles en la característica , teniendo como raíz. ^[3]${\displaystyle \mathrm {GF} (4)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle X^{n}+aX+b,}$$${\displaystyle 2}$${\displaystyle X^{n}+aX+b}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle X^{n}+X+1}$${\displaystyle X^{n}+X^{k}+1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X^{n}+X^{a}+X^{b}+X^{c}+1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 1}$

Una posible elección de este polinomio la dan los polinomios de Conway , que garantizan una cierta compatibilidad entre la representación de un cuerpo y las representaciones de sus subcuerpos.

En las siguientes secciones, mostraremos cómo funciona el método de construcción general descrito anteriormente para campos finitos pequeños.

El cuerpo no primo más pequeño es el cuerpo con cuatro elementos, que comúnmente se denota o Consiste en los cuatro elementos tales que , , , y , para cada , los demás resultados de la operación se deducen fácilmente de la ley distributiva . Vea a continuación las tablas de operaciones completas. ${\displaystyle \mathrm {GF} (4)}$${\displaystyle \mathbb {F} _{4}.}$${\displaystyle 0,1,\alpha ,1+\alpha }$${\displaystyle \alpha ^{2}=1+\alpha }$${\displaystyle 1\cdot \alpha =\alpha \cdot 1=\alpha }$${\displaystyle x+x=0}$${\displaystyle x\cdot 0=0\cdot x=0}$${\displaystyle x\in \mathrm {GF} (4)}$

Esto se puede deducir de los resultados del apartado anterior.

Sobre , sólo hay un polinomio irreducible de grado : Por lo tanto, para la construcción de la sección precedente se debe involucrar este polinomio, y Sea una raíz de este polinomio en . Esto implica que y que y son los elementos de que no están en . Las tablas de las operaciones en resultan de esto, y son las siguientes: ${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$${\displaystyle 2}$$${\displaystyle X^{2}+X+1}$$${\displaystyle \mathrm {GF} (4)}$$${\displaystyle \mathrm {GF} (4)=\mathrm {GF} (2)[X]/(X^{2}+X+1).}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mathrm {GF} (4)}$$${\displaystyle \alpha ^{2}=1+\alpha ,}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 1+\alpha }$${\displaystyle \mathrm {GF} (4)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (4)}$

No se proporciona una tabla para la resta, porque la resta es idéntica a la suma, como es el caso para cada campo de característica 2. En la tercera tabla, para la división de por , los valores de deben leerse en la columna de la izquierda y los valores de en la fila superior. (Porque para cada en cada anillo la división por 0 debe permanecer indefinida). De las tablas, se puede ver que la estructura aditiva de es isomorfa al grupo de cuatro de Klein , mientras que la estructura multiplicativa no nula es isomorfa al grupo . ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle 0\cdot z=0}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \mathrm {GF} (4)}$${\displaystyle Z_{3}}$

El mapa es el automorfismo de campo no trivial, llamado automorfismo de Frobenius, que envía a la segunda raíz del polinomio irreducible mencionado anteriormente . $${\displaystyle \varphi :x\mapsto x^{2}}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 1+\alpha }$${\displaystyle X^{2}+X+1}$

Para aplicar la construcción general anterior de cuerpos finitos en el caso de , se debe encontrar un polinomio irreducible de grado 2. Para , esto se ha hecho en la sección anterior. Si es un primo impar, siempre hay polinomios irreducibles de la forma , con en . ${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{2})}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X^{2}-r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$

Más precisamente, el polinomio es irreducible sobre si y solo si es un no residuo cuadrático módulo (esta es casi la definición de un no residuo cuadrático). Hay no residuos cuadráticos módulo . Por ejemplo, es un no residuo cuadrático para , y es un no residuo cuadrático para . Si , es decir , se puede elegir como un no residuo cuadrático, lo que nos permite tener un polinomio irreducible muy simple . ${\displaystyle X^{2}-r}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\frac {p-1}{2}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle p=3,5,11,13,\ldots }$${\displaystyle 3}$${\displaystyle p=5,7,17,\ldots }$${\displaystyle p\equiv 3\mod 4}$${\displaystyle p=3,7,11,19,\ldots }$${\displaystyle -1\equiv p-1}$${\displaystyle X^{2}+1}$

Habiendo elegido un residuo cuadrático no , sea una raíz cuadrada simbólica de , es decir, un símbolo que tiene la propiedad , de la misma manera que el número complejo es una raíz cuadrada simbólica de . Entonces, los elementos de son todas las expresiones lineales con y en . Las operaciones sobre se definen de la siguiente manera (las operaciones entre elementos de representadas por letras latinas son las operaciones en ): ${\displaystyle r}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle r}$${\displaystyle \alpha ^{2}=r}$${\displaystyle i}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{2})}$$${\displaystyle a+b\alpha ,}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{2})}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}-(a+b\alpha )&=-a+(-b)\alpha \\(a+b\alpha )+(c+d\alpha )&=(a+c)+(b+d)\alpha \\(a+b\alpha )(c+d\alpha )&=(ac+rbd)+(ad+bc)\alpha \\(a+b\alpha )^{-1}&=a(a^{2}-rb^{2})^{-1}+(-b)(a^{2}-rb^{2})^{-1}\alpha \end{aligned}}}$$

El polinomio es irreducible sobre y , es decir, es irreducible módulo y (para demostrarlo, basta con demostrar que no tiene raíz en ni en ). De ello se deduce que los elementos de y pueden representarse mediante expresiones donde son elementos de o (respectivamente), y es un símbolo tal que $${\displaystyle X^{3}-X-1}$$${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (3)}$ ${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (3)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (8)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (27)}$ $${\displaystyle a+b\alpha +c\alpha ^{2},}$$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (3)}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle \alpha ^{3}=\alpha +1.}$$

La adición, el inverso aditivo y la multiplicación de y pueden definirse así; en las siguientes fórmulas, las operaciones entre elementos de o , representados por letras latinas, son las operaciones en o , respectivamente: ${\displaystyle \mathrm {GF} (8)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (27)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (3)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (3)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}-(a+b\alpha +c\alpha ^{2})&=-a+(-b)\alpha +(-c)\alpha ^{2}\qquad {\text{(for }}\mathrm {GF} (8),{\text{this operation is the identity)}}\\(a+b\alpha +c\alpha ^{2})+(d+e\alpha +f\alpha ^{2})&=(a+d)+(b+e)\alpha +(c+f)\alpha ^{2}\\(a+b\alpha +c\alpha ^{2})(d+e\alpha +f\alpha ^{2})&=(ad+bf+ce)+(ae+bd+bf+ce+cf)\alpha +(af+be+cd+cf)\alpha ^{2}\end{aligned}}}$$

El polinomio es irreducible sobre , es decir, es irreducible módulo . De ello se deduce que los elementos de pueden representarse mediante expresiones donde son o (elementos de ), y es un símbolo tal que (es decir, se define como una raíz del polinomio irreducible dado). Como la característica de es , cada elemento es su inverso aditivo en . La adición y multiplicación en pueden definirse de la siguiente manera; en las siguientes fórmulas, las operaciones entre elementos de , representadas por letras latinas son las operaciones en . $${\displaystyle X^{4}+X+1}$$${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathrm {GF} (16)}$ $${\displaystyle a+b\alpha +c\alpha ^{2}+d\alpha ^{3},}$$${\displaystyle a,b,c,d}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$${\displaystyle \alpha }$$${\displaystyle \alpha ^{4}=\alpha +1}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathrm {GF} (16)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (16)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b\alpha +c\alpha ^{2}+d\alpha ^{3})+(e+f\alpha +g\alpha ^{2}+h\alpha ^{3})&=(a+e)+(b+f)\alpha +(c+g)\alpha ^{2}+(d+h)\alpha ^{3}\\(a+b\alpha +c\alpha ^{2}+d\alpha ^{3})(e+f\alpha +g\alpha ^{2}+h\alpha ^{3})&=(ae+bh+cg+df)+(af+be+bh+cg+df+ch+dg)\alpha \;+\\&\quad \;(ag+bf+ce+ch+dg+dh)\alpha ^{2}+(ah+bg+cf+de+dh)\alpha ^{3}\end{aligned}}}$$

El campo tiene ocho elementos primitivos (los elementos que tienen todos los elementos distintos de cero de como potencias enteras). Estos elementos son las cuatro raíces de y sus inversos multiplicativos . En particular, es un elemento primitivo, y los elementos primitivos son con menor que y coprimos con (es decir, 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14). ${\displaystyle \mathrm {GF} (16)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (16)}$${\displaystyle X^{4}+X+1}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha ^{m}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle 15}$

El conjunto de elementos no nulos de es un grupo abeliano bajo la multiplicación, de orden . Por el teorema de Lagrange , existe un divisor de tal que para cada no nulo de . Como la ecuación tiene como máximo soluciones en cualquier cuerpo, es el menor valor posible para . El teorema de estructura de los grupos abelianos finitos implica que este grupo multiplicativo es cíclico , es decir, todos los elementos no nulos son potencias de un solo elemento. En resumen: ${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle q-1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle q-1}$${\displaystyle x^{k}=1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle x^{k}=1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle q-1}$${\displaystyle k}$

El grupo multiplicativo de los elementos distintos de cero en es cíclico, es decir, existe un elemento , tal que los elementos distintos de cero de son .${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q-1}$ ${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$ ${\displaystyle a,a^{2},\ldots ,a^{q-2},a^{q-1}=1}$

Un elemento de este tipo se denomina elemento primitivo de . A menos que , el elemento primitivo no sea único. El número de elementos primitivos es donde es la función totiente de Euler . ${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle q=2,3}$${\displaystyle \phi (q-1)}$${\displaystyle \phi }$

El resultado anterior implica que para cada en . El caso particular donde es primo es el pequeño teorema de Fermat . ${\displaystyle x^{q}=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle q}$

Si es un elemento primitivo en , entonces para cualquier elemento distinto de cero en , existe un entero único con tal que . Este entero se denomina logaritmo discreto de en base . ${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 0\leq n\leq q-2}$${\displaystyle x=a^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$

Si bien se puede calcular muy rápidamente, por ejemplo, utilizando la exponenciación por cuadrado , no se conoce ningún algoritmo eficiente para calcular la operación inversa, el logaritmo discreto. Esto se ha utilizado en varios protocolos criptográficos ; consulte Logaritmo discreto para obtener más detalles. ${\displaystyle a^{n}}$

Cuando los elementos distintos de cero de se representan por sus logaritmos discretos, la multiplicación y la división son fáciles, ya que se reducen a suma y resta módulo . Sin embargo, la suma equivale a calcular el logaritmo discreto de . La identidad permite resolver este problema construyendo la tabla de los logaritmos discretos de , llamados logaritmos de Zech , para (es conveniente definir el logaritmo discreto de cero como ). ${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle q-1}$${\displaystyle a^{m}+a^{n}}$$${\displaystyle a^{m}+a^{n}=a^{n}\left(a^{m-n}+1\right)}$$${\displaystyle a^{n}+1}$${\displaystyle n=0,\ldots ,q-2}$${\displaystyle -\infty }$

Los logaritmos de Zech son útiles para cálculos grandes, como el álgebra lineal sobre campos de tamaño medio, es decir, campos que son suficientemente grandes como para hacer que los algoritmos naturales sean ineficientes, pero no demasiado grandes, ya que uno tiene que precalcular una tabla del mismo tamaño que el orden del campo.

Todo elemento distinto de cero de un campo finito es una raíz de la unidad , al igual que todo elemento distinto de cero de . ${\displaystyle x^{q-1}=1}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$

Si es un entero positivo, una raíz primitiva de la unidad es una solución de la ecuación que no es una solución de la ecuación para ningún entero positivo . Si es una raíz primitiva de la unidad en un cuerpo , entonces contiene todas las raíces de la unidad, que son . ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x^{n}=1}$${\displaystyle x^{m}=1}$${\displaystyle m<n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}}$

El campo contiene una raíz primitiva de la unidad si y solo si es divisor de ; si es divisor de , entonces el número de raíces primitivas de la unidad en es ( función totient de Euler ). El número de raíces primitivas de la unidad en es . ${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle q-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle q-1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle \phi (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle \mathrm {gcd} (n,q-1)}$

En un campo de características , cada raíz de unidad es también una raíz de unidad. De ello se deduce que las raíces de unidad primitivas nunca existen en un campo de características . ${\displaystyle p}$${\displaystyle np}$${\displaystyle n}$${\displaystyle np}$${\displaystyle p}$

Por otra parte, si es coprimo con , las raíces del polinomio ciclotómico n.º son distintas en cada cuerpo de característica , ya que este polinomio es divisor de , cuyo discriminante es distinto de cero módulo . De ello se deduce que el polinomio ciclotómico n.º se convierte en polinomios irreducibles distintos que tienen todos el mismo grado, digamos , y ese es el cuerpo de característica más pequeño que contiene las raíces primitivas de la unidad n.º. ${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X^{n}-1}$ ${\displaystyle n^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{d})}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$

Al calcular los caracteres de Brauer , se utiliza el mapeo para mapear los valores propios de una matriz de representación a los números complejos. En este mapeo, el subcampo base consiste en puntos espaciados uniformemente alrededor del círculo unitario (omitiendo el cero). ${\displaystyle \alpha ^{k}\mapsto \exp(2\pi ik/(q-1))}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$

El campo tiene varias propiedades interesantes que los campos más pequeños no comparten: tiene dos subcampos tales que ninguno está contenido en el otro; no todos los generadores (elementos con polinomio mínimo de grado sobre ) son elementos primitivos; y los elementos primitivos no son todos conjugados bajo el grupo de Galois . ${\displaystyle \mathrm {GF} (64)}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$

El orden de este campo es 2 ⁶ , y los divisores de 6 son 1, 2, 3, 6 , los subcampos de GF(64) son GF(2) , GF(2 ² ) = GF(4) , GF(2 ³ ) = GF(8) , y el propio GF(64) . Como 2 y 3 son coprimos , la intersección de GF(4) y GF(8) en GF(64) es el campo primo GF(2) .

La unión de GF(4) y GF(8) tiene, por tanto, 10 elementos. Los 54 elementos restantes de GF(64) generan GF(64) en el sentido de que ningún otro subcuerpo contiene a ninguno de ellos. De ello se deduce que son raíces de polinomios irreducibles de grado 6 sobre GF(2) . Esto implica que, sobre GF(2) , hay exactamente 9 = ⁠54/6⁠ polinomios mónicos irreduciblesde grado 6. Esto se puede verificar factorizando X ⁶⁴ − X sobre GF(2) .

Los elementos de GF(64) son raíces primitivas de la unidad para algún divisor . Como las raíces 3 y 7 de la unidad pertenecen a GF(4) y GF(8) , respectivamente, los 54 generadores son raíces primitivas de la unidad para algún n en { 9, 21, 63} . La función totient de Euler muestra que hay 6 raíces primitivas de la unidad 9 , raíces primitivas de la unidad y raíces primitivas de la unidad 63. Al sumar estos números, se encuentran nuevamente elementos. ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 63}$${\displaystyle 12}$${\displaystyle 21}$${\displaystyle 36}$${\displaystyle 54}$

Al factorizar los polinomios ciclotómicos sobre , se obtiene que: ${\displaystyle \mathrm {GF} (2)}$

• Las seis raíces primitivas de la unidad son raíces de y son todas conjugadas bajo la acción del grupo de Galois.${\displaystyle 9}$$${\displaystyle X^{6}+X^{3}+1,}$$
• Las doce raíces primitivas de la unidad son raíces de Forman dos órbitas bajo la acción del grupo de Galois. Como los dos factores son recíprocos entre sí, una raíz y su inversa (multiplicativa) no pertenecen a la misma órbita.${\displaystyle 21}$$${\displaystyle (X^{6}+X^{4}+X^{2}+X+1)(X^{6}+X^{5}+X^{4}+X^{2}+1).}$$
• Los elementos primitivos de son las raíces de Se dividen en seis órbitas de seis elementos cada una bajo la acción del grupo de Galois.${\displaystyle 36}$${\displaystyle \mathrm {GF} (64)}$$${\displaystyle (X^{6}+X^{4}+X^{3}+X+1)(X^{6}+X+1)(X^{6}+X^{5}+1)(X^{6}+X^{5}+X^{3}+X^{2}+1)(X^{6}+X^{5}+X^{2}+X+1)(X^{6}+X^{5}+X^{4}+X+1).}$$

Esto demuestra que la mejor opción para construirlo es definirlo como GF(2)[ X ] / ( X ⁶ + X + 1) . De hecho, este generador es un elemento primitivo, y este polinomio es el polinomio irreducible que produce la división euclidiana más sencilla. ${\displaystyle \mathrm {GF} (64)}$

En esta sección, es un número primo y es una potencia de . ${\displaystyle p}$${\displaystyle q=p^{n}}$${\displaystyle p}$

En , la identidad ( x + y ) ^p = x ^p + y ^p implica que la función es un endomorfismo - lineal y un automorfismo de cuerpo de , que fija cada elemento del subcuerpo . Se denomina automorfismo de Frobenius , en honor a Ferdinand Georg Frobenius . ${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$$${\displaystyle \varphi :x\mapsto x^{p}}$$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (q)}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p)}$

Denotando por φ ^k la composición de φ consigo mismo k veces, tenemos Se ha demostrado en la sección precedente que φ ⁿ es la identidad. Para 0 < k < n , el automorfismo φ ^k no es la identidad, ya que, de lo contrario, el polinomio tendría más de p ^k raíces. $${\displaystyle \varphi ^{k}:x\mapsto x^{p^{k}}.}$$$${\displaystyle X^{p^{k}}-X}$$

No existen otros GF( p ) -automorfismos de GF( q ) . En otras palabras, GF( p ⁿ ) tiene exactamente n GF( p ) -automorfismos, que son $${\displaystyle \mathrm {Id} =\varphi ^{0},\varphi ,\varphi ^{2},\ldots ,\varphi ^{n-1}.}$$

En términos de la teoría de Galois , esto significa que GF( p ⁿ ) es una extensión de Galois de GF( p ) , que tiene un grupo de Galois cíclico .

El hecho de que el mapa de Frobenius sea sobreyectivo implica que todo cuerpo finito es perfecto .

Si F es un cuerpo finito, un polinomio mónico no constante con coeficientes en F es irreducible sobre F , si no es el producto de dos polinomios mónicos no constantes, con coeficientes en F .

Como cada anillo polinomial sobre un cuerpo es un dominio de factorización único , cada polinomio mónico sobre un cuerpo finito puede factorizarse de manera única (hasta el orden de los factores) en un producto de polinomios mónicos irreducibles.

Existen algoritmos eficientes para probar la irreducibilidad de polinomios y factorizar polinomios sobre cuerpos finitos. Son un paso clave para factorizar polinomios sobre números enteros o racionales . Al menos por esta razón, cada sistema de álgebra computacional tiene funciones para factorizar polinomios sobre cuerpos finitos o, al menos, sobre cuerpos primos finitos.

El polinomio se factoriza en factores lineales sobre un cuerpo de orden q . Más precisamente, este polinomio es el producto de todos los polinomios mónicos de grado uno sobre un cuerpo de orden q . $${\displaystyle X^{q}-X}$$

Esto implica que, si q = p ⁿ entonces X ^q − X es el producto de todos los polinomios mónicos irreducibles sobre GF( p ) , cuyo grado divide a n . De hecho, si P es un factor irreducible sobre GF( p ) de X ^q − X , su grado divide a n , ya que su cuerpo de desdoblamiento está contenido en GF( p ⁿ ) . Por el contrario, si P es un polinomio mónico irreducible sobre GF( p ) de grado d que divide a n , define una extensión de cuerpo de grado d , que está contenido en GF( p ⁿ ) , y todas las raíces de P pertenecen a GF( p ⁿ ) , y son raíces de X ^q − X ; por tanto , P divide a X ^q − X . Como X ^q − X no tiene ningún factor múltiplo, es entonces el producto de todos los polinomios mónicos irreducibles que lo dividen.

Esta propiedad se utiliza para calcular el producto de los factores irreducibles de cada grado de polinomios sobre GF( p ) ; consulte Factorización de grados distintos .

El número N ( q , n ) de polinomios mónicos irreducibles de grado n sobre GF( q ) está dado por ^[4] donde μ es la función de Möbius . Esta fórmula es una consecuencia inmediata de la propiedad de X ^q − X anterior y de la fórmula de inversión de Möbius . $${\displaystyle N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{n/d},}$$

Por la fórmula anterior, el número de polinomios irreducibles (no necesariamente mónicos) de grado n sobre GF( q ) es ( q − 1) N ( q , n ) .

La fórmula exacta implica que la desigualdad es aguda si y solo si n es una potencia de algún primo. Para cada q y cada n , el lado derecho es positivo, por lo que hay al menos un polinomio irreducible de grado n sobre GF( q ) . $${\displaystyle N(q,n)\geq {\frac {1}{n}}\left(q^{n}-\sum _{\ell \mid n,\ \ell {\text{ prime}}}q^{n/\ell }\right);}$$

En criptografía , la dificultad del problema del logaritmo discreto en cuerpos finitos o en curvas elípticas es la base de varios protocolos ampliamente utilizados, como el protocolo Diffie-Hellman . Por ejemplo, en 2014, una conexión segura a Internet con Wikipedia implicó el protocolo Diffie-Hellman de curva elíptica ( ECDHE ) sobre un gran campo finito. ^[5] En teoría de codificación , muchos códigos se construyen como subespacios de espacios vectoriales sobre campos finitos.

Los campos finitos son utilizados por muchos códigos de corrección de errores , como el código de corrección de errores Reed-Solomon o el código BCH . El campo finito casi siempre tiene una característica de 2 , ya que los datos de la computadora se almacenan en binario. Por ejemplo, un byte de datos se puede interpretar como un elemento de GF(2 ⁸ ) . Una excepción es el código de barras PDF417 , que es GF(929) . Algunas CPU tienen instrucciones especiales que pueden ser útiles para campos finitos de característica 2 , generalmente variaciones del producto sin acarreo .

Los cuerpos finitos se utilizan ampliamente en la teoría de números , ya que muchos problemas sobre los números enteros se pueden resolver reduciéndolos módulo uno o varios números primos . Por ejemplo, los algoritmos más rápidos conocidos para la factorización de polinomios y el álgebra lineal sobre el cuerpo de los números racionales proceden por reducción módulo uno o varios primos, y luego reconstrucción de la solución utilizando el teorema del resto chino , el levantamiento de Hensel o el algoritmo LLL .

De manera similar, muchos problemas teóricos en la teoría de números pueden resolverse considerando sus reducciones módulo algunos o todos los números primos. Véase, por ejemplo, el principio de Hasse . Muchos desarrollos recientes de la geometría algebraica fueron motivados por la necesidad de ampliar el poder de estos métodos modulares. La prueba de Wiles del último teorema de Fermat es un ejemplo de un resultado profundo que involucra muchas herramientas matemáticas, incluidos los campos finitos.

Las conjeturas de Weil se refieren al número de puntos en variedades algebraicas sobre campos finitos y la teoría tiene muchas aplicaciones, incluidas las estimaciones exponenciales y de suma de caracteres .

Los campos finitos tienen una amplia aplicación en combinatoria , siendo dos ejemplos bien conocidos la definición de los grafos de Paley y la construcción relacionada de las matrices de Hadamard . En la combinatoria aritmética, los campos finitos ^[6] y los modelos de campos finitos ^{[7] [8]} se utilizan ampliamente, como en el teorema de Szemerédi sobre progresiones aritméticas.

Un anillo de división es una generalización de campo. No se supone que los anillos de división sean conmutativos. No hay anillos de división finitos no conmutativos: el pequeño teorema de Wedderburn establece que todos los anillos de división finitos son conmutativos y, por lo tanto, son campos finitos. Este resultado se mantiene incluso si relajamos el axioma de asociatividad a alternatividad , es decir, todos los anillos de división alternativos finitos son campos finitos, por el teorema de Artin-Zorn . ^[9]

Un campo finito no es algebraicamente cerrado: el polinomio no tiene raíces en , ya que f  ( α ) = 1 para todo en . ${\displaystyle F}$$${\displaystyle f(T)=1+\prod _{\alpha \in F}(T-\alpha ),}$$${\displaystyle F}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle F}$

Dado un número primo p , sea una clausura algebraica de No sólo es única salvo un isomorfismo, como todas las clausuras algebraicas, sino que contrariamente al caso general, todos sus subcuerpos están fijados por todos sus automorfismos, y es también la clausura algebraica de todos los cuerpos finitos de la misma característica p . ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} }}_{p}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}.}$

Esta propiedad resulta principalmente del hecho de que los elementos de son exactamente las raíces de y esto define una inclusión para Estas inclusiones permiten escribir de manera informal. La validación formal de esta notación resulta del hecho de que las inclusiones de campo anteriores forman un conjunto dirigido de campos; Su límite directo es que puede considerarse así como "unión dirigida". ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$${\displaystyle x^{p^{n}}-x,}$${\displaystyle \mathbb {\mathbb {F} } _{p^{n}}\subset \mathbb {F} _{p^{nm}}}$${\displaystyle m>1.}$$${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} }}_{p}=\bigcup _{n\geq 1}\mathbb {F} _{p^{n}}.}$$${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} }}_{p},}$

Dado un elemento primitivo de entonces es un elemento primitivo de${\displaystyle g_{mn}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{mn}},}$${\displaystyle g_{mn}^{m}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{n}}.}$

Para cálculos explícitos, puede ser útil tener una elección coherente de los elementos primitivos para todos los campos finitos; es decir, elegir el elemento primitivo de para que, siempre que uno tenga donde ya se eligió el elemento primitivo para${\displaystyle g_{n}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{n}}}$${\displaystyle n=mh,}$${\displaystyle g_{m}=g_{n}^{h},}$${\displaystyle g_{m}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q^{m}}.}$

Tal construcción puede obtenerse mediante polinomios de Conway .

Aunque los cuerpos finitos no son algebraicamente cerrados, son cuasi-algebraicamente cerrados , lo que significa que todo polinomio homogéneo sobre un cuerpo finito tiene un cero no trivial cuyos componentes están en el cuerpo si el número de sus variables es mayor que su grado. Esta fue una conjetura de Artin y Dickson demostrada por Chevalley (véase el teorema de Chevalley-Warning ).

• Campo cuasi-finito
• Campo con un elemento
• Aritmética de campos finitos
• Anillo finito
• Grupo finito
• Grupo abeliano elemental
• Espacio de Hamming