Suma exponencial

En matemáticas , una suma exponencial puede ser una serie de Fourier finita (es decir, un polinomio trigonométrico ) u otra suma finita formada utilizando la función exponencial , generalmente expresada mediante la función

${\displaystyle e(x)=\exp(2\pi ix).\,}$

Por lo tanto, una suma exponencial típica puede tomar la forma

${\displaystyle \sum _{n}e(x_{n}),}$

sumado sobre una secuencia finita de números reales x _n .

Si permitimos algunos coeficientes reales a _n , para obtener la forma

${\displaystyle \sum _ {n}a_ {n}e (x_ {n})}$

Es lo mismo que permitir exponentes que sean números complejos . Ambas formas son ciertamente útiles en aplicaciones. Gran parte de la teoría analítica de números del siglo XX se dedicó a encontrar buenas estimaciones para estas sumas, una tendencia iniciada por el trabajo fundamental de Hermann Weyl en la aproximación diofántica .

El punto principal del tema es que una suma

${\displaystyle S=\sum _{n}e(x_{n})}$

se estima trivialmente mediante el número N de términos. Es decir, el valor absoluto

${\displaystyle |S|\leq N\,}$

por la desigualdad triangular , ya que cada sumando tiene valor absoluto 1. En las aplicaciones se desearía obtener mejores resultados. Esto implica demostrar que se produce alguna cancelación, o en otras palabras, que esta suma de números complejos en el círculo unitario no es de números con el mismo argumento . Lo mejor que se puede esperar razonablemente es una estimación de la forma

${\displaystyle |S|=O({\sqrt {N}})\,}$

lo que significa, salvo la constante implícita en la notación de la gran O , que la suma se asemeja a un paseo aleatorio en dos dimensiones.

Tal estimación puede considerarse ideal; es inalcanzable en muchos de los problemas principales, y las estimaciones

${\displaystyle |S|=o(N)\,}$

Debe utilizarse, donde la función o( N ) representa solo un pequeño ahorro en la estimación trivial. Un típico «pequeño ahorro» puede ser un factor de log( N ), por ejemplo. Incluso un resultado aparentemente tan insignificante en la dirección correcta debe remitirse a la estructura de la secuencia inicial xn para mostrar cierto grado de aleatoriedad _. Las técnicas empleadas son ingeniosas y sutiles.

Una variante de la "diferenciación de Weyl" investigada por Weyl que implica una suma exponencial generadora

${\displaystyle G(\tau )=\sum _ {n}e^{iaf(x)+ia\tau n}}$

Anteriormente, Weyl mismo había estudiado el concepto y desarrolló un método para expresar la suma como el valor.${\displaystyle G(0)}$, donde 'G' se puede definir mediante una ecuación diferencial lineal similar a la ecuación de Dyson obtenida mediante suma por partes.

Si la suma es de la forma

${\displaystyle S(x)=e^{iaf(x)}}$

donde ƒ es una función suave, podríamos usar la fórmula de Euler-Maclaurin para convertir la serie en una integral, más algunas correcciones que involucran derivadas de S ( x ), luego para valores grandes de a se podría usar el método de "fase estacionaria" para calcular la integral y dar una evaluación aproximada de la suma. Los avances más importantes en el tema fueron el método de Van der Corput (c. 1920), relacionado con el principio de fase estacionaria , y el posterior método de Vinogradov (c. 1930).

El método del tamiz grueso (c. 1960), fruto del trabajo de numerosos investigadores, es un principio general relativamente transparente; pero ningún método tiene una aplicación general.

En la formulación de problemas específicos se utilizan muchos tipos de sumas; las aplicaciones suelen requerir una reducción a algún tipo conocido, a menudo mediante manipulaciones ingeniosas. En muchos casos, se puede utilizar la suma parcial para eliminar coeficientes a _{y n} .

Una distinción básica es entre una suma exponencial completa , que suele ser una suma sobre todas las clases de residuos módulo algún entero N (o, más generalmente, un anillo finito ), y una suma exponencial incompleta, donde el rango de suma está restringido por alguna desigualdad . Ejemplos de sumas exponenciales completas son las sumas de Gauss y las sumas de Kloosterman ; estas son, en cierto sentido, análogos de la función gamma y de algún tipo de función de Bessel , respectivamente, en cuerpos finitos o anillos finitos , y poseen muchas propiedades estructurales. Un ejemplo de suma incompleta es la suma parcial de la suma cuadrática de Gauss (de hecho, el caso investigado por Gauss ). En este caso, existen buenas estimaciones para sumas sobre rangos más cortos que el conjunto completo de clases de residuos, porque, en términos geométricos, las sumas parciales se aproximan a una espiral de Cornu ; esto implica una cancelación masiva.

En la teoría aparecen tipos auxiliares de sumas, por ejemplo, sumas de caracteres ; remontándonos a la tesis de Harold Davenport . Las conjeturas de Weil tuvieron importantes aplicaciones a sumas completas con dominio restringido por condiciones polinómicas (es decir, a lo largo de una variedad algebraica sobre un cuerpo finito).

Uno de los tipos más generales de suma exponencial es la suma de Weyl , con exponentes 2π si ( n ) donde f es una función suave de valor real bastante general . Estas son las sumas involucradas en la distribución de los valores

ƒ ( n ) módulo 1,

según el criterio de equidistribución de Weyl . Un avance fundamental fue la desigualdad de Weyl para tales sumas, para el polinomio f .

Existe una teoría general de pares de exponentes que formula estimaciones. Un caso importante es cuando f es logarítmica, en relación con la función zeta de Riemann . Véase también el teorema de equidistribución . ^{[ 1 ]}

Sea p un primo impar y sea${\displaystyle \xi =e^{2\pi i/p}}$Entonces, la suma cuadrática de Gauss viene dada por

${\displaystyle \sum _{n=0}^{p-1}\xi ^{n^{2}}={\begin{cases}{\sqrt {p}},&p=1\mod 4\\i{\sqrt {p}},&p=3\mod 4\end{cases}}}$

donde las raíces cuadradas se consideran positivas.

Este es el grado ideal de cancelación que se podría esperar sin ningún conocimiento previo de la estructura de la suma, ya que coincide con la escala de un paseo aleatorio .

La suma de exponenciales es un modelo útil en farmacocinética ( cinética química en general) para describir la concentración de una sustancia a lo largo del tiempo. Los términos exponenciales corresponden a reacciones de primer orden , lo que en farmacología corresponde al número de compartimentos de difusión modelados . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

• El lema de Hua

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• Korobov, NM (1992). Sumas exponenciales y sus aplicaciones . Matemáticas y sus aplicaciones. Serie soviética. Vol.  80. Traducido del ruso por Yu. N. Shakhov. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-1647-9. Zbl 0754.11022 . 

• Una breve introducción a las sumas de Weyl en Mathworld.