Suma de caracteres

En matemáticas , una suma de caracteres es una suma${\textstyle \sum \chi (n)}$de valores de un carácter de Dirichlet χ módulo N , tomados sobre un rango dado de valores de n . Estas sumas son fundamentales en varias cuestiones, por ejemplo, en la distribución de residuos cuadráticos , y en particular en la cuestión clásica de encontrar una cota superior para el menor no residuo cuadrático módulo N. Las sumas de caracteres suelen estar estrechamente relacionadas con las sumas exponenciales mediante las sumas de Gauss (esto es como una transformada de Mellin finita ).

Supongamos que χ es un carácter de Dirichlet no principal para el módulo N.

La suma tomada sobre todas las clases de residuos módulo N es entonces cero. Esto significa que los casos de interés serán sumas ${\displaystyle \Sigma }$en rangos relativamente cortos, de longitud R < N, por ejemplo,

${\displaystyle M\leq n<M+R.}$

Una mejora fundamental respecto a la estimación trivial.${\displaystyle \Sigma =O(N)}$es la desigualdad de Pólya-Vinogradov , establecida independientemente por George Pólya e IM Vinogradov en 1918, ^{[ 1 ] [ 2 ]} que establece en notación O grande que

${\displaystyle \Sigma =O({\sqrt {N}}\log N).}$

Suponiendo la hipótesis generalizada de Riemann , Hugh Montgomery y RC Vaughan han demostrado ^{[ 3 ]} que existe una mejora adicional.

${\displaystyle \Sigma =O({\sqrt {N}}\log \log N).}$

Otro tipo significativo de suma de caracteres es el formado por

${\displaystyle \sum \chi (F(n))}$

para alguna función F , generalmente un polinomio . Un resultado clásico es el caso de una función cuadrática, por ejemplo,

${\displaystyle F(n)=n(n+1)}$

y χ un símbolo de Legendre . Aquí se puede evaluar la suma (como − 1), un resultado que está conectado con la función zeta local de una sección cónica .

De manera más general, tales sumas para el símbolo de Jacobi se relacionan con funciones zeta locales de curvas elípticas y curvas hiperelípticas ; esto significa que, mediante los resultados de André Weil , para N = p un número primo , existen límites no triviales.

${\displaystyle O({\sqrt {p}}).}$

La constante implícita en la notación es lineal con respecto al género de la curva en cuestión, por lo que (símbolo de Legendre o caso hiperelíptico) puede tomarse como el grado de F. (A partir de ahí, se pueden obtener resultados más generales para otros valores de N ).

Los resultados de Weil también llevaron a la cota de Burgess , ^{[ 4 ]} que se aplica para dar resultados no triviales más allá de Pólya–Vinogradov, para R una potencia de N mayor que  1/4.

Supongamos que el módulo N es un número primo.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma &\ll p^{1/2}\log p,\\[6pt]\Sigma &\ll 2R^{1/2}p^{3/16}\log p,\\[6pt]\Sigma &\ll rR^{1-1/r}p^{(r+1)/4r^{2}}(\log p)^{1/2r}\end{aligned}}}$

para cualquier entero r ≥ 3. ^{[ 5 ]}

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• Burgess, DA (1957). "La distribución de residuos y no residuos cuadráticos". Mathematika . 4 (2): 106– 112. doi : 10.1112/S0025579300001157 . Zbl 0081.27101 . 
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• Montgomery, Hugh L.; Vaughan , Robert C. (2007). Teoría multiplicativa de números I. Teoría clásica . Cambridge Tracts in Advanced Mathematics. Vol.  97. Cambridge University Press . pp. 306–325 . ISBN  978-0-521-84903-6. Zbl 1142.11001 . 

• Korobov, NM (1992). Sumas exponenciales y sus aplicaciones . Matemáticas y sus aplicaciones (Serie soviética). Vol.  80. Traducido del ruso por Yu. N. Shakhov. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-1647-9. Zbl 0754.11022 . 

• Weisstein, Eric W. "La desigualdad Pólya-Vinogradov" . MundoMatemático .
• Artículo de PlanetMath sobre la desigualdad de Pólya-Vinogradov