Suma de Gauss

En la teoría de números algebraicos , una suma de Gauss o suma gaussiana es un tipo particular de suma finita de raíces de la unidad , típicamente

G(\chi ):=G(\chi ,\psi )=\sum \chi (r)\cdot \psi (r)

donde la suma es sobre elementos $r$ de algún anillo conmutativo finito $R$ , $ψ$ es un homomorfismo de grupo del grupo aditivo $R$ $+$ en el círculo unitario , y $χ$ es un homomorfismo de grupo del grupo unitario $R$ $\times$ $en el círculo unitario, extendido a r$ no unitario , donde toma el valor 0. Las sumas de Gauss son los análogos para los campos finitos de la función Gamma . ^[1]

Estas sumas son omnipresentes en la teoría de números . Se dan, por ejemplo, en las ecuaciones funcionales de las funciones $L$ de Dirichlet , donde para un carácter de Dirichlet $χ$ la ecuación que relaciona $L (s, χ)$ y $L (1 - s, χ$ ) (donde $χ$ es el conjugado complejo de $χ$ ) implica un factor ^{[ aclaración necesaria ]}

{\frac {G(\chi )}{|G(\chi )|}}.

Historia

El caso considerado originalmente por Carl Friedrich Gauss fue la suma cuadrática de Gauss , para $R$ el cuerpo de residuos módulo un número primo $p$ y $χ$ el símbolo de Legendre . En este caso Gauss demostró que $G (χ) = p 1 ⁄ 2$ o $ip 1 ⁄ 2$ para $p$ congruente con 1 o 3 módulo 4 respectivamente (la suma cuadrática de Gauss también puede evaluarse mediante análisis de Fourier así como por integración de contorno ).

Una forma alternativa para esta suma de Gauss es

\suma e^{2\pi ir^{2}/p}

.

Las sumas de Gauss cuadráticas están estrechamente relacionadas con la teoría de funciones theta .

La teoría general de las sumas de Gauss se desarrolló a principios del siglo XIX, con el uso de las sumas de Jacobi y su descomposición en primos en campos ciclotómicos . Las sumas de Gauss sobre un anillo de residuos de números enteros $módulo N$ son combinaciones lineales de sumas estrechamente relacionadas llamadas periodos gaussianos .

El valor absoluto de las sumas de Gauss se suele encontrar como una aplicación del teorema de Plancherel en grupos finitos. En el caso en que $R$ es un cuerpo de $p$ elementos y $χ$ no es trivial, el valor absoluto es $p 1 ⁄ 2$ . La determinación del valor exacto de las sumas generales de Gauss, siguiendo el resultado de Gauss en el caso cuadrático, es un problema de larga data. Para algunos casos, véase suma de Kummer .

Propiedades de las sumas de Gauss de los caracteres de Dirichlet

La suma de Gauss de un carácter de Dirichlet módulo $N$ es

G(\chi )=\sum _ {a=1}^{N}\chi (a)e^{2\pi ia/N}.

Si $χ$ también es primitivo , entonces

|G(\chi )|={\sqrt {N}},

En particular, no es cero. De manera más general, si $N 0$ es el conductor de $χ$ y $χ 0$ es el carácter primitivo de Dirichlet módulo $N 0$ que induce $χ$ , entonces la suma de Gauss de $χ$ está relacionada con la de $χ 0$ por

G(\chi )=\mu \left({\frac {N}{N_{0}}}\right)\chi _{0}\left({\frac {N}{N_{0}}}\right)G\left(\chi _{0}\right)

donde $μ$ es la función de Möbius . En consecuencia, $G (χ)$ es distinto de cero precisamente cuando $⁠ norte / N 0 ⁠$ es libre de cuadrados y relativamente primo con $N 0$ .^[2]

Otras relaciones entre $G (χ)$ y las sumas de Gauss de otros caracteres incluyen

G({\overline {\chi }})=\chi (-1){\overline {G(\chi )}},

donde $χ$ es el carácter de Dirichlet conjugado complejo, y si $χ'$ es un carácter de Dirichlet módulo $N'$ tal que $N$ y $N'$ son primos entre sí, entonces

G\left(\chi \chi ^{\prime }\right)=\chi \left(N^{\prime }\right)\chi ^{\prime }(N)G(\chi )G\left(\chi ^{\prime }\right).

La relación entre $G (χχ')$ , $G (χ)$ y $G (χ')$ cuando $χ$ y $χ'$ tienen el mismo módulo (y $χχ'$ es primitivo) se mide mediante la suma de Jacobi $J (χ, χ')$ . Específicamente,

G(\chi \chi ^{\prime }\right)={\frac {G(\chi )G\left(\chi ^{\prime }\right)}{J\left(\chi ,\chi ^{\prime }\right)}}.

Otras propiedades

Las sumas de Gauss se pueden utilizar para demostrar la reciprocidad cuadrática , la reciprocidad cúbica y la reciprocidad cuártica .
Las sumas de Gauss se pueden utilizar para calcular el número de soluciones de ecuaciones polinómicas sobre campos finitos y, por lo tanto, se pueden utilizar para calcular ciertas funciones zeta.

Véase también

Referencias

^ BH Gross y N. Koblitz. Sumas de Gauss y la función Γ p-ádica. Ann. of Math. (2), 109(3):569–581, 1979.
^ Teorema 9.10 en HL Montgomery, RC Vaughan, Teoría de números multiplicativos. I. Teoría clásica , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 97 , (2006).

Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
Berndt, BC ; Evans, RJ; Williams, KS (1998). Sumas de Gauss y Jacobi . Serie de monografías y textos avanzados de la Sociedad Matemática Canadiense. Wiley. ISBN 0-471-12807-4.Zbl 0906.11001 .
Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). Una introducción clásica a la teoría de números moderna . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 84 (2.ª ed.). Springer-Verlag . ISBN. 0-387-97329-X.Zbl 0712.11001 .
Sección 3.4 de Iwaniec, Henryk ; Kowalski, Emmanuel (2004), Teoría analítica de números , American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 53, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3633-0, MR 2061214, Zbl 1059.11001

[1] BH Gross y N. Koblitz. Sumas de Gauss y la función Γ p-ádica. Ann. of Math. (2), 109(3):569–581, 1979.

[2] Teorema 9.10 en HL Montgomery, RC Vaughan, Teoría de números multiplicativos. I. Teoría clásica , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 97 , (2006).