Anillo finito

En matemáticas , más específicamente en álgebra abstracta , un anillo finito es un anillo que tiene un número finito de elementos. Todo cuerpo finito es un ejemplo de anillo finito, y la parte aditiva de cada anillo finito es un ejemplo de grupo finito abeliano , pero el concepto de anillos finitos en sí mismo tiene una historia más reciente.

Aunque los anillos tienen más estructura que los grupos, la teoría de los anillos finitos es más simple que la de los grupos finitos. Por ejemplo, la clasificación de los grupos finitos simples fue uno de los mayores avances de las matemáticas del siglo XX, y su demostración se ha publicado en miles de páginas de revistas científicas. Por otra parte, desde 1907 se sabe que cualquier anillo finito simple es isomorfo al anillo –las matrices n por n sobre un cuerpo finito de orden q– (como consecuencia de los teoremas de Wedderburn, descritos más adelante). ${\displaystyle \mathrm {M}_{n}(\mathbb {F}_{q})}$

El número de anillos con m elementos, siendo m un número natural, aparece listado bajo OEIS : A027623 en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros .

La teoría de los cuerpos finitos es quizás el aspecto más importante de la teoría de anillos finitos debido a sus íntimas conexiones con la geometría algebraica , la teoría de Galois y la teoría de números . Un aspecto importante, pero bastante antiguo, de la teoría es la clasificación de los cuerpos finitos: ^[1]

• El orden o número de elementos de un campo finito es igual a p ⁿ , donde p es un número primo llamado característica del campo y n es un entero positivo.
• Para cada número primo p y entero positivo n , existe un campo finito con p ⁿ elementos.
• Dos campos finitos cualesquiera con el mismo orden son isomorfos .

A pesar de la clasificación, los campos finitos siguen siendo un área activa de investigación, incluidos los resultados recientes sobre la conjetura de Kakeya y los problemas abiertos respecto del tamaño de las raíces primitivas más pequeñas (en teoría de números).

Un cuerpo finito F puede usarse para construir un espacio vectorial de n dimensiones sobre F . El anillo de matrices A de matrices n × n con elementos de F se usa en la geometría de Galois , donde el grupo lineal proyectivo sirve como grupo multiplicativo de A .

El pequeño teorema de Wedderburn afirma que cualquier anillo de división finito es necesariamente conmutativo:

Si cada elemento distinto de cero r de un anillo finito R tiene un inverso multiplicativo, entonces R es conmutativo (y por lo tanto un campo finito ).

Nathan Jacobson descubrió posteriormente otra condición que garantiza la conmutatividad de un anillo: si para cada elemento r de R existe un entero n > 1 tal que r  ⁿ = r , entonces R es conmutativo. ^[2] También se conocen condiciones más generales que implican la conmutatividad de un anillo. ^[3]

Otro teorema de Wedderburn tiene como consecuencia un resultado que demuestra que la teoría de anillos finitos simples es relativamente sencilla en su naturaleza. Más específicamente, cualquier anillo finito simple es isomorfo al anillo , las matrices n por n sobre un cuerpo finito de orden q . Esto se desprende de dos teoremas de Joseph Wedderburn establecidos en 1905 y 1907 (uno de los cuales es el pequeño teorema de Wedderburn). ${\displaystyle \mathrm {M}_{n}(\mathbb {F}_{q})}$

(Advertencia: las enumeraciones en esta sección incluyen anillos que no necesariamente tienen una identidad multiplicativa, a veces llamados rngs .) En 1964 David Singmaster propuso el siguiente problema en el American Mathematical Monthly : "(1) ¿Cuál es el orden del anillo no trivial más pequeño con identidad que no es un cuerpo? Encuentre dos de esos anillos con este orden mínimo. ¿Hay más? (2) ¿Cuántos anillos de orden cuatro hay?" Se puede encontrar la solución por DM Bloom en una prueba de dos páginas ^[4] de que hay once anillos de orden 4, cuatro de los cuales tienen una identidad multiplicativa. De hecho, los anillos de cuatro elementos introducen la complejidad del tema. Hay tres anillos sobre el grupo cíclico C ₄ y ocho anillos sobre el grupo de cuatro de Klein . Hay una interesante exhibición de las herramientas discriminatorias ( nilpotentes , divisores de cero , idempotentes e identidades izquierda y derecha) en las notas de la conferencia de Gregory Dresden. ^[5]

La ocurrencia de la no conmutatividad en anillos finitos fue descrita en (Eldridge 1968) en dos teoremas: Si el orden m de un anillo finito con 1 tiene una factorización libre de cubos , entonces es conmutativo . Y si un anillo finito no conmutativo con 1 tiene el orden de un primo al cubo, entonces el anillo es isomorfo al anillo de matriz triangular superior 2 × 2 sobre el cuerpo de Galois del primo. El estudio de anillos de orden del cubo de un primo fue desarrollado más a fondo en (Raghavendran 1969) y (Gilmer & Mott 1973). Luego Flor y Wessenbauer (1975) hicieron mejoras en el caso del cubo de un primo. El trabajo definitivo sobre las clases de isomorfismo llegó con (Antipkin & Elizarov 1982) probando que para p  > 2, el número de clases es 3 p  + 50.

Existen referencias anteriores al tema de los anillos finitos, como Robert Ballieu ^[6] y Scorza. ^[7]

Estos son algunos de los hechos que se conocen sobre el número de anillos finitos (no necesariamente con unidad) de un orden dado (supongamos que p y q representan números primos distintos):

• Hay dos anillos finitos de orden p .
• Hay cuatro anillos finitos de orden pq .
• Hay once anillos finitos de orden p ² .
• Hay veintidós anillos finitos de orden p ² q .
• Hay cincuenta y dos anillos finitos de orden ocho.
• Hay 3 p  + 50 anillos finitos de orden p ³ , p  > 2.

El número de anillos con n elementos es (con un (0) = 1 )

1, 1, 2, 2, 11, 2, 4, 2, 52, 11, 4, 2, 22, 2, 4, 4, 390, 2, 22, 2, 22, 4, 4, 2, 104, 11, 4, 59, 22, 2, 8, 2, >18590, 4, 4, 4, 121, 2, 4, 4, 104, 2, 8, 2, 22, 22, 4, 2, 780, 11, 22, ... (secuencia A027623 en la OEIS )

• Anillo de Galois ^, anillos conmutativos finitos que generalizan Z / pnZ y cuerpos finitos
• Línea proyectiva sobre un anillo § Sobre anillos discretos

• Clasificación de anillos conmutativos finitos