Función zeta local

En matemáticas , la función zeta local Z ( V , s )  (a veces llamada función zeta congruente o función zeta de Hasse-Weil ) se define como

${\displaystyle Z(V,s)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}(q^{-s})^{k}\right)}$

donde V es una variedad algebraica proyectiva n- dimensional no singular sobre el cuerpo F _q con q elementos y N _k es el número de puntos de V definidos sobre la extensión de cuerpo finita F _{q ^k} de F _q . ^{[ 1 ]}

Al realizar la transformación de variables t  = q ^{− s} ,  se obtiene

${\displaystyle {\mathit {Z}}(V,t)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }N_{k}{\frac {t^{k}}{k}}\right)}$

como la serie de potencias formal en la variable${\displaystyle t}$.

De forma equivalente, la función zeta local se define a veces de la siguiente manera:

${\displaystyle (1)\ \ {\mathit {Z}}(V,0)=1\,}$

${\displaystyle (2)\ \ {\frac {d}{dt}}\log {\mathit {Z}}(V,t)=\sum _ {k=1}^{\infty }N_{k}t^{k-1}\ .}$

En otras palabras, la función zeta local Z ( V , t )  con coeficientes en el campo finito F _q se define como una función cuya derivada logarítmica genera el número N _k de soluciones de la ecuación que define V en la extensión de grado k F _{q ^k} .

Dado un cuerpo finito F , existe, salvo isomorfismo , un único cuerpo F _k con

${\displaystyle [F_{k}:F]=k\,}$,

para k = 1, 2, ... . Cuando F es el campo único con q elementos, F _k es el campo único con${\displaystyle q^{k}}$elementos. Dado un conjunto de ecuaciones polinómicas —o una variedad algebraica V— definidas sobre F , podemos contar el número

${\displaystyle N_{k}\,}$

de soluciones en F _k y crear la función generadora

${\displaystyle G(t)=N_{1}t+N_{2}t^{2}/2+N_{3}t^{3}/3+\cdots \,}$.

La definición correcta para Z ( t ) es establecer log Z igual a G , por lo tanto

${\displaystyle Z=\exp(G(t))\,}$

y Z (0) = 1, ya que G (0) = 0, y Z ( t ) es a priori una serie de potencias formal .

La derivada logarítmica

${\displaystyle Z'(t)/Z(t)\,}$

es igual a la función generadora

${\displaystyle G'(t)=N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,}$.

Por ejemplo, supongamos que todos los N _k son 1; esto sucede, por ejemplo, si comenzamos con una ecuación como X = 0, de modo que geométricamente estamos tomando V como un punto. Entonces

${\displaystyle G(t)=-\log(1-t)}$

es la expansión de un logaritmo (para | t | < 1). En este caso tenemos

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)}}\ .}$

Para tomar algo más interesante, sea V la recta proyectiva sobre F. Si F tiene q elementos, entonces esta tiene q + 1 puntos, incluyendo el punto en el infinito . Por lo tanto, tenemos

${\displaystyle N_{k}=q^{k}+1}$

y

${\displaystyle G(t)=-\log(1-t)-\log(1-qt)}$

para | t | suficientemente pequeño, y por lo tanto

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{(1-t)(1-qt)}}\ .}$

El primer estudio de estas funciones se realizó en la tesis doctoral de Emil Artin en 1923. Obtuvo resultados para el caso de una curva hiperelíptica y conjeturó los puntos principales de la teoría aplicada a curvas. Posteriormente , F. K. Schmidt y Helmut Hasse desarrollaron la teoría . ^{[ 2 ]} Los primeros casos no triviales conocidos de funciones zeta locales estaban implícitos en el artículo 358 de las Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss . Allí, ciertos ejemplos particulares de curvas elípticas sobre cuerpos finitos con multiplicación compleja tienen sus puntos contados mediante ciclotomía . ^{[ 3 ]}

Para la definición y algunos ejemplos, véase también ^{[ 4 ] .}

La relación entre las definiciones de G y Z puede explicarse de varias maneras. (Véase, por ejemplo, la fórmula del producto infinito para Z más adelante). En la práctica, esto convierte a Z en una función racional de t , algo interesante incluso en el caso de V , una curva elíptica sobre un campo finito.

Las funciones zeta Z locales se multiplican para obtener la función global.${\displaystyle \zeta }$funciones zeta,

${\displaystyle \zeta =\prod Z}$

Estos generalmente involucran diferentes campos finitos (por ejemplo, toda la familia de campos Z / p Z cuando p recorre todos los números primos ).

En estos campos, la variable t se sustituye por p ^−s , donde s es la variable compleja utilizada tradicionalmente en las series de Dirichlet . (Para más detalles, véase la función zeta de Hasse-Weil ).

Por lo tanto, los productos globales de Z en los dos casos utilizados como ejemplos en la sección anterior resultan ser:${\displaystyle \zeta (s)}$y${\displaystyle \zeta (s)\zeta (s-1)}$después de dejar${\displaystyle q=p}$.

Para curvas proyectivas C sobre F que no son singulares , se puede demostrar que

${\displaystyle Z(t)={\frac {P(t)}{(1-t)(1-qt)}}\ ,}$

con P ( t ) un polinomio de grado 2 g , donde g es el género de C . Reescribiendo

${\displaystyle P(t)=\prod _{i=1}^{2g}(1-\omega _{i}t)\ ,}$

la hipótesis de Riemann para curvas sobre estados de campos finitos

${\displaystyle |\omega _{i}|=q^{1/2}\ .}$

Por ejemplo, en el caso de la curva elíptica hay dos raíces, y es fácil demostrar que los valores absolutos de las raíces son q ^1/2 . El teorema de Hasse establece que tienen el mismo valor absoluto; y esto tiene consecuencias inmediatas para el número de puntos.

André Weil demostró esto para el caso general, alrededor de 1940 ( nota en Comptes Rendus , abril de 1940): dedicó gran parte de los años posteriores a desarrollar la geometría algebraica implicada. Esto lo condujo a las conjeturas generales de Weil . Alexander Grothendieck desarrolló la teoría de esquemas con el propósito de resolverlas. Una generación después, Pierre Deligne completó la demostración. (Véase cohomología étale para las fórmulas básicas de la teoría general).

Es una consecuencia de la fórmula de traza de Lefschetz para el morfismo de Frobenius que

${\displaystyle Z(X,t)=\prod _{i=0}^{2\dim X}\det {\big (}1-t{\mbox{Frob}}_{q}|H_{c}^{i}({\overline {X}},{\mathbb {Q} }_{\ell }){\big )}^{(-1)^{i+1}}.}$

Aquí${\displaystyle X}$es un esquema separado de tipo finito sobre el cuerpo finito F con${\displaystyle q}$elementos, y Frob _q es el Frobenius geométrico que actúa sobre${\displaystyle \ell }$-adica cohomología étale con soportes compactos de${\displaystyle {\overline {X}}}$, el ascensor de${\displaystyle X}$al cierre algebraico del campo F. Esto demuestra que la función zeta es una función racional de${\displaystyle t}$.

Una fórmula de producto infinito para ${\displaystyle Z(X,t)}$es

${\displaystyle Z(X,t)=\prod \ (1-t^{\deg(x)})^{-1}.}$

Aquí, el producto abarca todos los puntos cerrados x de X y deg( x ) es el grado de x . La función zeta local Z(X, t) se considera una función de la variable compleja s a través del cambio de variables q ^−s .

En el caso en que X es la variedad V discutida anteriormente, los puntos cerrados son las clases de equivalencia x=[P] de puntos P en${\displaystyle {\overline {V}}}$donde dos puntos son equivalentes si son conjugados sobre F. El grado de x es el grado de la extensión del campo de F generada por las coordenadas de P. La derivada logarítmica del producto infinito Z(X, t) se ve fácilmente como la función generadora discutida anteriormente, a saber:

${\displaystyle N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots \,}$.

• Lista de funciones zeta
• Conjeturas de Weil
• Curva elíptica