Campo monogénico

En matemáticas , un cuerpo monogénico es un cuerpo numérico algebraico K para el cual existe un elemento a tal que el anillo de números enteros O _K es el subanillo Z [ a ] ​​de K generado por a . Entonces O _K es un cociente del anillo de polinomios Z [ X ] y las potencias de a constituyen una base integral de potencias .

En un campo monogénico K , el discriminante de campo de K es igual al discriminante del polinomio mínimo de α.

Algunos ejemplos de campos monogénicos incluyen:

• Campos cuadráticos :

si con un entero libre de cuadrados , entonces donde si d  ≡ 1 (mod 4) y si d ≡ 2 o 3 (mod 4).${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$${\estilo de visualización d}$${\displaystyle O_{K}=\mathbf {Z} [a]}$${\displaystyle a=(1+{\sqrt {d}})/2}$${\displaystyle a={\sqrt {d}}}$

• Campos ciclotómicos :

si con raíz de unidad , entonces También el subcuerpo real maximal es monogénico, con anillo de números enteros .${\displaystyle K=\mathbf {Q} (\zeta)}$${\estilo de visualización \zeta}$${\displaystyle O_{K}=\mathbf {Z} [\zeta ].}$${\displaystyle \mathbf {Q} (\zeta )^{+}=\mathbf {Q} (\zeta +\zeta ^{-1})}$${\displaystyle \mathbf {Z} [\zeta +\zeta ^{-1}]}$

Si bien todos los cuerpos cuadráticos son monogénicos, ya entre los cuerpos cúbicos hay muchos que no lo son. El primer ejemplo de un cuerpo de números no monogénico que se encontró es el cuerpo cúbico generado por una raíz del polinomio , debido a Richard Dedekind . $Estilo de visualización X^{3}-X^{2}-2X-8}$

• Narkiewicz, Władysław (2004). Teoría elemental y analítica de los números algebraicos (3.ª ed.). Springer-Verlag . p. 64. ISBN 3-540-21902-1.Zbl 1159.11039  .
• Gaál, István (2002). Ecuaciones diofánticas y bases integrales de potencia . Boston, MA: Birkhäuser Verlag . ISBN 978-0-8176-4271-6.Zbl 1016.11059  .