Hispanopedia WikiEn matemáticas , en el campo de la teoría algebraica de números , una unidad S generaliza la idea de unidad del anillo de números enteros del campo. Muchos de los resultados que se cumplen para las unidades también son válidos para las unidades S.
Definición
Sea K un cuerpo de números con un anillo de números enteros R . Sea S un conjunto finito de ideales primos de R . Un elemento x de K es una S -unidad si el ideal fraccionario principal ( x ) es un producto de primos en S (a potencias positivas o negativas). Para el anillo de números enteros racionales Z se puede tomar S como un conjunto finito de números primos y definir una S -unidad como un número racional cuyo numerador y denominador son divisibles solo por los primos en S .
Propiedades
Las unidades S forman un grupo multiplicativo que contiene las unidades de R.
El teorema de la unidad de Dirichlet es válido para las unidades S : el grupo de unidades S se genera finitamente , con rango (número máximo de elementos multiplicativamente independientes) igual a r + s , donde r es el rango del grupo de unidades y s = | S |.
Ecuación de la unidad S
La ecuación de la unidad S es una ecuación diofántica
- u + v = 1
con u y v restringidas a ser S -unidades de K (o más generalmente, elementos de un subgrupo finitamente generado del grupo multiplicativo de cualquier cuerpo de característica cero). El número de soluciones de esta ecuación es finito [1] y las soluciones se determinan efectivamente utilizando estimaciones para formas lineales en logaritmos como se desarrolló en la teoría de números trascendentales . Una variedad de ecuaciones diofánticas son reducibles en principio a alguna forma de la ecuación de S -unidad: un ejemplo notable es el teorema de Siegel sobre puntos integrales en curvas elípticas , y más generalmente curvas superelípticas de la forma y n = f ( x ).
Un solucionador computacional para la ecuación de la unidad S está disponible en el software SageMath . [2]
Referencias
- ^ Beukers, F.; Schlickewei, H. (1996). "La ecuación x+y=1 en grupos finitamente generados". Acta Aritmética . 78 (2): 189–199. doi : 10.4064/aa-78-2-189-199 . ISSN 0065-1036.
- ^ "Resolver la ecuación de la unidad S x + y = 1 — Manual de referencia de Sage v8.7: Números algebraicos y campos numéricos". doc.sagemath.org . Consultado el 16 de abril de 2019 .
- Everest, Graham; van der Poorten, Alf ; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Sucesiones de recurrencia . Encuestas y monografías matemáticas. Vol. 104. Providence, RI : American Mathematical Society . págs. 19–22. ISBN. 0-8218-3387-1.Zbl 1033.11006 .
- Lang, Serge (1978). Curvas elípticas: Análisis diofántico . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 231. Springer-Verlag . págs. 128-153. ISBN 3-540-08489-4.
- Lang, Serge (1986). Teoría algebraica de números . Springer-Verlag . ISBN. 0-387-94225-4.Cap. V.
- Smart, Nigel (1998). La resolución algorítmica de ecuaciones diofánticas. Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 41. Cambridge University Press . Cap. 9. ISBN. 0-521-64156-X.
- Neukirch, Jürgen (1986). Teoría del campo de clases . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 280. Springer-Verlag . págs. 72–73. ISBN 3-540-15251-2.
Lectura adicional
- Baker, Alan ; Wüstholz, Gisbert (2007). Formas logarítmicas y geometría diofántica . Nuevas monografías matemáticas. Vol. 9. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-88268-2.
- Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter (2006). Alturas en geometría diofántica . Nuevas monografías matemáticas. Vol. 4. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-71229-3.Zbl 1130.11034 .