Llamada local regular

En álgebra conmutativa , un anillo local regular es un anillo local noetheriano que tiene la propiedad de que el número mínimo de generadores de su ideal maximal es igual a su dimensión de Krull . ^{[ 1 ]} En símbolos, sea${\displaystyle A}$ser cualquier anillo local noetheriano con un ideal máximo único${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$y supongamos que${\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}}$es un conjunto mínimo de generadores de${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$Entonces, el teorema del ideal principal de Krull implica que${\displaystyle n\geq \dim A}$, y${\displaystyle A}$es regular siempre${\displaystyle n=\dim A}$.

El concepto está motivado por su significado geométrico. Un punto${\displaystyle x}$en una variedad algebraica${\displaystyle X}$es no singular (un punto suave ) si y solo si el anillo local${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$de gérmenes en${\displaystyle x}$es regular. (Véase también: esquema regular .) Los anillos locales regulares no están relacionados con los anillos regulares de von Neumann . ^{[ a ]}

Para los anillos locales noetherianos, existe la siguiente cadena de inclusiones:

Anillos catenarios universales ⊃ Anillos de Cohen-Macaulay ⊃ Anillos de Gorenstein ⊃ Anillos de intersección completa ⊃ Anillos locales regulares

Existen varias definiciones útiles de un anillo local regular, una de las cuales se menciona anteriormente. Si${\displaystyle A}$es un anillo local noetheriano con ideal máximo${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, entonces las siguientes son definiciones equivalentes.${\displaystyle A}$es regular siempre que:

• Su dimensión de Krull es igual al número mínimo de generadores de su ideal máximo; es decir, cuando${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$, dónde${\displaystyle n}$se elige lo más pequeño posible, y

${\displaystyle \dim A=n\,}$.

Los generadores${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$entonces se les denomina un sistema regular de parámetros .

• La dimensión de su espacio tangente de Zariski es igual a su dimensión de Krull; es decir, cuando${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$es el campo residual de${\displaystyle A}$, y

${\displaystyle \dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}=\dim A\,}$.

• Su dimensión global es finita; es decir, cuando${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A:=\sup\{\operatorname {pd} M\mid M{\text{ es un }}A{\text{-módulo}}\}}$es el supremo de las dimensiones proyectivas de todo${\displaystyle A}$-módulos y

${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A<\infty \,}$,

en cuyo caso,${\displaystyle {\mbox{gl dim }}A=\dim A}$.

• Su finalización${\displaystyle {\widehat {A}}}$es el anillo de series de potencias formales : es decir, cuando${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$,${\displaystyle d=\dim A}$, y${\displaystyle {\hat {A}}\cong k[[X_{1},\ldots ,X_{d}]]}$para variables formales${\displaystyle X_{i}}$. ^{[ 2 ]}

El criterio de multiplicidad uno establece: ^{[ 3 ]}${\displaystyle A}$es regular si (i) la finalización${\displaystyle {\widehat {A}}}$es no mixto, lo que significa que no hay divisor primo incrustado del ideal cero, y${\displaystyle \dim {\widehat {A}}/{\mathfrak {p}}=\dim {\widehat {A}}}$para cada primo mínimo${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$; y (ii) la multiplicidad de A es uno, lo que significa que el coeficiente principal de su polinomio de Hilbert-Samuel es${\displaystyle {\tfrac {1}{d!}}}$para${\displaystyle d=\dim A}$. (El recíproco de (ii) siempre es cierto: la multiplicidad de un anillo local regular es uno.) Este criterio corresponde a la intuición geométrica en geometría algebraica de que un anillo local de una intersección es regular si y solo si la intersección es una intersección transversal .

Si${\displaystyle A}$tiene una característica positiva , existe el siguiente resultado importante de Kunz, relacionado con la división de Frobenius : Un anillo local noetheriano${\displaystyle A}$de característica positiva p es regular si y solo si el morfismo de Frobenius${\displaystyle A\to A,a\mapsto a^{p}}$es plano y${\displaystyle A}$se reduce , lo que significa que no hay elementos nilpotentes distintos de cero. No se conoce ningún resultado similar en característica cero, que carece de un análogo del morfismo de Frobenius.

1. Cada cuerpo es un anillo local regular. Estos tienen dimensión (de Krull) 0. De hecho, los cuerpos son precisamente los anillos locales regulares de dimensión 0.
2. Cualquier anillo de valuación discreta es un anillo local regular de dimensión 1 y los anillos locales regulares de dimensión 1 son exactamente los anillos de valuación discreta. Por ejemplo, si k es un cuerpo y X es una indeterminada, entonces el anillo de series de potencias formales k [[incógnita]] es un anillo local regular con dimensión (Krull) 1.
3. Si p es un número primo ordinario, el anillo de enteros p-ádicos es un ejemplo de anillo de valuación discreta y, por consiguiente, un anillo local regular. A diferencia del ejemplo anterior, este anillo no contiene un cuerpo.
4. De manera más general, si k es un cuerpo y X ₁ , X ₂ , ..., X _d son indeterminadas, entonces el anillo de series de potencias formales k [[X ₁ , X ₂ , ..., X _d]] es un anillo local regular con dimensión (Krull) d .
5. Aún más generalmente, si A es un anillo local regular, entonces el anillo de la serie de potencias formal A [[incógnita]] es local regular.
6. Si Z es el anillo de los enteros y X es una indeterminada, el anillo Z [ X ] _{(2, X )} (es decir, el anillo Z [ X ] localizado en el ideal primo (2, X ) ) es un ejemplo de un anillo local regular bidimensional que no contiene un cuerpo.
7. Según el teorema de estructura de Irvin Cohen , un anillo local regular completo de dimensión Krull d que contiene un cuerpo k es un anillo de series de potencias en d variables sobre un cuerpo de extensión de k .

El anillo${\displaystyle A=k[x]/(x^{2})}$no es un anillo local regular ya que tiene dimensión finita pero no tiene dimensión global finita. Por ejemplo, hay una resolución infinita

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {k[x]}{(x^{2})}}{\xrightarrow {\cdot x}}{\frac {k[x]}{(x^{2})}}\to k\to 0}$

Utilizando otra de las caracterizaciones,${\displaystyle A}$tiene exactamente un ideal principal${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\frac {(x)}{(x^{2})}}}$, por lo tanto el anillo tiene dimensión Krull${\displaystyle 0}$, pero${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{2}}$es el ideal cero, por lo tanto${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$tiene${\displaystyle k}$dimensión al menos${\displaystyle 1}$. (De hecho, es igual a${\displaystyle 1}$desde${\displaystyle x+{\mathfrak {m}}}$es una base.)

El teorema de Auslander-Buchsbaum establece que todo anillo local regular es un dominio de factorización único .

Cada localización , así como la finalización , de un anillo local regular es regular.

Si${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$es un anillo local regular completo que contiene un campo, entonces

${\displaystyle A\cong k[[x_{1},\ldots ,x_{d}]]}$,

dónde${\displaystyle k=A/{\mathfrak {m}}}$es el campo residual y${\displaystyle d=\dim A}$, la dimensión de Krull.

Véase también: la desigualdad de Serre sobre la altura y las conjeturas de multiplicidad de Serre .

Los anillos locales regulares fueron definidos originalmente por Wolfgang Krull en 1937, ^{[ 4 ]} pero se volvieron prominentes por primera vez en el trabajo de Oscar Zariski unos años más tarde, ^{[ 5 ] [ 6 ]} quien mostró que geométricamente, un anillo local regular corresponde a un punto suave en una variedad algebraica . Sea Y una variedad algebraica contenida en un espacio afín n sobre un cuerpo perfecto , y supongamos que Y es el lugar de anulación de los polinomios f ₁ ,..., f _m . Y es no singular en P si Y satisface una condición jacobiana : Si M = (∂ f _i /∂ x _j ) es la matriz de derivadas parciales de las ecuaciones definitorias de la variedad, entonces el rango de la matriz encontrada al evaluar M en P es n − dim Y . Zariski demostró que Y es no singular en P si y solo si el anillo local de Y en P es regular. (Zariski observó que esto puede fallar sobre cuerpos no perfectos). Esto implica que la suavidad es una propiedad intrínseca de la variedad, es decir, no depende de dónde o cómo la variedad esté incrustada en el espacio afín. También sugiere que los anillos locales regulares deberían tener buenas propiedades, pero antes de la introducción de técnicas del álgebra homológica se sabía muy poco en esta dirección. Una vez introducidas dichas técnicas en la década de 1950, Auslander y Buchsbaum demostraron que todo anillo local regular es un dominio de factorización único .

Otra propiedad sugerida por la intuición geométrica es que la localización de un anillo local regular también debería ser regular. Nuevamente, este problema permaneció sin resolver hasta la introducción de las técnicas homológicas. Fue Jean-Pierre Serre quien halló una caracterización homológica de los anillos locales regulares: Un anillo local A es regular si y solo si A tiene dimensión global finita , es decir, si todo A -módulo tiene una resolución proyectiva de longitud finita. Es fácil demostrar que la propiedad de tener dimensión global finita se conserva bajo localización y, por consiguiente, que las localizaciones de anillos locales regulares en ideales primos también son regulares.

Esto justifica la definición de regularidad para anillos conmutativos no locales que se presenta en la siguiente sección.

En álgebra conmutativa , un anillo regular es un anillo noetheriano conmutativo , tal que la localización en cada ideal primo es un anillo local regular: es decir, cada localización de este tipo tiene la propiedad de que el número mínimo de generadores de su ideal máximo es igual a su dimensión de Krull .

El origen del término anillo regular radica en el hecho de que una variedad afín es no singular (es decir, cada punto es regular ) si y solo si su anillo de funciones regulares es regular.

Para anillos regulares, la dimensión de Krull coincide con la dimensión homológica global .

Jean-Pierre Serre definió un anillo regular como un anillo noetheriano conmutativo de dimensión homológica global finita . Su definición es más fuerte que la anterior, que permite anillos regulares de dimensión Krull infinita.

Ejemplos de anillos regulares incluyen cuerpos (de dimensión cero) y dominios de Dedekind . Si A es regular, entonces también lo es A [ X ] , con una dimensión uno mayor que la de A.

En particular, si k es un cuerpo, el anillo de los enteros o un dominio de ideales principales , entonces el anillo de polinomios${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$es regular. En el caso de un cuerpo, este es el teorema de sizigia de Hilbert .

Cualquier localización de un anillo regular también es regular.

Un anillo regular es reducido ^{[ b ]} pero no necesariamente es un dominio de integridad. Por ejemplo, el producto de dos dominios de integridad regulares es regular, pero no un dominio de integridad. ^{[ 7 ]}

• Anillo geométricamente regular
• anillo cuasi libre

• Atiyah, Michael F.; Macdonald , Ian G. (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley , MR 0242802 
• Kunz, Caracterizaciones de anillos locales regulares de característica p. Amer. J. Math. 91 (1969), 772–784.
• Tsit-Yuen Lam , Lecciones sobre módulos y anillos , Springer-Verlag , 1999, ISBN 978-1-4612-0525-8. Cap.5.G.
• Jean-Pierre Serre , Álgebra local , Springer-Verlag , 2000, ISBN 3-540-66641-9. Cap. IV. D.
• Anillos regulares en The Stacks Project