Intersección de la teoría de esquemas

En geometría algebraica , la intersección teórica de esquemas de subesquemas cerrados X , Y de un esquema W es${\displaystyle X\times _{W}Y}$, el producto de fibra de las inmersiones cerradas${\displaystyle X\hookrightarrow W,Y\hookrightarrow W}$Se denota por${\displaystyle X\cap Y}$.

Localmente, W se da como${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$para algún anillo R y X , Y como${\displaystyle \operatorname {Spec} (R/I),\operatorname {Spec} (R/J)}$para algunos ideales I , J. Por lo tanto, localmente, la intersección${\displaystyle X\cap Y}$se da como

${\displaystyle \operatorname {Spec} (R/(I+J)).}$

Aquí, usamos${\displaystyle R/I\otimes _{R}R/J\simeq R/(I+J)}$(Para esta identidad, consulte el producto tensorial de módulos#Ejemplos ).

Ejemplo : Dejemos${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$Sea una variedad proyectiva con el anillo de coordenadas homogéneas S/I , donde S es un anillo de polinomios. Si${\displaystyle H=\{f=0\}\subset \mathbb {P} ^{n}}$es una hipersuperficie definida por algún polinomio homogéneo f en S , entonces

${\displaystyle X\cap H=\operatorname {Proj} (S/(I,f)).}$

Si f es lineal (grado = 1), se denomina sección hiperplana . Véase también: Teorema de Bertini .

Ahora bien, una intersección en teoría de esquemas puede no ser una intersección correcta , por ejemplo, desde el punto de vista de la teoría de la intersección . Por ejemplo, ^{[ 1 ]} sea${\displaystyle W=\operatorname {Especificación} (k[x,y,z,w])}$sean el espacio 4-afín y X , Y subesquemas cerrados definidos por los ideales${\displaystyle (x,y)\cap (z,w)}$y${\displaystyle (xz,yw)}$Dado que X es la unión de dos planos, cada uno intersecando con Y en el origen con multiplicidad uno, por la linealidad de la multiplicidad de intersección , esperamos que X e Y intersecten en el origen con multiplicidad dos. Por otro lado, se observa la intersección de la teoría de esquemas.${\displaystyle X\cap Y}$Consiste en el origen con multiplicidad tres. Es decir, una multiplicidad de intersección en teoría de esquemas puede diferir de una multiplicidad en teoría de intersecciones, esta última dada por la fórmula de Tor de Serre . Resolver esta disparidad es uno de los puntos de partida de la geometría algebraica derivada , que tiene como objetivo introducir la noción de intersección derivada .

Sea X un esquema regular y V , W subesquemas integrales cerrados. Entonces, un componente irreducible P de${\displaystyle V\cap W:=V\times _ {X}W}$Se denomina propia si la desigualdad (debido a Serre) :

${\displaystyle \operatorname {codim} (P,X)\leq \operatorname {codim} (V,X)+\operatorname {codim} (W,X)}$

es una igualdad. ^{[ 2 ]} La intersección${\displaystyle V\cap W}$Se considera propio un ciclo si cada componente irreducible del mismo es propio (en particular, la intersección vacía se considera propia). Se dice que dos ciclos algebraicos se intersecan propiamente si las variedades que contienen se intersecan propiamente.

Por ejemplo, dos divisores (ciclos de codimensión uno) en una variedad lisa se intersecan propiamente si y solo si no comparten ningún componente irreducible común. El lema móvil de Chow (en una variedad lisa) establece que una intersección puede hacerse propia tras sustituir un divisor por un divisor linealmente equivalente adecuado (véase el teorema de Kleiman ).

La desigualdad de Serre anterior puede fallar en general para un esquema ambiental no regular. Por ejemplo, ^{[ 3 ]} sea${\displaystyle X=\operatorname {Spec} k[x,y,z,w]/(xz-yw),\,V=V({\overline {x}},{\overline {y}}),\,W=V({\overline {z}},{\overline {w}})}$. Entonces${\displaystyle V,W}$tienen codimensión uno, mientras que${\displaystyle V\cap W}$tiene codimensión tres.

Algunos autores como Bloch definen una intersección propia sin asumir que X es regular: en las notaciones anteriores, un componente P es propio si

${\displaystyle \operatorname {codim} (P,X)\geq \operatorname {codim} (V,X)+\operatorname {codim} (W,X).}$

• intersección completa
• homomorfismo de gysin

• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., vol.  2 (2.ª  ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323 
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157