Tensor product of modules

In mathematics, the tensor product of modules is a construction that allows arguments about bilinear maps (e.g. multiplication) to be carried out in terms of linear maps. The module construction is analogous to the construction of the tensor product of vector spaces, but can be carried out for a pair of modules over a commutative ring resulting in a third module, and also for a pair of a right-module and a left-module over any ring, with result an abelian group. Tensor products are important in areas of abstract algebra, homological algebra, algebraic topology, algebraic geometry, operator algebras and noncommutative geometry. The universal property of the tensor product of vector spaces extends to more general situations in abstract algebra. The tensor product of an algebra and a module can be used for extension of scalars. For a commutative ring, the tensor product of modules can be iterated to form the tensor algebra of a module, allowing one to define multiplication in the module in a universal way.

For a ring R, a right R-module M, a left R-module N, and an abelian group G, a map φ: M × N → G is said to be R-balanced, R-middle-linear or an R-balanced product if for all m, m′ in M, n, n′ in N, and r in R the following hold:^[1]:126$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (m,n+n')&=\varphi (m,n)+\varphi (m,n')&&{\text{Dl}}_{\varphi }\\\varphi (m+m',n)&=\varphi (m,n)+\varphi (m',n)&&{\text{Dr}}_{\varphi }\\\varphi (m\cdot r,n)&=\varphi (m,r\cdot n)&&{\text{A}}_{\varphi }\\\end{alineado}}}$$

The set of all such balanced products over R from M × N to G is denoted by L_R(M, N; G).

Si φ y ψ son productos balanceados, entonces cada una de las operaciones φ + ψ y − φ definidas puntualmente es un producto balanceado. Esto convierte el conjunto L _R ( M , N ; G ) en un grupo abeliano.

Para M y N fijos, el mapa G ↦ L _R ( M , N ; G ) es un functor de la categoría de grupos abelianos a sí misma. La parte del morfismo viene dada por mapear un homomorfismo de grupo g  : G → G ′ a la función φ ↦ g ∘ φ , que va de L _R ( M , N ; G ) a L _R ( M , N ; G ′) .

Observaciones

1. Las propiedades (Dl) y (Dr) expresan la biaditividad de φ , que puede considerarse como la distributividad de φ sobre la suma.
2. La propiedad (A) se asemeja a alguna propiedad asociativa de φ .
3. Todo anillo R es un R - bimódulo . Por lo tanto, la multiplicación de anillos ( r , r ′) ↦ r ⋅ r ′ en R es un producto R -equilibrado R × R → R .

Para un anillo R , un R -módulo derecho M , un R -módulo izquierdo N , el producto tensorial sobre R$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$$ es un grupo abeliano junto con un producto equilibrado (como se definió anteriormente) $${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N}$$ que es universal en el siguiente sentido: ^{[ 2 ]}

Para cada grupo abeliano G y cada producto equilibrado$${\displaystyle f:M\times N\to G}$$existe un homomorfismo de grupo único$${\displaystyle {\tilde {f}}:M\otimes _{R}N\to G}$$de tal manera que$${\displaystyle {\tilde {f}}\circ \otimes =f.}$$

Como ocurre con todas las propiedades universales , la propiedad anterior define el producto tensorial de forma única salvo un único isomorfismo: cualquier otro grupo abeliano y producto equilibrado con las mismas propiedades será isomorfo a M ⊗ _R N y ⊗. De hecho, la aplicación ⊗ se denomina canónica , o más explícitamente: la aplicación canónica (o producto equilibrado) del producto tensorial. ^{[ 3 ]}

La definición no prueba la existencia de M ⊗ _R N ; véase más abajo una construcción.

El producto tensorial también puede definirse como un objeto representativo para el functor G → L _R ( M , N ; G ) ; explícitamente, esto significa que existe un isomorfismo natural : $${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {L} _{R}(M,N;G)\\g\mapsto g\circ \otimes \end{cases}}}$$

Esta es una forma concisa de enunciar la propiedad de mapeo universal dada anteriormente. (Si a priori se nos da este isomorfismo natural, entonces${\displaystyle \otimes }$puede recuperarse tomando${\displaystyle G=M\otimes _{R}N}$y luego trazar el mapa de identidad.)

De manera similar, dada la identificación natural${\displaystyle \operatorname {L} _{R}(M,N;G)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G))}$⁠ , ^{[ 4 ]} también se puede definir M ⊗ _R N mediante la fórmula $${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G)).}$$

Esto se conoce como la adjunción tensorial-hom ; véase también §  Propiedades .

Para cada x en M , y en N , se escribe

para la imagen de ( x , y ) bajo el mapa canónico ⁠${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N}$A menudo se le llama tensor puro . Estrictamente hablando, la notación correcta sería x ⊗ _R y, pero es convencional omitir R aquí. Entonces, inmediatamente a partir de la definición, hay relaciones:

La propiedad universal de un producto tensorial tiene la siguiente consecuencia importante:

Demostración: Para la primera afirmación, sea L el subgrupo de${\displaystyle M\otimes _{R}N}$generado por elementos de la forma en cuestión,${\displaystyle Q=(M\otimes _{R}N)/L}$y q es el mapa cociente de Q. Tenemos:${\displaystyle 0=q\circ \otimes }$así como${\displaystyle 0=0\circ \otimes }$Por lo tanto, debido a la unicidad de la propiedad universal, q = 0. La segunda afirmación se debe a que para definir un homomorfismo de módulo , basta con definirlo en el conjunto generador del módulo.${\displaystyle \square }$

The structure of a tensor product of quite ordinary modules may be unpredictable.

Let G be an abelian group in which every element has finite order (that is G is a torsion abelian group; for example G can be a finite abelian group or ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$⁠). Then:^[10]$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G=0.}$$

Indeed, any ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G}$ is of the form $${\displaystyle x=\sum _{i}r_{i}\otimes g_{i},\qquad r_{i}\in \mathbb {Q} ,g_{i}\in G.}$$

If ${\displaystyle n_{i}}$ is the order of ⁠${\displaystyle g_{i}}$⁠, then we compute: $${\displaystyle x=\sum (r_{i}/n_{i})n_{i}\otimes g_{i}=\sum r_{i}/n_{i}\otimes n_{i}g_{i}=0.}$$

Similarly, one sees $${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} /\mathbb {Z} =0.}$$

Here are some identities useful for calculation: Let R be a commutative ring, I, J ideals, M, NR-modules. Then

1. ⁠${\displaystyle R/I\otimes _{R}M=M/IM}$⁠. If M is flat, ⁠${\displaystyle IM=I\otimes _{R}M}$⁠.^{[proof 1]}
2. ${\displaystyle M/IM\otimes _{R/I}N/IN=M\otimes _{R}N\otimes _{R}R/I}$ (because tensoring commutes with base extensions)
3. ⁠${\displaystyle R/I\otimes _{R}R/J=R/(I+J)}$⁠.^{[proof 2]}

Example: If G is an abelian group, ⁠${\displaystyle G\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n=G/nG}$⁠; this follows from 1.

Example:⁠${\displaystyle \mathbb {Z} /n\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /m=\mathbb {Z} /{\gcd(n,m)}}$⁠; this follows from 3. In particular, for distinct prime numbers p, q, $${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \otimes \mathbb {Z} /q\mathbb {Z} =0.}$$

Tensor products can be applied to control the order of elements of groups. Let G be an abelian group. Then the multiples of 2 in $${\displaystyle G\otimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$$ are zero.

Example: Let ${\displaystyle \mu _{n}}$ be the group of n-th roots of unity. It is a cyclic group and cyclic groups are classified by orders. Thus, non-canonically, ${\displaystyle \mu _{n}\approx \mathbb {Z} /n}$ and thus, when g is the gcd of n and m, $${\displaystyle \mu _{n}\otimes _{\mathbb {Z} }\mu _{m}\approx \mu _{g}.}$$

Example: Consider ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$⁠. Since ${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} }$ is obtained from ${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$ by imposing ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-linearity on the middle, we have the surjection $${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} }$$ whose kernel is generated by elements of the form ${\displaystyle {r \over s}x\otimes y-x\otimes {r \over s}y}$ where r, s, x, u are integers and s is nonzero. Since $${\displaystyle {r \over s}x\otimes y={r \over s}x\otimes {s \over s}y=x\otimes {r \over s}y,}$$ the kernel actually vanishes; hence, ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} }$⁠.

However, consider ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ and ⁠${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$⁠. As ${\displaystyle \mathbb {R} }$-vector space, ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ has dimension 4, but ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$ has dimension 2.

Thus, ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ and ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$ are not isomorphic.

Example: We propose to compare ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$ and ⁠${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} }$⁠. Like in the previous example, we have: ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} =\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$ as abelian group and thus as ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$⁠-vector space (any ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-linear map between ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-espacios vectoriales es${\displaystyle \mathbb {Q} }$-lineal). Como${\displaystyle \mathbb {Q} }$-espacio vectorial,${\displaystyle \mathbb {R} }$tiene dimensión (cardinalidad de una base) de continuo . Por lo tanto,${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$tiene un${\displaystyle \mathbb {Q} }$-base indexada por un producto de continuos; por lo tanto, su${\displaystyle \mathbb {Q} }$-dimensión es continuo. Por lo tanto, por razones de dimensión, existe un isomorfismo no canónico de${\displaystyle \mathbb {Q} }$-espacios vectoriales: $${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} \approx \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} .}$$

Considere los módulos${\displaystyle M=\mathbb {C} [x,y,z]/(f),N=\mathbb {C} [x,y,z]/(g)}$para${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x,y,z]}$polinomios irreducibles tales que${\displaystyle \gcd(f,g)=1}$⁠ . Entonces, $${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f)}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y,z]}{\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(g)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f,g)}}}$$

Otra familia de ejemplos útiles proviene del cambio de escalares. Observe que $${\displaystyle {\frac {\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\otimes _{\mathbb {Z} }R\cong {\frac {R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}}$$

Buenos ejemplos de este fenómeno para analizar son cuando${\displaystyle R=\mathbb {Q} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Z} /(p^{k}),\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}}$⁠ .

La construcción de M ⊗ N toma un cociente de un grupo abeliano libre con base los símbolos m ∗ n , usados ​​aquí para denotar el par ordenado ( m , n ) , para m en M y n en N por el subgrupo generado por todos los elementos de la forma

1. − m ∗ ( n + n ′) + m ∗ n + m ∗ n ′
2. −( m + m ′) ∗ n + m ∗ n + m ′ ∗ n
3. ( m · r ) ∗ n − m ∗ ( r · n )

donde m , m ′ en M , n , n ′ en N , y r en R . El mapa cociente que toma m ∗ n = ( m , n ) al cociente que contiene m ∗ n ; es decir, $${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N,\,(m,n)\mapsto [m*n]}$$ está equilibrado, y el subgrupo se ha elegido de forma mínima para que este mapa esté equilibrado. La propiedad universal de ⊗ se deduce de las propiedades universales de un grupo abeliano libre y un cociente.

Si S es un subanillo de un anillo R , entonces${\displaystyle M\otimes _{R}N}$es el grupo cociente de${\displaystyle M\otimes _{S}N}$por el subgrupo generado por${\displaystyle xr\otimes _{S}y-x\otimes _{S}ry,\,r\in R,x\in M,y\in N}$, dónde${\displaystyle x\otimes _{S}y}$es la imagen de${\displaystyle (x,y)}$bajo​${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{S}N}$En particular, cualquier producto tensorial de R -módulos puede construirse, si así se desea, como un cociente de un producto tensorial de grupos abelianos imponiendo la propiedad de producto R -equilibrado.

Desde una perspectiva más teórica de categorías, sea σ la acción derecha dada de R sobre M ; es decir, σ( m , r ) = m · r y τ la acción izquierda de R sobre N. Entonces, siempre que el producto tensorial de grupos abelianos ya esté definido, el producto tensorial de M y N sobre R puede definirse como el coecualizador : $${\displaystyle M\otimes R\otimes N{{{} \atop {\overset {\sigma \times 1}{\to }}} \atop {{\underset {1\times \tau }{\to }} \atop {}}}M\otimes N\to M\otimes _{R}N}$$ dónde${\displaystyle \otimes }$La expresión sin subíndice se refiere al producto tensorial de grupos abelianos.

En la construcción del producto tensorial sobre un anillo conmutativo R , la estructura de R -módulo se puede construir desde el principio formando el cociente de un R -módulo libre por el submódulo generado por los elementos dados anteriormente para la construcción general, aumentado por los elementos r ⋅ ( m ∗ n ) − m ∗ ( r ⋅ n ) . Alternativamente, a la construcción general se le puede dar una estructura de Z( R )-módulo definiendo la acción escalar por r ⋅ ( m ⊗ n ) = m ⊗ ( r ⋅ n ) cuando esto está bien definido, que es precisamente cuando r ∈ Z( R ), el centro de R .

El producto directo de M y N rara vez es isomorfo al producto tensorial de M y N. Cuando R no es conmutativo, el producto tensorial requiere que M y N sean módulos en lados opuestos, mientras que el producto directo requiere que sean módulos en el mismo lado. En todos los casos, la única función de M × N a G que es lineal y bilineal es la función cero.

En general, no todas las propiedades de un producto tensorial de espacios vectoriales se extienden a módulos. Sin embargo, algunas propiedades útiles del producto tensorial, consideradas como homomorfismos de módulos , se mantienen.

El ejemplo más destacado de un producto tensorial de módulos en geometría diferencial es el producto tensorial de los espacios de campos vectoriales y formas diferenciales. Más precisamente, si R es el anillo (conmutativo) de funciones suaves en una variedad suave M , entonces se pone $${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}=\Gamma (M,TM)^{\otimes p}\otimes _{R}\Gamma (M,T^{*}M)^{\otimes q}}$$ donde Γ significa el espacio de secciones y el superíndice${\displaystyle \otimes p}$significa tensorializar p veces sobre R. Por definición, un elemento de${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}}$es un campo tensorial de tipo ( p , q ).

Como módulos R ,${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{p}^{q}}$es el módulo dual de${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}}$⁠ . ^{[ 14 ]}

Para aligerar la notación, coloque${\displaystyle E=\Gamma (M,TM)}$y así${\displaystyle E^{*}=\Gamma (M,T^{*}M)}$⁠ . ^{[ 15 ]} Cuando p , q ≥ 1, para cada ( k , l ) con 1 ≤ k ≤ p , 1 ≤ l ≤ q , existe un mapeo R -multilineal: $${\displaystyle E^{p}\times {E^{*}}^{q}\to {\mathfrak {T}}_{q-1}^{p-1},\,(X_{1},\dots ,X_{p},\omega _{1},\dots ,\omega _{q})\mapsto \langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots \otimes {\widehat {X_{l}}}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\widehat {\omega _{l}}}\otimes \cdots \otimes \omega _{q}}$$ dónde${\displaystyle E^{p}}$medio${\displaystyle \prod _{1}^{p}E}$y el sombrero indica que se omite un término. Por la propiedad universal, corresponde a una única aplicación R -lineal: $${\displaystyle C_{l}^{k}:{\mathfrak {T}}_{q}^{p}\to {\mathfrak {T}}_{q-1}^{p-1}.}$$

Se denomina contracción de tensores en el índice ( k , l ). Al desentrañar lo que dice la propiedad universal, se observa: $${\displaystyle C_{l}^{k}(X_{1}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots \otimes \omega _{q})=\langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots {\widehat {X_{l}}}\cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\widehat {\omega _{l}}}\cdots \otimes \omega _{q}.}$$

Nota : La discusión anterior es habitual en los libros de texto de geometría diferencial (por ejemplo, Helgason ). En cierto modo, la construcción basada en la teoría de haces (es decir, el lenguaje de haces de módulos ) es más natural y cada vez más común; para ello, véase la sección §  Producto tensorial de haces de módulos .

En general, $${\displaystyle -\otimes _{R}-:{\text{Mod-}}R\times R{\text{-Mod}}\longrightarrow \mathrm {Ab} }$$ es un bifunctor que acepta como entrada un par de módulos R derechos e izquierdos y los asigna al producto tensorial en la categoría de grupos abelianos .

Al fijar un módulo R derecho M , un functor $${\displaystyle M\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\longrightarrow \mathrm {Ab} }$$ surge, y simétricamente se podría fijar un módulo R izquierdo N para crear un functor.$${\displaystyle -\otimes _{R}N:{\text{Mod-}}R\longrightarrow \mathrm {Ab} .}$$

A diferencia del bifunctor Hom${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(-,-),}$El functor tensorial es covariante en ambas entradas.

Se puede demostrar que${\displaystyle M\otimes _{R}-}$y${\displaystyle -\otimes _{R}N}$son siempre functores exactos por la derecha , pero no necesariamente exactos por la izquierda ( ⁠${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{n}\to 0}$⁠ , donde el primer mapa es la multiplicación por ⁠${\displaystyle n}$⁠ , es exacto pero no después de tomar el tensor con${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$). Por definición, un módulo T es un módulo plano si${\displaystyle T\otimes _{R}-}$es un functor exacto.

Si${\displaystyle \{m_{i}\mid i\in I\}}$y${\displaystyle \{n_{j}\mid j\in J\}}$son conjuntos generadores para M y N , respectivamente, entonces${\displaystyle \{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}}$será un conjunto generador para${\displaystyle M\otimes _{R}N.}$Porque el functor tensorial${\displaystyle M\otimes _{R}-}$a veces no se deja exacto, esto puede no ser un conjunto generador mínimo, incluso si los conjuntos generadores originales son mínimos. Si M es un módulo plano , el functor${\displaystyle M\otimes _{R}-}$es exacto por la propia definición de un módulo plano. Si los productos tensoriales se toman sobre un cuerpo F , estamos en el caso de espacios vectoriales como se indicó anteriormente. Dado que todos los módulos F son planos, el bifunctor${\displaystyle -\otimes _{R}-}$es exacto en ambas posiciones, y los dos conjuntos generadores dados son bases, entonces${\displaystyle \{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}}$De hecho, constituye una base para${\displaystyle M\otimes _{F}N}$⁠ .

Si S y T son R -álgebras conmutativas, entonces, de forma similar a #Para módulos equivalentes , S ⊗ _R T también será un R -álgebra conmutativa, con la aplicación de multiplicación definida por ( m ₁ ⊗ m ₂ ) ( n ₁ ⊗ n ₂ ) = ( m ₁ n ₁ ⊗ m ₂ n ₂ ) y extendida por linealidad. En este contexto, el producto tensorial se convierte en un coproducto fibrado en la categoría de R -álgebras conmutativas. (Pero no es un coproducto en la categoría de R -álgebras).

Si M y N son ambos R -módulos sobre un anillo conmutativo, entonces su producto tensorial es también un R -módulo. Si R es un anillo, _R M es un R -módulo izquierdo, y el conmutador

Si dos elementos cualesquiera r y s de R están en el anulador de M , entonces podemos hacer de M un módulo derecho de R estableciendo

La acción de R sobre M se factoriza mediante la acción de un anillo conmutativo cociente. En este caso, el producto tensorial de M consigo mismo sobre R es nuevamente un R -módulo. Esta es una técnica muy común en álgebra conmutativa.

• functor Tor
• Producto tensorial de álgebras
• Producto tensorial de campos
• Producto tensorial derivado
• Teorema de Eilenberg-Watts

• Bourbaki, Álgebra
• Helgason, Sigurdur (1978), Geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos , Academic Press, ISBN 0-12-338460-5
• Northcott, DG (1984), Álgebra multilineal , Cambridge University Press, ISBN 613-0-04808-4.
• Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna ; Gubareni, Nadiya ; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Álgebras, anillos y módulos , Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4.
• May, Peter (1999). Un curso conciso de topología algebraica (PDF) . University of Chicago Press.