Presentación gratuita

En álgebra , una presentación libre de un módulo M sobre un anillo conmutativo R es una sucesión exacta de R -módulos:

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}R\ {\overset {f}{\to }}\ \bigoplus _{j\in J}R\ {\overset {g}{\to }}\ M\to 0.}$

Nótese que la imagen bajo g de la base estándar genera M. En particular, si J es finito , entonces M es un módulo finitamente generado . Si I y J son conjuntos finitos, entonces la presentación se llama presentación finita ; un módulo se llama finitamente presentado si admite una presentación finita.

Dado que f es un homomorfismo de módulos entre módulos libres , puede visualizarse como una matriz (infinita) con entradas en R y M como su conúcleo .

Siempre existe una presentación libre: cualquier módulo es un cociente de un módulo libre: , pero entonces el núcleo de g es nuevamente un cociente de un módulo libre: . La combinación de f y g es una presentación libre de M. Ahora bien, obviamente se pueden seguir "resolviendo" los núcleos de esta manera; el resultado se llama resolución libre . Por lo tanto, una presentación libre es la parte inicial de la resolución libre.${\displaystyle F\ {\overset {g}{\to }}\ M\to 0}$${\displaystyle F'\ {\overset {f}{\to }}\ \ker g\to 0}$

Una presentación es útil para el cálculo. Por ejemplo, dado que la tensorialización es exacta por la derecha , al tensorializar la presentación anterior con un módulo, digamos N , se obtiene:

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}N\ {\overset {f\otimes 1}{\to }}\ \bigoplus _{j\in J}N\to M\otimes _{R}N\to 0.}$

Esto dice que es el conúcleo de . Si N también es un anillo (y por lo tanto un R -álgebra ), entonces esta es la presentación del N -módulo ; es decir, la presentación se extiende bajo la extensión de la base.${\displaystyle M\otimes _{R}N}$${\displaystyle f\otimes 1}$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

Para functores exactos por la izquierda , existe, por ejemplo,

Demostración: Al aplicar F a una presentación finita se obtiene${\displaystyle R^{\oplus n}\to R^{\oplus m}\to M\to 0}$

${\displaystyle 0\to F(M)\to F(R^{\oplus m})\to F(R^{\oplus n}).}$

Esto se puede extender fácilmente a

${\displaystyle 0\to 0\to F(M)\to F(R^{\oplus m})\to F(R^{\oplus n}).}$

Lo mismo se aplica a . Ahora aplicamos el lema de los cinco .${\displaystyle G}$${\displaystyle \square }$

• Módulo coherente
• Módulo relacionado de forma finita
• Ideal para encajar
• haz cuasi coherente

• Eisenbud, David , Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.