Ideal para encajar

En álgebra conmutativa , los ideales de Fitting de un módulo finitamente generado sobre un anillo conmutativo describen las obstrucciones para generar el módulo con un número dado de elementos. Fueron introducidos por Hans Fitting ( 1936 ) . 

Si M es un módulo finitamente generado sobre un anillo conmutativo R generado por elementos m ₁ ,..., m _n con relaciones

${\displaystyle a_{j1}m_{1}+\cdots +a_{jn}m_{n}=0\ ({\text{para }}j=1,2,\dots )}$

entonces el i th Ajuste ideal${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{i}(M)}$de M se genera mediante los menores (determinantes de submatrices) de orden${\displaystyle ni}$de la matriz${\displaystyle a_{jk}}$. Los ideales de ajuste no dependen de la elección de generadores y relaciones de M .

Algunos autores definieron el ajuste ideal.${\displaystyle I(M)}$ser el primer ajuste distinto de cero ideal${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{i}(M)}$.

Los ideales de ajuste están aumentando

${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{0}(M)\subseteq \operatorname {Fitt} _{1}(M)\subseteq \operatorname {Fitt} _{2}(M)\subseteq \cdots }$

Si M puede ser generado por n elementos, entonces Fitt _n ( M ) = R , y si R es local, se cumple lo contrario. Tenemos Fitt ₀ ( M ) ⊆ Ann( M ) (el aniquilador de M ), y Ann( M )Fitt _i ( M ) ⊆ Fitt _{i − 1} ( M ), por lo que en particular, si M puede ser generado por n elementos, entonces Ann( M ) ⁿ ⊆ Fitt ₀ ( M ).        

Si M es libre de rango n, entonces los ideales de ajuste${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{i}(M)}$son cero para i < n y R para i ≥ n .   

Si M es un grupo abeliano finito de orden${\displaystyle |M|}$(considerado como un módulo sobre los enteros) entonces el ideal de Fitting${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{0}(M)}$es el ideal${\displaystyle (|M|)}$.

El polinomio de Alexander de un nudo es un generador del ideal de Fitting de la primera homología del recubrimiento abeliano infinito del complemento del nudo .

El ideal de Fitting cero también puede usarse para dar una variante de la noción de imagen de un morfismo en teoría de esquemas , una variante que se comporta bien en familias. Específicamente, dado un morfismo finito de esquemas noetherianos${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$, el${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$-módulo${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$es coherente , por lo que podemos definir${\displaystyle \operatorname {Fitt} _{0}(f_{*}{\mathcal {O}}_{X})}$como un haz coherente de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$-ideales; el subesquema cerrado correspondiente de${\displaystyle Y}$se denomina imagen de ajuste de f . ^{[ 1 ]}

• Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  150, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960 
• Montaje, Hans (1936), "Die Determinantenideale eines Moduls" , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 46 : 195– 228, ISSN 0012-0456 
• Mazur, Barry ; Wiles, Andrew (1984), "Campos de clases de extensiones abelianas de Q ", Inventiones Mathematicae , 76 (2): 179–330 , doi : 10.1007/BF01388599 , ISSN 0020-9910 , MR 0742853  
• Northcott, DG (1976), Resoluciones libres finitas , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-60487-1, MR 0460383