functor exacto

En matemáticas , particularmente en álgebra homológica , un functor exacto es aquel que preserva secuencias exactas cortas . Los functores exactos son convenientes para cálculos algebraicos porque pueden aplicarse directamente a representaciones de objetos. Gran parte del trabajo en álgebra homológica está diseñado para abordar functores que no son exactos, pero de maneras que aún pueden controlarse.

Sean P y Q categorías abelianas , y sea F : P → Q un functor aditivo covariante (de modo que, en particular, F (0) = 0). Decimos que F es un functor exacto si siempre que

${\displaystyle 0\to A\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\to 0}$

es una secuencia exacta corta en P entonces

${\displaystyle 0\to F(A)\ {\stackrel {F(f)}{\longrightarrow }}\ F(B)\ {\stackrel {F(g)}{\longrightarrow }}\ F(C)\to 0}$

es una sucesión exacta corta en Q. (Los mapas a menudo se omiten y se sobreentienden, y se dice: "si 0→ A → B → C →0 es exacto, entonces 0→ F ( A )→ F ( B )→ F ( C )→0 también es exacto".)

Además, decimos que F es

• Exacto por la izquierda si siempre que 0→ A → B → C →0 es exacto entonces 0→ F ( A )→ F ( B )→ F ( C ) es exacto;
• exacto por la derecha si siempre que 0→ A → B → C →0 es exacto entonces F ( A )→ F ( B )→ F ( C )→0 es exacto;
• Se considera semiexacto si siempre que 0→ A → B → C →0 es exacto, entonces F ( A )→ F ( B )→ F ( C ) es exacto. Esto es distinto de la noción de un functor semiexacto topológico .

Si G es un functor aditivo contravariante de P a Q , de forma similar definimos G como

• exacto si siempre que 0→ A → B → C →0 es exacto entonces 0→ G ( C )→ G ( B )→ G ( A )→0 es exacto;
• Exacto por la izquierda si siempre que 0→ A → B → C →0 es exacto entonces 0→ G ( C )→ G ( B )→ G ( A ) es exacto;
• exacto por la derecha si siempre que 0→ A → B → C →0 es exacto entonces G ( C )→ G ( B )→ G ( A )→0 es exacto;
• semi-exacto si siempre que 0→ A → B → C →0 es exacto entonces G ( C )→ G ( B )→ G ( A ) es exacto.

No siempre es necesario comenzar con una secuencia exacta corta completa 0→ A → B → C →0 para que se conserve cierta exactitud. Las siguientes definiciones son equivalentes a las dadas anteriormente:

• F es exacto si y solo si A → B → C exacto implica F ( A )→ F ( B )→ F ( C ) exacto;
• F es exacto por la izquierda si y solo si 0→ A → B → C exacto implica 0→ F ( A )→ F ( B )→ F ( C ) exacto (es decir, si " F convierte núcleos en núcleos");
• F es exacto por la derecha si y solo si A → B → C →0 exacto implica F ( A )→ F ( B )→ F ( C )→0 exacto (es decir, si " F convierte los conúcleos en conúcleos");
• G es exacto por la izquierda si y solo si A → B → C →0 exacto implica 0→ G ( C )→ G ( B )→ G ( A ) exacto (es decir, si " G convierte los conúcleos en núcleos");
• G es exacto por la derecha si y solo si 0→ A → B → C exacto implica G ( C )→ G ( B )→ G ( A )→0 exacto (es decir, si " G convierte núcleos en conúcleos").

Toda equivalencia o dualidad de categorías abelianas es exacta.

Los ejemplos más básicos de functores exactos por la izquierda son los functores Hom : si A es una categoría abeliana y A es un objeto de A , entonces F _A ( X ) = Hom _A ( A , X ) define un functor exacto por la izquierda covariante de A a la categoría Ab de grupos abelianos . ^{[ 1 ]} El functor F _A es exacto si y solo si A es proyectivo . ^{[ 2 ]} El functor G _A ( X ) = Hom _A ( X , A ) es un functor exacto por la izquierda contravariante; ^{[ 3 ]} es exacto si y solo si A es inyectivo . ^{[ 4 ]}

Si k es un cuerpo y V es un espacio vectorial sobre k , escribimos V * = Hom _k ( V , k ) (esto se conoce comúnmente como el espacio dual ). Esto produce un functor exacto contravariante de la categoría de k -espacios vectoriales a sí misma. (La exactitud se deduce de lo anterior: k es un k - módulo inyectivo . Alternativamente, se puede argumentar que toda sucesión exacta corta de k- espacios vectoriales escinde , y cualquier functor aditivo convierte sucesiones escindidas en sucesiones escindidas).

Si X es un espacio topológico , podemos considerar la categoría abeliana de todos los haces de grupos abelianos en X. El functor covariante que asocia a cada haz F el grupo de secciones globales F ( X ) es exacto por la izquierda.

Si R es un anillo y T es un R - módulo derecho , podemos definir un functor H _T de la categoría abeliana de todos los R -módulos izquierdos a Ab usando el producto tensorial sobre R : H _T ( X ) = T ⊗ X . Este es un functor exacto derecho covariante; en otras palabras, dada una sucesión exacta A → B → C →0 de R -módulos izquierdos , la sucesión de grupos abelianos T ⊗ A → T ⊗ B → T ⊗ C → 0 es exacta.

El functor H _T es exacto si y solo si T es plano . Por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {Q} }$es un piso${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulo. Por lo tanto, tensorizar con${\displaystyle \mathbb {Q} }$como un${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulo es un functor exacto. Prueba: Basta con demostrar que si i es una aplicación inyectiva de${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulos${\displaystyle i:M\to N}$, luego el mapeo correspondiente entre los productos tensoriales${\displaystyle M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q} }$es inyectivo. Se puede demostrar que${\displaystyle m\otimes q=0}$si y solo si${\displaystyle m}$es un elemento de torsión o${\displaystyle q=0}$. Los productos tensoriales dados solo tienen tensores puros. Por lo tanto, basta con demostrar que si un tensor puro${\displaystyle m\otimes q}$está en el núcleo , entonces es cero. Supongamos que${\displaystyle m\otimes q}$es un elemento del núcleo. Entonces,${\displaystyle i(m)}$es torsión. Dado que${\displaystyle i}$es inyectivo,${\displaystyle m}$es torsión. Por lo tanto,${\displaystyle m\otimes q=0}$. Por lo tanto,${\displaystyle M\otimes \mathbb {Q} \to N\otimes \mathbb {Q} }$También es inyectivo.

En general, si T no es plano, entonces el producto tensorial no es exacto por la izquierda. Por ejemplo, considérese la secuencia exacta corta de${\displaystyle \mathbf {Z} }$-módulos${\displaystyle 5\mathbf {Z} \hookrightarrow \mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$. Tensorización sobre${\displaystyle \mathbf {Z} }$con${\displaystyle \mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$da una secuencia que ya no es exacta, ya que${\displaystyle \mathbf {Z} /5\mathbf {Z} }$No es libre de torsión y, por lo tanto, no es plano.

Si A es una categoría abeliana y C es una categoría arbitrariamente pequeña , podemos considerar la categoría de funtores ^AC que ^consta de todos los funtores de C a A ; es abeliana. Si X es un objeto dado de C , obtenemos un funtor _EF de AC a A evaluando los funtores en _X. Este funtor EF es exacto.

Aunque la tensorialización puede no ser exacta por la izquierda, se puede demostrar que es un functor exacto por la derecha:

Teorema: Sean A , B , C y P R - módulos para un anillo conmutativo R con identidad multiplicativa.${\displaystyle A\ {\stackrel {f}{\to }}\ B\ {\stackrel {g}{\to }}\ C\to 0}$sea ​​una secuencia corta y exacta de R -módulos. Entonces

${\displaystyle A\otimes _{R}P{\stackrel {f\otimes P}{\to }}B\otimes _{R}P{\stackrel {g\otimes P}{\to }}C\otimes _{R}P\to 0}$

También es una sucesión exacta corta de R -módulos. (Dado que R es conmutativo, esta sucesión es una sucesión de R -módulos y no meramente de grupos abelianos). Aquí definimos

${\displaystyle f\otimes P(a\otimes p):=f(a)\otimes p,g\otimes P(b\otimes p):=g(b)\otimes p}$.

Esto tiene un corolario útil : Si I es un ideal de R y P es como se indicó anteriormente, entonces${\displaystyle P\otimes _{R}(R/I)\cong P/IP}$.

Prueba:${\displaystyle I{\stackrel {f}{\to }}R{\stackrel {g}{\to }}R/I\to 0}$, donde f es la inclusión y g es la proyección, es una sucesión exacta de R -módulos. De lo anterior obtenemos que  :${\displaystyle I\otimes _{R}P{\stackrel {f\otimes P}{\to }}R\otimes _{R}P{\stackrel {g\otimes P}{\to }}R/I\otimes _{R}P\to 0}$es también una secuencia corta y exacta de R -módulos. Por exactitud,${\displaystyle R/I\otimes _{R}P\cong (R\otimes _{R}P)/Image(f\otimes P)=(R\otimes _{R}P)/(I\otimes _{R}P)}$, ya que f es la inclusión. Ahora, consideremos el homomorfismo de R -módulos de${\displaystyle R\otimes _{R}P\rightarrow P}$dado por R extendiendo linealmente el mapa definido en tensores puros:${\displaystyle r\otimes p\mapsto rp.rp=0}$implica que${\displaystyle 0=rp\otimes 1=r\otimes p}$Por lo tanto, el núcleo de este mapa no puede contener ningún tensor puro distinto de cero. ${\displaystyle R\otimes _{R}P}$está compuesto únicamente de tensores puros: Para ${\displaystyle x_{i}\in R,\sum _{i}x_{i}(r_{i}\otimes p_{i})=\sum _{i}1\otimes (r_{i}x_{i}p_{i})=1\otimes (\sum _{i}r_{i}x_{i}p_{i})}$. Por lo tanto, este mapa es inyectivo. Es claramente sobre . Entonces,${\displaystyle R\otimes _{R}P\cong P}$. Similarmente,${\displaystyle I\otimes _{R}P\cong IP}$Esto demuestra el corolario.

Como otra aplicación, mostramos que para,${\displaystyle P=\mathbf {Z} [1/2]:=\{a/2^{k}:a,k\in \mathbf {Z} \},P\otimes \mathbf {Z} /m\mathbf {Z} \cong P/k\mathbf {Z} P}$dónde${\displaystyle k=m/2^{n}}$y n es la mayor potencia de 2 que divide a m . Demostramos un caso especial: m = 12.

Demostración: Consideremos un tensor puro.${\displaystyle (12z)\otimes (a/2^{k})\in (12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P).(12z)\otimes (a/2^{k})=(3z)\otimes (a/2^{k-2})}$. Además, para${\displaystyle (3z)\otimes (a/2^{k})\in (3\mathbf {Z} \otimes _ {Z}P),(3z)\otimes (a/2^{k})=(12z)\otimes (a/2^{k+2})}$Esto demuestra que${\displaystyle (12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)=(3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)}$Alquiler${\displaystyle P=\mathbf {Z} [1/2],A=12\mathbf {Z} ,B=\mathbf {Z} ,C=\mathbf {Z} /12\mathbf {Z} }$, A, B, C, P son módulos R = Z por la acción de multiplicación usual y satisfacen las condiciones del teorema principal . Por la exactitud implícita en el teorema y por la nota anterior obtenemos que ${\displaystyle$ :\mathbf {Z} /12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P\cong (\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)/(12\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)=(\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)/(3\mathbf {Z} \otimes _{Z}P)\cong \mathbf {Z} P/3\mathbf {Z} P} . La última congruencia se deduce mediante un argumento similar al de la demostración del corolario que muestra que${\displaystyle I\otimes _{R}P\cong IP}$.

Un functor es exacto si y solo si es exacto por la izquierda y exacto por la derecha.

Un functor covariante (no necesariamente aditivo) es exacto por la izquierda si y solo si convierte límites finitos en límites; un functor covariante es exacto por la derecha si y solo si convierte colímites finitos en colímites; un functor contravariante es exacto por la izquierda si y solo si convierte colímites finitos en límites; un functor contravariante es exacto por la derecha si y solo si convierte límites finitos en colímites.

El grado en que un functor exacto izquierdo no es exacto se puede medir con sus functores derivados derechos ; el grado en que un functor exacto derecho no es exacto se puede medir con sus functores derivados izquierdos .

Los functores exactos por la izquierda y por la derecha son omnipresentes principalmente debido al siguiente hecho: si el functor F es adjunto por la izquierda de G , entonces F es exacto por la derecha y G es exacto por la izquierda.

En SGA4 , tomo I, sección 1, la noción de functores exactos por la izquierda (derecha) se define para categorías generales, y no solo para las abelianas. La definición es la siguiente:

Sea C una categoría con límites proyectivos (o inductivos) finitos. Entonces, un functor de C a otra categoría C ′ es exacto por la izquierda (o por la derecha) si conmuta con límites proyectivos (o inductivos) finitos.

A pesar de su abstracción, esta definición general tiene consecuencias útiles. Por ejemplo, en la sección 1.8, Grothendieck demuestra que un functor es pro-representable si y solo si es exacto por la izquierda, bajo algunas condiciones suaves en la categoría C.

Los functores exactos entre las categorías exactas de Quillen generalizan los functores exactos entre las categorías abelianas que se analizan aquí.

Los functores regulares entre categorías regulares a veces se denominan functores exactos y generalizan los functores exactos que se analizan aquí.