Producto tensorial derivado

En álgebra, dada una álgebra diferencial graduada A sobre un anillo conmutativo R , el functor de producto tensorial derivado es

${\displaystyle -\otimes _{A}^{\textbf {L}}-:D({\mathsf {M}}_{A})\times D({}_{A}{\mathsf {M}})\to D({}_{R}{\mathsf {M}})}$

dónde${\displaystyle {\mathsf {M}}_{A}}$y${\displaystyle {}_{A}{\mathsf {M}}}$son las categorías de A -módulos derechos y A- módulos izquierdos y D se refiere a la categoría de homotopía (es decir, categoría derivada ). ^{[ 1 ]} Por definición, es el functor derivado izquierdo del functor producto tensorial.${\displaystyle -\otimes _{A}-:{\mathsf {M}}_{A}\times {}_{A}{\mathsf {M}}\to {}_{R}{\mathsf {M}}}$.

Si R es un anillo ordinario y M y N son módulos derechos e izquierdos sobre él, entonces, considerándolos como espectros discretos, se puede formar el producto smash de ellos:

${\displaystyle M\otimes _{R}^{L}N}$

cuya i -ésima homotopía es el i -ésimo Tor :

${\displaystyle \pi _{i}(M\otimes _{R}^{L}N)=\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,N)}$.

Se denomina producto tensorial derivado de M y N. En particular,${\displaystyle \pi _{0}(M\otimes _{R}^{L}N)}$es el producto tensorial usual de los módulos M y N sobre R.

Geométricamente, el producto tensorial derivado corresponde al producto de intersección (de esquemas derivados ).

Ejemplo : Sea R un anillo conmutativo simplicial , Q ( R ) → R un reemplazo cofibrante, y${\displaystyle \Omega _{Q(R)}^{1}}$sea ​​el módulo de diferenciales de Kähler. Entonces

${\displaystyle \mathbb {L} _{R}=\Omega _{Q(R)}^{1}\otimes _{Q(R)}^{L}R}$

es un R -módulo llamado complejo cotangente de R. Es funtorial en R : cada R → S da lugar a${\displaystyle \mathbb {L} _{R}\to \mathbb {L} _{S}}$. Entonces, para cada R → S , existe la secuencia de cofibras de S -módulos

${\displaystyle \mathbb {L} _{S/R}\to \mathbb {L} _{R}\otimes _{R}^{L}S\to \mathbb {L} _{S}.}$

La cofibra${\displaystyle \mathbb {L} _{S/R}}$Se denomina complejo cotangente relativo.

• Esquema derivado (el producto tensorial derivado proporciona una versión derivada de una intersección teórica de esquemas ).

• Lurie, J. , Geometría algebraica espectral (en construcción)
• Lección 4 de la Parte II de Moerdijk-Toen, Métodos simpliciales para operadas y geometría algebraica
• Cap. 2.2. del HAG II de Toen-Vezzosi