anillo conmutativo simplicial

En álgebra , un anillo conmutativo simplicial es un monoide conmutativo en la categoría de grupos abelianos simpliciales , o, equivalentemente, un objeto simplicial en la categoría de anillos conmutativos . Si A es un anillo conmutativo simplicial, entonces se puede demostrar que${\displaystyle \pi _{0}A}$es un anillo y${\displaystyle \pi _{i}A}$son módulos sobre ese anillo (de hecho,${\displaystyle \pi _{*}A}$es un anillo graduado sobre${\displaystyle \pi _{0}A}$.)

Un equivalente topológico de esta noción es un espectro de anillo conmutativo .

• El anillo de formas diferenciales polinómicas sobre símplexes.

Sea A un anillo conmutativo simplicial. Entonces la estructura de anillo de A da${\displaystyle \pi _{*}A=\oplus _{i\geq 0}\pi _{i}A}$La estructura de un anillo graduado conmutativo graduado es la siguiente.

Según la correspondencia Dold-Kan ,${\displaystyle \pi _{*}A}$es la homología del complejo de cadena correspondiente a A ; en particular, es un grupo abeliano graduado. A continuación, para multiplicar dos elementos, escribiendo${\displaystyle S^{1}}$para el círculo simplicial , sea${\displaystyle x:(S^{1})^{\wedge i}\to A,\,\,y:(S^{1})^{\wedge j}\to A}$ser dos mapas. Luego la composición

${\displaystyle (S^{1})^{\wedge i}\times (S^{1})^{\wedge j}\to A\times A\to A}$,

el segundo mapa la multiplicación de A , induce${\displaystyle (S^{1})^{\wedge i}\wedge (S^{1})^{\wedge j}\to A}$. Esto a su vez da un elemento en${\displaystyle \pi _{i+j}A}$. Hemos definido así la multiplicación graduada${\displaystyle \pi _{i}A\times \pi _{j}A\to \pi _{i+j}A}$. Es asociativa porque el producto smash lo es. Es conmutativa graduada (es decir,${\displaystyle xy=(-1)^{|x||y|}yx}$) desde la involución${\displaystyle S^{1}\wedge S^{1}\to S^{1}\wedge S^{1}}$introduce un signo menos.

Si M es un módulo simplicial sobre A (es decir, M es un grupo abeliano simplicial con una acción de A ), entonces el argumento similar muestra que${\displaystyle \pi _{*}M}$tiene la estructura de un módulo graduado sobre${\displaystyle \pi _{*}A}$(véase el espectro del módulo ).

Por definición, la categoría de esquemas derivados afines es la categoría opuesta a la categoría de anillos conmutativos simpliciales; un objeto correspondiente a A se denotará por${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$.

• Anillo E_n

• ¿Qué es un anillo conmutativo simplicial desde el punto de vista de la teoría de la homotopía?
• ¿Qué hechos del álgebra conmutativa fallan estrepitosamente para los anillos conmutativos simpliciales, incluso hasta la homotopía?
• Solicitud de referencia: CDGA frente a sAlg en el carácter 0
• A. Mathew, Anillos conmutativos simpliciales, I.
• B. Toën, Preshaces simpliciales y geometría algebraica derivada
• P. Goerss y K. Schemmerhorn, Categorías de modelos y métodos simpliciales