Empuje hacia afuera (teoría de categorías)

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un pushout (también llamado coproducto fibrado , suma fibrada , cuadrado cocartesiano o suma amalgamada ) es el colímite de un diagrama formado por dos morfismos f  : Z → X y g  : Z → Y con un dominio común . El pushout consta de un objeto P junto con dos morfismos X → P e Y → P que completan un cuadrado conmutativo con los dos morfismos dados f y g . De hecho, la propiedad universal que define el pushout (que se indica a continuación) esencialmente afirma que el pushout es la forma "más general" de completar este cuadrado conmutativo. Las notaciones comunes para el pushout son:${\displaystyle P=X\sqcup _{Z}Y}$y${\displaystyle P=X+_{Z}Y}$.

El empuje hacia afuera es el dual categórico del retroceso hacia atrás .

Explícitamente, el empuje de los morfismos f y g consiste en un objeto P y dos morfismos i ₁  : X → P e i ₂  : Y → P tales que el diagrama

conmuta y tal que ( P , i ₁ , i ₂ ) es universal con respecto a este diagrama. Es decir, para cualquier otra tripleta ( Q , j ₁ , j ₂ ) para la cual el siguiente diagrama conmuta, debe existir una única u  : P → Q que también haga que el diagrama conmute:

Como ocurre con todas las construcciones universales, el empuje, si existe, es único salvo un único isomorfismo .

Aquí se muestran algunos ejemplos de pushouts en categorías conocidas . Cabe destacar que, en cada caso, solo proporcionamos una construcción de un objeto en la clase de isomorfismo de pushouts; como se mencionó anteriormente, aunque puede haber otras formas de construirlo, todas son equivalentes.

• Supongamos que X , Y y Z, como se indicó anteriormente, son conjuntos , y que f  : Z → X y g : Z → Y son funciones de conjunto. El empuje de f y g es la unión disjunta de X e Y , donde se identifican los elementos que comparten una preimagen común (en Z ), junto con los morfismos i1 , i2 de X e Y , es _{decir ,}       ${\displaystyle P=(X\sqcup Y)/\!\sim }$donde ~ es la relación de equivalencia más fina tal que f ( z )  ~ g ( z ) para todo z en Z . En particular, si X e Y son subconjuntos de algún conjunto mayor W y Z es su intersección , con f y g las aplicaciones de inclusión de Z en X e Y , entonces el empuje puede identificarse canónicamente con la unión ${\displaystyle X\cup Y\subsetequ W}$.
  • Un caso específico de esto es el cografo de una función. Si${\displaystyle f\colon X\to Y}$Si f es una función, entonces el cografo de una función es el empuje de f a lo largo de la función identidad de X. En términos elementales, el cografo es el cociente de${\displaystyle X\sqcup Y}$por la relación de equivalencia generada al identificar${\displaystyle x\in X\subseteq X\sqcup Y}$con${\displaystyle f(x)\in Y\subseteq X\sqcup Y}$. Una función puede recuperarse mediante su cografo porque cada clase de equivalencia en${\displaystyle X\sqcup Y}$contiene precisamente un elemento de Y. Los cografos son duales a los grafos de funciones ya que el grafo puede definirse como el retroceso de f a lo largo de la identidad de Y. ^{[ 1 ] [ 2 ]}
• La construcción de espacios de adjunción es un ejemplo de empujes en la categoría de espacios topológicos . Más precisamente, si Z es un subespacio de Y y g  : Z → Y es la aplicación de inclusión, podemos "pegar" Y a otro espacio X a lo largo de Z usando una "aplicación de adjunción" f  : Z → X. El resultado es el espacio de adjunción.${\displaystyle X\cup _{f}Y}$, que es simplemente el pushout de f y g . De manera más general, todos los espacios de identificación pueden considerarse como pushouts de esta forma.
• Un caso especial de lo anterior es la suma de cuñas o unión de un punto; aquí tomamos X e Y como espacios con punto y Z como el espacio de un punto. Entonces, el empuje es${\displaystyle X\vee Y}$, el espacio obtenido al pegar el punto base de X al punto base de Y.
• En la categoría de grupos abelianos , los pushouts pueden pensarse como " suma directa con pegado" de la misma manera que pensamos en los espacios de adjunción como " unión disjunta con pegado". El grupo cero es un subgrupo de todo grupo , por lo que para cualesquiera grupos abelianos A y B , tenemos homomorfismos.${\displaystyle f:0\to A}$y${\displaystyle g:0\to B}$. El pushout de estos mapas es la suma directa de A y B . Generalizando al caso donde f y g son homomorfismos arbitrarios de un dominio común Z , se obtiene para el pushout un grupo cociente de la suma directa; es decir, realizamos el módulo out por el subgrupo que consiste en pares ( f ( z ),  − g ( z )). Así hemos "pegado" a lo largo de las imágenes de Z bajo f y g . Un enfoque similar produce el pushout en la categoría de R -módulos para cualquier anillo R .
• En la categoría de grupos , el pushout se denomina producto libre con amalgamación . Aparece en el teorema de Seifert-van Kampen de topología algebraica (véase más abajo).
• En CRing , la categoría de anillos conmutativos (una subcategoría completa de la categoría de anillos ), el pushout viene dado por el producto tensorial de anillos.${\displaystyle A\otimes _{C}B}$con los morfismos${\displaystyle g':A\rightarrow A\otimes _{C}B}$y${\displaystyle f':B\rightarrow A\otimes _{C}B}$que satisfacen${\displaystyle f'\circ g=g'\circ f}$De hecho, dado que el pushout es el colímite de un espacio generado y el pullback es el límite de un cospan , podemos pensar en el producto tensorial de anillos y el producto fibrado de anillos (véase la sección de ejemplos) como nociones duales entre sí. En particular, sean A , B y C objetos (anillos conmutativos con identidad) en CRing y sean f  : C → A y g  : C → B morfismos ( homomorfismos de anillos ) en CRing . Entonces el producto tensorial es:

${\displaystyle A\otimes _{C}B=\left\{\sum _{i\in I}(a_{i},b_{i})\;{\big |}\;a_{i}\in A,b_{i}\in B\right\}{\Bigg /}{\bigg \langle }(f(c)a,b)-(a,g(c)b)\;{\big |}\;a\in A,b\in B,c\in C{\bigg \rangle }}$

• Véase Producto libre de álgebras asociativas para el caso de anillos no conmutativos.
• En el monoide multiplicativo de enteros positivos${\displaystyle \mathbf {Z} _{+}}$Considerada como una categoría con un objeto, la proyección de dos enteros positivos m y n es simplemente el par${\displaystyle \left({\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{m}},{\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{n}}\right)}$donde los numeradores son el mínimo común múltiplo de m y n . Nótese que el mismo par es también el retroceso.
• Dejar${\displaystyle f:X\to Y}$ser un morfismo en una categoría${\displaystyle {\mathcal {C}}}$(resp. homomorfismo de anillo en un CRing ) tal que el empuje${\displaystyle Y\sqcup _{X}Y}$(respectivamente, producto tensorial)${\displaystyle i_{1},i_{2}:Y\otimes _{X}Y}$) existe, aquí dos morfismos${\displaystyle i_{1},i_{2}:Y\to Y\sqcup _{X}Y}$(resp.${\displaystyle i_{1},i_{2}:Y\to Y\otimes _{X}Y}$Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i)${\displaystyle f}$es un epimorfismo .

(ii)${\displaystyle i_{1}}$es un isomorfismo (resp. isomorfismo de anillo ).

(iii)${\displaystyle i_{2}}$es un isomorfismo (o isomorfismo de anillos)

(iv) El morfismo codiagonal${\displaystyle Y\sqcup _{X}Y\to Y}$es un isomorfismo ^{[ 3 ]} (resp.${\displaystyle Y\otimes _{X}Y\to Y}$es un isomorfismo de anillo ^{[ 4 ]} ).

• Siempre que exista el empuje A ⊔ _C B , entonces también existe B ⊔ _C A y hay un isomorfismo natural A ⊔ _C B ≅ B ⊔ _C A .
• En una categoría abeliana existen todos los pushouts y preservan los cokernels en el siguiente sentido: si ( P , i ₁ , i ₂ ) es el pushout de f  : Z → X y g  : Z → Y , entonces el mapa natural coker( f ) → coker( i ₂ ) es un isomorfismo, y también lo es el mapa natural coker( g ) → coker( i ₁ ).
• Existe un isomorfismo natural ( A ⊔ _C B ) ⊔ _B D ≅ A ⊔ _C D . Explícitamente, esto significa:
  • si se dan los mapas f  : C → A , g  : C → B y h  : B → D y
  • El empuje de f y g viene dado por i  : A → P y j  : B → P , y
  • El empuje de j y h viene dado por k  : P → Q y l  : D → Q ,
  • entonces el empuje de f y hg viene dado por ki  : A → Q y l  : D → Q .

Gráficamente, esto significa que dos cuadrados pushout, colocados uno al lado del otro y que comparten un morfismo, forman un cuadrado pushout más grande cuando se ignora el morfismo compartido interno.

Los pushouts son equivalentes a coproductos y coecualizadores (si hay un objeto inicial ) en el sentido de que:

• Los coproductos son un empuje del objeto inicial, y el coecualizador de f , g  : X → Y es el empuje de [ f , g ] y [1 _X , 1 _X ], por lo que si hay empujes (y un objeto inicial), entonces hay coecualizadores y coproductos;
• Los pushouts se pueden construir a partir de coproductos y coecualizadores, como se describe a continuación (el pushout es el coecualizador de las aplicaciones al coproducto).

Todos los ejemplos anteriores pueden considerarse casos especiales de la siguiente construcción muy general, que funciona en cualquier categoría C que satisfaga:

• Para cualesquiera objetos A y B de C , su coproducto existe en C ;
• Para cualesquiera morfismos j y k de C con el mismo dominio y el mismo objetivo, el coecualizador de j y k existe en C.

En esta configuración, obtenemos la proyección de los morfismos f  : Z → X y g  : Z → Y formando primero el coproducto de los objetivos X e Y. Tenemos entonces dos morfismos de Z a este coproducto. Podemos ir de Z a X mediante f , e incluirlo en el coproducto, o podemos ir de Z a Y mediante g , e incluirlo en el coproducto. La proyección de f y g es el coecualizador de estas nuevas aplicaciones.

El teorema de Seifert-van Kampen responde a la siguiente pregunta. Supongamos que tenemos un espacio conexo por caminos.${\displaystyle X}$, cubierto por subespacios abiertos conectados por caminos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$cuya intersección${\displaystyle A\cap B}$También está conectado por caminos. (Supongamos también que el punto base${\displaystyle \ast }$se encuentra en la intersección de A y B .) Si conocemos los grupos fundamentales de${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$y${\displaystyle A\cap B}$¿Podemos recuperar el grupo fundamental de${\displaystyle X}$La respuesta es sí, siempre que también conozcamos los homomorfismos inducidos. ${\displaystyle \pi _{1}(A\cap B,*)\to \pi _{1}(A,*)}$ y ${\displaystyle \pi _{1}(A\cap B,*)\to \pi _{1}(B,*).}$ El teorema dice entonces que el grupo fundamental de${\displaystyle X}$es el empuje de estos dos mapas inducidos. Lo más obvio es que${\displaystyle X}$es el empuje de los dos mapas de inclusión de${\displaystyle A\cap B}$en${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$. Por lo tanto, podemos interpretar el teorema como una confirmación de que el functor del grupo fundamental preserva las proyecciones de inclusiones. Podríamos esperar que esto sea más sencillo cuando${\displaystyle A\cap B}$es simplemente conectado , ya que entonces ambos homomorfismos anteriores tienen dominio trivial. En efecto, este es el caso, ya que entonces el pushout (de grupos) se reduce al producto libre , que es el coproducto en la categoría de grupos. En un caso más general hablaremos de un producto libre con amalgamación .

En el libro de JP May, que figura en las referencias, se ofrece una exposición detallada de este tema en un contexto algo más general ( que abarca los grupoides ).

• May, JP. Un curso conciso de topología algebraica. University of Chicago Press, 1999.

  Introducción a los enfoques categóricos de la topología algebraica: el enfoque se centra en el álgebra y presupone conocimientos previos de topología.

• Ronald Brown, "Topología y grupoides" (PDF disponible), ofrece una descripción de algunos métodos categóricos en topología y utiliza el grupoide fundamental sobre un conjunto de puntos base para generalizar el teorema de Seifert-van Kampen.

• Philip J. Higgins, "Categorías y grupoides" (descarga gratuita). Explica algunos usos de los grupoides en la teoría de grupos y la topología.

• Muro, Fernando (2016). "Unidades de homotopía en álgebras A-infinito". Trans. Amer. Math. Soc . 368 : 2145–2184 . arXiv : 1111.2723 . doi : 10.1090/tran/6545 .
• Lazard, Daniel (1969). "Autour de la tópico". Boletín de la Société Mathématique de France . 97 : 81– 128. doi : 10.24033/bsmf.1675 .

• Expulsión en nLab