Espacio anexo

En matemáticas , un espacio de adjunción (o espacio adjunto ) es una construcción común en topología donde un espacio topológico se adjunta o "pega" a otro. Específicamente, sea${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$sean espacios topológicos, y sea${\displaystyle A}$ser un subespacio de${\displaystyle Y}$. Dejar${\displaystyle f:A\rightarrow X}$ser una aplicación continua (llamada aplicación adjunta ). Se forma el espacio de adjunción.${\displaystyle X\cup _{f}Y}$(a veces también escrito como${\displaystyle X+_{f}Y}$) tomando la unión disjunta de${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$y la identificación${\displaystyle a}$con${\displaystyle f(a)}$a pesar de${\displaystyle a}$en${\displaystyle A}$Formalmente,

${\displaystyle X\cup _{f}Y=(X\sqcup Y)/\sim }$

donde la relación de equivalencia${\displaystyle \sim }$es generado por${\displaystyle a\sim f(a)}$a pesar de${\displaystyle a}$en${\displaystyle A}$y el cociente se define mediante la topología de cociente . Como conjunto,${\displaystyle X\cup _{f}Y}$consiste en la unión disjunta de${\displaystyle X}$y (${\displaystyle YA}$). Sin embargo, la topología se especifica mediante la construcción del cociente.

Intuitivamente, uno puede pensar en${\displaystyle Y}$como si estuviera pegado a${\displaystyle X}$a través del mapa${\displaystyle f}$.

• Un ejemplo común de espacio de adjunción se da cuando Y es una n - bola cerrada (o celda ) y A es el límite de la bola, la ( n -1) -esfera . Al adjuntar inductivamente celdas a lo largo de sus límites esféricos a este espacio, se obtiene un ejemplo de complejo CW .
• Los espacios de adjunción también se utilizan para definir sumas conexas de variedades . En este caso, primero se eliminan las bolas abiertas de X e Y antes de adjuntar los límites de las bolas eliminadas a lo largo de una aplicación adjunta.
• Si A es un espacio con un punto, entonces la adjunción es la suma de cuñas de X e Y.
• Si X es un espacio con un punto , entonces la adjunción es el cociente Y / A.

Las aplicaciones continuas h  : X ∪ _f Y → Z están en correspondencia biunívoca con los pares de aplicaciones continuas h _X  : X → Z y h _Y  : Y → Z que satisfacen h _X ( f ( a ))= h _Y ( a ) para todo a en A .

En el caso en que A sea un subespacio cerrado de Y, se puede demostrar que la aplicación X → X ∪ _f Y es una incrustación cerrada y ( Y − A ) → X ∪ _f Y es una incrustación abierta.

La construcción adjunta es un ejemplo de un pushout en la categoría de espacios topológicos . Es decir, el espacio de adjunción es universal con respecto al siguiente diagrama conmutativo :

Aquí i es la aplicación de inclusión y Φ _X , Φ _Y son las aplicaciones obtenidas al componer la aplicación cociente con las inyecciones canónicas en la unión disjunta de X e Y. Se puede formar una aplicación de empuje más general reemplazando i por una aplicación continua arbitraria g ; la construcción es similar. Recíprocamente, si f también es una inclusión, la construcción de conexión consiste simplemente en unir X e Y a lo largo de su subespacio común.

• espacio cociente
• Cilindro de mapeo

• Stephen Willard, Topología general , (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts. (Ofrece una introducción muy breve).
• "Espacio de adjunción" . PlanetMath .
• Ronald Brown , "Topología y grupoides" (PDF disponible , 2006), disponible en Amazon. Analiza el tipo homotópico de los espacios de adjunción y los utiliza como introducción a los complejos celulares (finitos).
• JHC Whitehead "Nota sobre un teorema debido a Borsuk" Bull AMS  54  (1948), 1125-1132 es la referencia externa más antigua que conozco que utiliza el término "espacio de adjunción".