Grupo trivial

En matemáticas , un grupo trivial o grupo cero es un grupo que consta de un solo elemento. Todos estos grupos son isomorfos , por lo que a menudo se habla del grupo trivial. El único elemento del grupo trivial es el elemento identidad y, por lo tanto, se suele denotar como tal :${\displaystyle 0}$,​​${\displaystyle 1}$, o​${\displaystyle \mathrm {e} }$Dependiendo del contexto. Si la operación de grupo se denota${\displaystyle \,\cdot \,}$⁠ entonces se define por ⁠${\displaystyle \mathrm {e} \cdot \mathrm {e} =\mathrm {e} }$⁠ .

De manera similar, se defineEl monoide trivial también es un grupo, ya que su único elemento es su propio inverso, y por lo tanto es lo mismo que el grupo trivial.

El grupo trivial es distinto del conjunto vacío , que no tiene elementos, por lo tanto carece de un elemento neutro y, por consiguiente, no puede ser un grupo.

Dado cualquier grupo${\displaystyle G}$⁠ , el grupo que consta únicamente del elemento identidad es un subgrupo de ⁠${\displaystyle G}$⁠ , y, al ser el grupo trivial, se llama elsubgrupo trivial de${\displaystyle G}$⁠ .

El término, cuando se hace referencia a "${\displaystyle G}$" no tiene subgrupos propios no triviales" se refiere a los únicos subgrupos de${\displaystyle G}$siendo el grupo trivial${\displaystyle \{\mathrm {e} \}}$y el grupo${\displaystyle G}$él mismo.

El grupo trivial es cíclico de orden ⁠${\displaystyle 1}$; como tal , puede denotarse${\displaystyle \mathrm {Z} _ {1}}$o​​${\displaystyle \mathrm {C} _ {1}}$⁠ . Si la operación de grupo se llama suma, el grupo trivial se suele denotar por ⁠${\displaystyle 0}$⁠ . Si la operación de grupo se llama multiplicación, entonces ⁠${\displaystyle 1}$⁠ puede ser una notación para el grupo trivial. La combinación de estos conduce al anillo trivial en el que las operaciones de suma y multiplicación son idénticas y ⁠${\displaystyle 0=1}$⁠ .

El grupo trivial es el único grupo con exactamente un subgrupo. Todos los demás grupos tienen al menos dos subgrupos: el grupo trivial y él mismo. El grupo trivial no tiene subgrupos propios .

El grupo trivial sirve como objeto cero en la categoría de grupos , lo que significa que es a la vez un objeto inicial y un objeto terminal .

El grupo trivial puede convertirse en un grupo (bi)ordenado dotándolo del orden no estricto trivial .${\displaystyle \,\leq }$⁠ .

• Objeto cero (álgebra) – Estructura algebraica con un solo elemento. 
• Lista de grupos pequeños

• Rowland, Todd y Weisstein, Eric W. "Grupo trivial" . MathWorld .
• Rowland, Todd y Weisstein, Eric W. "Subgrupo" . MundoMatemático .
• Rowland, Todd y Weisstein, Eric W. "Subgrupo propio" . MathWorld .