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Intersección completa

En matemáticas, una variedad algebraica V en el espacio proyectivo es una intersección completa si el ideal de V está generado por exactamente codim V elementos. Es decir, si V ...

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En matemáticas, una variedad algebraica V en el espacio proyectivo es una intersección completa si el ideal de V está generado por exactamente codim V elementos. Es decir, si V tiene dimensión m y se encuentra en el espacio proyectivo P n , deben existir n − m polinomios homogéneos: [ 1 ]

Fi(incógnita0,⋯,incógnitanorte),1≤i≤norte−metro,{\displaystyle F_{i}(X_{0},\cdots ,X_{n}),1\leq i\leq nm,}

en las coordenadas homogéneas X j , que generan todos los demás polinomios homogéneos que se anulan en V .

Geométricamente, cada F i define una hipersuperficie ; la intersección de estas hipersuperficies debería ser V. La intersección de n − m hipersuperficies siempre tendrá una dimensión de al menos m , suponiendo que el campo de los escalares sea un campo algebraicamente cerrado como los números complejos . La pregunta es esencialmente: ¿podemos reducir la dimensión a m , sin puntos adicionales en la intersección? Esta condición es bastante difícil de comprobar tan pronto como la codimensión n − m ≥ 2. Cuando n − m = 1 , entonces V es automáticamente una hipersuperficie y no hay nada que demostrar.

Ejemplos

Ejemplos sencillos de intersecciones completas los proporcionan las hipersuperficies que se definen por el lugar geométrico de anulación de un solo polinomio. Por ejemplo,

V(incógnita05+⋯+incógnita45)=Proyecto(F[incógnita0,…,incógnita4](incógnita05+⋯+incógnita45))→iPAGF4{\displaystyle \mathbb {V} (x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5})={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {F} [x_{0},\ldots ,x_{4}]}{(x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5})}}\right){\xrightarrow {i}}\mathbb {P} _{\mathbb {F} }^{4}}

da un ejemplo de una variedad quíntica triple . Puede ser difícil encontrar ejemplos explícitos de intersecciones completas de variedades de dimensiones superiores usando dos o más ejemplos explícitos (bestiario), pero hay un ejemplo explícito de una variedad triple de tipo(2,4){\displaystyle (2,4)}dado por

V(incógnita02+incógnita12+incógnita22+incógnita32+incógnita4incógnita5,incógnita44+incógnita54−2incógnita0incógnita1incógnita2incógnita3).{\displaystyle \mathbb {V} (x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}x_{5},x_{4}^{4}+x_{5}^{4}-2x_{0}x_{1}x_{2}x_{3}).}

No ejemplos

Cúbico retorcido

Un método para construir intersecciones completas locales consiste en tomar una variedad de intersección completa proyectiva e incrustarla en un espacio proyectivo de mayor dimensión. Un ejemplo clásico de esto es el cubo retorcido enPAGR3{\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{3}}Se trata de una intersección completa local suave, lo que significa que en cualquier gráfico puede expresarse como el lugar geométrico de anulación de dos polinomios, pero globalmente se expresa como el lugar geométrico de anulación de más de dos polinomios. Podemos construirla utilizando el fibrado de líneas, que es muy amplio.O(3){\displaystyle {\mathcal {O}}(3)}encimaPAG1{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}dando la incrustación ( mapa de Veronese )

PAGR1→PAGR3{\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{1}\to \mathbb {P} _{R}^{3}}por[s:t]↦[s3:s2t:st2:t3].{\displaystyle [s:t]\mapsto [s^{3}:s^{2}t:st^{2}:t^{3}].}

Tenga en cuenta queΓ(O(3))=DurarR{s3,s2t,st2,t3}{\displaystyle \Gamma ({\mathcal {O}}(3))={\text{Span}}_{R}\{s^{3},s^{2}t,st^{2},t^{3}\}}Si dejamosPAGR3=Proyecto(R[incógnita0,incógnita1,incógnita2,incógnita3]){\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{3}={\text{Proj}}(R[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}])}La incrustación proporciona las siguientes relaciones:

F1=incógnita0incógnita3−incógnita1incógnita2F2=incógnita12−incógnita0incógnita2F3=incógnita22−incógnita1incógnita3.{\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}&=x_{0}x_{3}-x_{1}x_{2}\\f_{2}&=x_{1}^{2}-x_{0}x_{2}\\f_{3}&=x_{2}^{2}-x_{1}x_{3}.\end{aligned}}}

Por lo tanto, el cúbico retorcido es el esquema proyectivo.

Proyecto(R[incógnita0,incógnita1,incógnita2,incógnita3](F1,F2,F3)).{\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {R[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(f_{1},f_{2},f_{3})}}\right).}

Unión de variedades que difieren en dimensión

Otra forma conveniente de construir una intersección no completa, que nunca puede ser una intersección completa local, es tomando la unión de dos variedades diferentes cuyas dimensiones no coinciden. Por ejemplo, la unión de una línea y un plano que se intersecan en un punto es un ejemplo clásico de este fenómeno. Está dada por el esquema

Especulación(do[incógnita,y,z](incógnitaz,yz)).{\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xz,yz)}}\right).}

Múltiples titulaciones

Una intersección completa tiene un multigrado , escrito como la tupla (propiamente a través de un multiconjunto ) de los grados de las hipersuperficies definitorias. Por ejemplo, tomando cuádricas enPAG3{\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}Nuevamente, (2,2) es el grado múltiple de la intersección completa de dos de ellas, que cuando están en posición general es una curva elíptica . Los números de Hodge de intersecciones completas suaves complejas fueron calculados por Kunihiko Kodaira .

Posición general

Para cuestiones más específicas, es necesario analizar con mayor detalle la naturaleza de la intersección. Puede requerirse que las hipersuperficies satisfagan una condición de transversalidad (como que sus espacios tangentes estén en posición general en los puntos de intersección). La intersección puede ser de naturaleza esquemática ; en otras palabras, aquí puede requerirse que el ideal homogéneo generado por F i ( X 0 , ..., X n ) sea el ideal definitorio de V , y no solo que tenga el radical correcto . En álgebra conmutativa , la condición de intersección completa se traduce en términos de secuencias regulares , lo que permite definir la intersección completa local , o, tras cierta localización, un ideal posee secuencias regulares definitorias.

Topología

Homología

Dado que las intersecciones completas de dimensiónnorte{\displaystyle n}endoPAGnorte+metro{\displaystyle \mathbb {CP} ^{n+m}}son la intersección de secciones hiperplanas , podemos usar el teorema del hiperplano de Lefschetz para deducir que

Hj(incógnita)=Z{\displaystyle H^{j}(X)=\mathbb {Z} }

paraj<norte{\displaystyle j<n}Además, se puede comprobar que los grupos de homología son siempre libres de torsión utilizando el teorema del coeficiente universal . Esto implica que el grupo de homología medio está determinado por la característica de Euler del espacio.

Característica de Euler

Hirzebruch proporcionó una función generadora que calcula la dimensión de todas las intersecciones completas de múltiples grados.(a1,…,ar){\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{r})}Dice

∑norte=0∞χ(incógnitanorte(a1,…,ar))znorte=a1⋯ar(1−z)2∏i=1r1(1+(ai−1)z).{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\chi (X_{n}(a_{1},\ldots ,a_{r}))z^{n}={\frac {a_{1}\cdots a_{r}}{(1-z)^{2}}}\prod _{i=1}^{r}{\frac {1}{(1+(a_{i}-1)z)}}.}

Citación

  1. ↑ Harris 1992 , pág. 136, Definición.

Referencias

  • Harris, Joe (1992). Geometría algebraica: Un primer curso . Springer Science . ISBN 978-0-387-97716-4.
  • Hübsch, Tristan, Variedades de Calabi-Yau, Un bestiario para físicos , World Scientific, pág.  380, ISBN 978-981-02-0662-8
  • Looijenga, EJN (1984), Isolated singular points on complete intersections , London Mathematical Society Lecture Note Series, vol.  77, Cambridge: Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9780511662720 , ISBN 0-521-28674-3, MR 0747303 
  • Meyer, Christian (2005), Triples modulares Calabi-Yau , vol.  22, Monografías del Fields Institute, pág.  194, ISBN 978-0-8218-3908-9
  • Características de Euler de las intersecciones completas (PDF) , archivado del original (PDF) el 15 de agosto de 2017.
  • Intersecciones completas en el Atlas Manifold
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