Dimensión global

En teoría de anillos y álgebra homológica , la dimensión global (o dimensión homológica global ; a veces llamada simplemente dimensión homológica ) de un anillo A, denotada gl dim A , es un entero no negativo o infinito que constituye un invariante homológico del anillo. Se define como el supremo del conjunto de dimensiones proyectivas de todos los A - módulos . La dimensión global es una noción técnica importante en la teoría de dimensiones de anillos noetherianos . Según un teorema de Jean-Pierre Serre , la dimensión global puede utilizarse para caracterizar, dentro de la clase de anillos locales noetherianos conmutativos , aquellos anillos que son regulares . Su dimensión global coincide con la dimensión de Krull , cuya definición es de naturaleza modular.

Cuando el anillo A no es conmutativo , inicialmente hay que considerar dos versiones de esta noción: la dimensión global derecha, que surge de la consideración de los A -módulos derechos , y la dimensión global izquierda, que surge de la consideración de los A -módulos izquierdos . Para un anillo A arbitrario , las dimensiones globales derecha e izquierda pueden diferir. Sin embargo, si A es un anillo noetheriano, ambas dimensiones resultan ser iguales a la dimensión global débil , cuya definición es simétrica izquierda-derecha. Por lo tanto, para anillos noetherianos no conmutativos, estas dos versiones coinciden y está justificado hablar de la dimensión global. ^{[ 1 ]}

• Sea A  = K [ x ₁ ,..., x _n ] el anillo de polinomios en n variables sobre un cuerpo K . Entonces la dimensión global de A es igual a n . Esta afirmación se remonta al trabajo fundamental de David Hilbert sobre las propiedades homológicas de los anillos de polinomios; véase el teorema de sizigia de Hilbert . De forma más general, si R es un anillo noetheriano de dimensión global finita k y A = R [x] es un anillo de polinomios en una variable sobre R , entonces la dimensión global de A es igual a k + 1.     

• Un anillo tiene dimensión global cero si y solo si es semisimple .

• La dimensión global de un anillo A es menor o igual a uno si y solo si A es hereditario . En particular, un dominio de ideales principales conmutativo que no es un cuerpo tiene dimensión global uno. Por ejemplo ${\displaystyle \mathbb {Z} }$tiene dimensión global uno.

• La primera álgebra de Weyl A ₁ es un dominio noetheriano no conmutativo de dimensión global uno.

• Si un anillo es noetheriano derecho, entonces la dimensión global derecha es igual a la dimensión global débil, y como máximo es igual a la dimensión global izquierda. En particular, si un anillo es noetheriano derecho e izquierdo, entonces las dimensiones globales izquierda y derecha, así como la dimensión global débil, son todas iguales.
• El anillo de matriz triangular${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{bmatrix}}}$Tiene dimensión global derecha 1, dimensión global débil 1, pero dimensión global izquierda 2. Es noetheriano derecho pero no noetheriano izquierdo.

La dimensión global derecha de un anillo A puede definirse alternativamente como:

• el supremo del conjunto de dimensiones proyectivas de todos los A- módulos derechos cíclicos ;
• el supremo del conjunto de dimensiones proyectivas de todos los A- módulos derechos finitos ;
• el supremo de las dimensiones inyectivas de todos los A- módulos derechos ;
• cuando A es un anillo local noetheriano conmutativo con ideal máximo m , la dimensión proyectiva del campo residual A / m .

La dimensión global izquierda de A tiene caracterizaciones análogas que se obtienen al reemplazar "derecha" por "izquierda" en la lista anterior.

Serre demostró que un anillo local noetheriano conmutativo A es regular si y solo si tiene dimensión global finita, en cuyo caso la dimensión global coincide con la dimensión de Krull de A. Este teorema abrió la puerta a la aplicación de métodos homológicos al álgebra conmutativa.

• Eisenbud, David (1999), Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  150 (3.ª  ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-94268-8.
• Kaplansky, Irving (1972), Campos y anillos , Chicago Lectures in Mathematics (2.ª  ed.), University Of Chicago Press, ISBN 0-226-42451-0, Zbl 1001.16500 
• Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría de anillos conmutativos , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  8, Cambridge University Press, ISBN 0-521-36764-6.
• McConnell, JC; Robson, JC; Small, Lance W. (2001), Edición revisada, Anillos noetherianos no conmutativos , Estudios de posgrado en matemáticas , vol.  30, Sociedad Matemática Americana, ISBN 0-8218-2169-5.