variedad afín

En geometría algebraica , una variedad afín o variedad algebraica afín es un cierto tipo de variedad algebraica que puede describirse como un subconjunto de un espacio afín .

De manera más formal, un conjunto algebraico afín es el conjunto de los ceros comunes sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k de alguna familia de polinomios en el anillo de polinomios.${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$Una variedad afín es un conjunto algebraico afín que no es la unión de dos conjuntos algebraicos más pequeños; algebraicamente, esto significa que (el radical de) el ideal generado por los polinomios que la definen es primo . Las variedades afines unidimensionales se denominan curvas algebraicas afines , mientras que las bidimensionales se denominan superficies algebraicas afines .

Algunos textos utilizan el término variedad para cualquier conjunto algebraico, y variedad irreducible para cualquier conjunto algebraico cuyo ideal definitorio sea primo (variedad afín en el sentido anterior).

En algunos contextos (véase, por ejemplo, el Teorema de los Nulos de Hilbert ), es útil distinguir el cuerpo k en el que se consideran los coeficientes, del cuerpo algebraicamente cerrado K (que contiene k ) sobre el cual se consideran los ceros comunes (es decir, los puntos del conjunto algebraico afín están en K ⁿ ). En este caso, se dice que la variedad está definida sobre k , y los puntos de la variedad que pertenecen a k ⁿ se dicen k -racionales o racionales sobre k . En el caso común en que k es el cuerpo de los números reales , un punto k -racional se llama punto real . ^{[ 1 ]} Cuando no se especifica el cuerpo k , un punto racional es un punto que es racional sobre los números racionales . Por ejemplo, el Último Teorema de Fermat afirma que la variedad algebraica afín (es una curva) definida por x ⁿ  + y ⁿ − 1 = 0      no tiene puntos racionales para ningún entero n mayor que dos.

Un conjunto algebraico afín es el conjunto de soluciones en un cuerpo algebraicamente cerrado k de un sistema de ecuaciones polinómicas con coeficientes en k . Más precisamente, si${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}}$son polinomios con coeficientes en k , definen un conjunto algebraico afín

${\displaystyle V(f_{1},\ldots ,f_{m})=\left\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in k^{n}\;|\;f_{1}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\ldots =f_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n})=0\right\}.}$

Una variedad afín (algebraica) es un conjunto algebraico afín que no es la unión de dos subconjuntos algebraicos afines propios. A dicho conjunto algebraico afín se le suele llamar irreducible .

Si X es un conjunto algebraico afín, y${\displaystyle \mathrm {I} (X)}$es el ideal de todos los polinomios que son cero en X , entonces el anillo cociente${\displaystyle A(X)=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\mathrm {I} (X)}$se llama elAnillo de coordenadas deX.El ideal${\displaystyle \mathrm {I} (X)}$es radical, por lo que el anillo de coordenadas es un anillo reducido y, si X es una variedad afín (irreducible), entonces${\displaystyle \mathrm {I} (X)}$es primo, por lo que el anillo de coordenadas es un dominio de integridad . Los elementos del anillo de coordenadas${\displaystyle A(X)}$pueden considerarse como funciones polinómicas en X y también se denominan funciones regulares o funciones polinómicas en la variedad. Forman el anillo de funciones regulares en la variedad, o, simplemente, el anillo de la variedad ; en términos más técnicos (véase §  Haz de estructura ), es el espacio de secciones globales del haz de estructura de X.

La dimensión de una variedad es un número entero asociado a cada variedad, e incluso a cada conjunto algebraico, cuya importancia radica en el gran número de definiciones equivalentes (véase Dimensión de una variedad algebraica ).

• El complemento de una hipersuperficie en una variedad afín X (es decir, X \ { f = 0 } para algún polinomio f ) es afín. Sus ecuaciones definitorias se obtienen saturando con f el ideal definitorio de X . El anillo de coordenadas es, por lo tanto, la localización.${\displaystyle k[X][f^{-1}]}$. Por ejemplo, para X = k ⁿ y f ∈ k [ x ₁ ,..., x _n ] , k ⁿ \ { f = 0 } es isomorfo a la hipersuperficie V (1 − x _{n +1} f ) en k ^{n +1} . ^{[ 2 ]}
• En particular, ${\displaystyle k-0}$(la línea afín sin el origen) es afín, isomorfa a la curva${\displaystyle V(1-xy)}$en${\displaystyle k^{2}}$(véase Grupo algebraico §  Ejemplos ).
• Por otro lado,${\displaystyle k^{2}-0}$(el plano afín sin el origen) no es una variedad afín (compárese esto con el teorema de extensión de Hartogs en análisis complejo ). Véase Espectro de un anillo §  Ejemplos no afines .
• Las subvariedades de codimensión uno en el espacio afín${\displaystyle k^{n}}$son precisamente las hipersuperficies, es decir, las variedades definidas por un único polinomio.
• La normalización de una variedad afín irreducible es afín; el anillo de coordenadas de la normalización es la clausura integral del anillo de coordenadas de la variedad. (De manera similar, la normalización de una variedad proyectiva es una variedad proyectiva).

Para una variedad afín${\displaystyle V\subseteq K^{n}}$sobre un cuerpo algebraicamente cerrado K y un subcuerpo k de K , un punto k - racional de V es un punto${\displaystyle p\in V\cap k^{n}.}$Es decir, un punto de V cuyas coordenadas son elementos de k . La colección de puntos k -racionales de una variedad afín V se suele denotar${\displaystyle V(k).}$A menudo, si el campo base son los números complejos C , los puntos que son R -racionales (donde R son los números reales ) se denominan puntos reales de la variedad, y los puntos Q -racionales ( Q los números racionales ) a menudo se denominan simplemente puntos racionales .

Por ejemplo, (1, 0) es un punto Q -racional y R -racional de la variedad${\displaystyle V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq \mathbf {C} ^{2},}$como está en V y todas sus coordenadas son números enteros. El punto ( √ 2 /2, √ 2 /2) es un punto real de V que no es Q -racional, y ${\displaystyle (i,{\sqrt {2}})}$es un punto de V que no es R -racional. Esta variedad se llama círculo , porque el conjunto de sus puntos R -racionales es el círculo unitario . Tiene infinitos puntos Q -racionales que son los puntos

${\displaystyle \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}$

donde t es un número racional.

El círculo${\displaystyle V(x^{2}+y^{2}-3)\subseteq \mathbf {C} ^{2}}$es un ejemplo de una curva algebraica de grado dos que no tiene ningún punto Q -racional. Esto se puede deducir del hecho de que, módulo 4 , la suma de dos cuadrados no puede ser 3 .

Se puede demostrar que una curva algebraica de grado dos con un punto Q -racional tiene infinitos otros puntos Q -racionales; cada uno de estos puntos es el segundo punto de intersección de la curva y una línea con pendiente racional que pasa por el punto racional.

La variedad compleja${\displaystyle V(x^{2}+y^{2}+1)\subseteq \mathbf {C} ^{2}}$No tiene puntos racionales R , pero tiene muchos puntos complejos.

Si V es una variedad afín en C ² definida sobre los números complejos C , los puntos R -racionales de V se pueden dibujar en un trozo de papel o mediante un software gráfico. La figura de la derecha muestra los puntos R -racionales de${\displaystyle V(y^{2}-x^{3}+x^{2}+16x)\subseteq \mathbf {C} ^{2}.}$

Sea V una variedad afín definida por los polinomios${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}\in k[x_{1},\dots ,x_{n}],}$y${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$ser un punto de V.

La matriz jacobiana J _V ( a ) de V en a es la matriz de las derivadas parciales

${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).}$

El punto a es regular si el rango de J _V ( a ) es igual a la codimensión de V , y singular en caso contrario.

Si a es regular, el espacio tangente a V en a es el subespacio afín de${\displaystyle k^{n}}$definido por las ecuaciones lineales ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n})(x_{i}-a_{i})=0,\quad j=1,\dots ,r.}$

Si el punto es singular, el subespacio afín definido por estas ecuaciones también es llamado espacio tangente por algunos autores, mientras que otros autores dicen que no hay espacio tangente en un punto singular. ^{[ 4 ]} Una definición más intrínseca que no utiliza coordenadas es dada por el espacio tangente de Zariski .

Los conjuntos algebraicos afines de k ⁿ forman los conjuntos cerrados de una topología en k ⁿ , llamada topología de Zariski . Esto se deduce del hecho de que${\displaystyle V(0)=k^{n},}$${\displaystyle V(1)=\emptyset ,}$${\displaystyle V(S)\cup V(T)=V(ST),}$y${\displaystyle V(S)\cap V(T)=V(S,T)}$(de hecho, una intersección numerable de conjuntos algebraicos afines es un conjunto algebraico afín).

La topología de Zariski también puede describirse mediante conjuntos abiertos básicos , donde los conjuntos abiertos de Zariski son uniones numerables de conjuntos de la forma${\displaystyle U_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)\neq 0\}}$para${\displaystyle f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$Estos conjuntos abiertos básicos son los complementos en k ⁿ de los conjuntos cerrados.${\displaystyle V(f)=D_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)=0\},}$Lugares geométricos de ceros de un solo polinomio. Si k es noetheriano (por ejemplo, si k es un cuerpo o un dominio de ideales principales ), entonces todo ideal de k es finitamente generado, por lo que todo conjunto abierto es una unión finita de conjuntos abiertos básicos.

Si V es una subvariedad afín de k ^n, la topología de Zariski en V es simplemente la topología de subespacio heredada de la topología de Zariski en k ⁿ .

La estructura geométrica de una variedad afín está profundamente ligada a la estructura algebraica de su anillo de coordenadas. Sean I y J ideales de k [ V ], el anillo de coordenadas de una variedad afín V. Sea I( V ) el conjunto de todos los polinomios en${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$que se desvanecen en V y dejen${\displaystyle {\sqrt {I}}}$denotemos el radical del ideal I , el conjunto de polinomios f para los cuales alguna potencia de f está en I. La razón por la que se requiere que el cuerpo base sea algebraicamente cerrado es que las variedades afines satisfacen automáticamente el Nullstellensatz de Hilbert : para un ideal J en${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$donde k es un cuerpo algebraicamente cerrado,${\displaystyle \mathrm {I} (\mathrm {V} (J))={\sqrt {J}}.}$

Los ideales radicales (ideales que son su propio radical) de k [ V ] corresponden a subconjuntos algebraicos de V . De hecho, para los ideales radicales I y J ,${\displaystyle I\subseteq J}$si y solo si${\displaystyle \mathrm {V} (J)\subseteq \mathrm {V} (I).}$Por lo tanto, V( I ) = V( J ) si y solo si I = J. Además, la función que toma un conjunto algebraico afín W y devuelve I( W ), el conjunto de todas las funciones que también se anulan en todos los puntos de W , es la inversa de la función que asigna un conjunto algebraico a un ideal radical, según el teorema de la nulidad. Por consiguiente, la correspondencia entre conjuntos algebraicos afines e ideales radicales es una biyección. El anillo de coordenadas de un conjunto algebraico afín es reducido (libre de nilpotentes), ya que un ideal I en un anillo R es radical si y solo si el anillo cociente R/I es reducido.

Los ideales primos del anillo de coordenadas corresponden a subvariedades afines. Un conjunto algebraico afín V( I ) puede escribirse como la unión de otros dos conjuntos algebraicos si y solo si I = JK para ideales propios J y K distintos de I (en cuyo caso${\displaystyle \mathrm {V} (I)=\mathrm {V} (J)\cup \mathrm {V} (K)}$Esto se cumple si y solo si I no es primo. Las subvariedades afines son precisamente aquellas cuyo anillo de coordenadas es un dominio de integridad. Esto se debe a que un ideal es primo si y solo si el cociente del anillo por el ideal es un dominio de integridad.

Los ideales máximos de k [ V ] corresponden a puntos de V. Si I y J son ideales radicales, entonces${\displaystyle \mathrm {V} (J)\subseteq \mathrm {V} (I)}$si y solo si${\displaystyle I\subseteq J.}$Como los ideales maximales son radicales, los ideales maximales corresponden a conjuntos algebraicos mínimos (aquellos que no contienen subconjuntos algebraicos propios), que son puntos en V. Si V es una variedad afín con anillo de coordenadas${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle ,}$Esta correspondencia se hace explícita a través del mapa.${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\mapsto \langle {\overline {x_{1}-a_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}-a_{n}}}\rangle ,}$dónde${\displaystyle {\overline {x_{i}-a_{i}}}}$denota la imagen en el álgebra cociente R del polinomio${\displaystyle x_{i}-a_{i}.}$Un subconjunto algebraico es un punto si y solo si el anillo de coordenadas del subconjunto es un cuerpo, ya que el cociente de un anillo por un ideal maximal es un cuerpo.

La siguiente tabla resume esta correspondencia, para subconjuntos algebraicos de una variedad afín e ideales del anillo de coordenadas correspondiente:

Un producto de variedades afines se puede definir usando el isomorfismo A ⁿ  × A ^m = A ^{n + m} ,    luego incrustando el producto en este nuevo espacio afín. Sean A ⁿ y A ^m anillos de coordenadas k [ x ₁ ,..., x _n ]  y k [ y ₁ ,..., y _m ]  respectivamente, de modo que su producto A ^{n + m} tenga anillo de coordenadas k [ x ₁ ,..., x _n , y ₁ ,..., y _m ]    . Sea V  = V ( f ₁ ,..., f _N )    un subconjunto algebraico de A ⁿ , y W  = V ( g ₁ ,..., g _M )    un subconjunto algebraico de A ^m . Entonces cada f _i es un polinomio en k [ x ₁ ,..., x _n ]  , y cada g _j está en k [ y ₁ ,..., y _m ]  . El producto de V y W se define como el conjunto algebraico V  × W = V ( f ₁ ,..., f _N , g ₁ ,..., g _M )        en A ^{n + m} . El producto es irreducible si cada V , W es irreducible. ^{[ 5 ]}

La topología de Zariski en A ⁿ  × A ^m   no es el producto topológico de las topologías de Zariski en los dos espacios. De hecho, la topología producto se genera mediante productos de los conjuntos abiertos básicos U _f  = A ⁿ − V ( f )      y T _g  = A ^m − V ( g ).      Por lo tanto, los polinomios que están en k [ x ₁ ,..., x _n , y ₁ ,..., y _m ]    pero que no se pueden obtener como producto de un polinomio en k [ x ₁ ,..., x _n ]  con un polinomio en k [ y ₁ ,..., y _m ]  definirán conjuntos algebraicos que son cerrados en la topología de Zariski en A ⁿ  × A ^m ,   pero no en la topología producto.

Un morfismo, o aplicación regular, de variedades afines es una función entre variedades afines que es polinómica en cada coordenada: más precisamente, para variedades afines V ⊆ k ⁿ y W ⊆ k ^m , un morfismo de V a W es una aplicación φ : V → W de la forma φ ( a ₁ , ..., a _n ) = ( f ₁ ( a ₁ , ..., a _n ), ..., f _m ( a ₁ , ..., a _n )), donde f _i ∈ k [ X ₁ , ..., X _n ] para cada i = 1, ..., m . Estos son los morfismos en la categoría de variedades afines. 

Existe una correspondencia biunívoca entre los morfismos de variedades afines sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k y los homomorfismos de anillos de coordenadas de variedades afines sobre k que van en la dirección opuesta. Debido a esto, junto con el hecho de que existe una correspondencia biunívoca entre las variedades afines sobre k y sus anillos de coordenadas, la categoría de variedades afines sobre k es dual a la categoría de anillos de coordenadas de variedades afines sobre k . La categoría de anillos de coordenadas de variedades afines sobre k es precisamente la categoría de álgebras finitamente generadas y libres de nilpotentes sobre k .

Más precisamente, para cada morfismo φ : V → W de variedades afines, hay un homomorfismo φ ^# : k [ W ] → k [ V ] entre los anillos de coordenadas (yendo en la dirección opuesta), y para cada uno de esos homomorfismos, hay un morfismo de las variedades asociadas a los anillos de coordenadas. Esto se puede demostrar explícitamente: sean V ⊆ k ⁿ y W ⊆ k ^m variedades afines con anillos de coordenadas k [ V ] = k [ X ₁ , ..., X _n ] / I y k [ W ] = k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J respectivamente. Sea φ : V → W un morfismo. De hecho, un homomorfismo entre anillos de polinomios θ : k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J → k [ X ₁ , ..., X _n ] / I se factoriza de forma única a través del anillo k [ X ₁ , ..., X _n ], y un homomorfismo ψ : k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J → k [ X ₁ , ..., X _n ] está determinado de forma única por las imágenes de Y ₁ , ..., Y _m . Por lo tanto, cada homomorfismo φ ^# : k [ W ] → k [ V ] corresponde de forma única a una elección de imagen para cada Y _i . Entonces, dado cualquier morfismo φ = ( f ₁ , ..., f _m ) de V a W , se puede construir un homomorfismo φ ^# : k [ W ] → k [       V ] que envía Y _i a${\displaystyle {\overline {f_{i}}},}$dónde${\displaystyle {\overline {f_{i}}}}$es la clase de equivalencia de f _i en k [ V ].

De manera similar, para cada homomorfismo de los anillos de coordenadas, se puede construir un morfismo de las variedades afines en la dirección opuesta. Reflejando el párrafo anterior, un homomorfismo φ ^# : k [ W ] → k [ V ] envía Y _i a un polinomio ${\displaystyle f_{i}(X_{1},\dots ,X_{n})}$en k [ V ] . Esto corresponde al morfismo de variedades φ : V → W definido por φ ( a ₁ , ... , a _n ) = ( f ₁ ( a ₁ , ..., a _n ), ..., f _m ( a ₁ , ..., a _n )). 

Equipada con la estructura de haz descrita a continuación, una variedad afín es un espacio localmente anillado .

Dada una variedad afín X con anillo de coordenadas A , el haz de k -álgebras${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$se define dejando${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$sea ​​el anillo de funciones regulares en U.

Sea D ( f ) = { x | f ( x ) ≠ 0 } para cada f en A . Forman una base para la topología de X y por lo tanto${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$está determinado por sus valores en los conjuntos abiertos D ( f ). (Véase también: haz de módulos#Haz asociado a un módulo .)

El hecho clave, en el que se basa esencialmente el teorema de Hilbert sobre los valores nulos , es el siguiente:

Demostración: ^{[ 6 ]} La inclusión ⊃ es clara. Para lo contrario, sea g en el lado izquierdo y${\displaystyle J=\{h\in A|hg\in A\}}$, que es un ideal. Si x está en D ( f ), entonces, dado que g es regular cerca de x , existe algún entorno afín abierto D ( h ) de x tal que${\displaystyle g\in k[D(h)]=A[h^{-1}]}$; es decir, h ^m g está en A y por lo tanto x no está en V ( J ). En otras palabras,${\displaystyle V(J)\subset \{x|f(x)=0\}}$y por lo tanto el teorema de nulidad de Hilbert implica que f está en el radical de J ; es decir,${\displaystyle f^{n}g\in A}$.${\displaystyle \square }$

La afirmación, en primer lugar, implica que X es un espacio "localmente anillado" ya que

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}=\varinjlim _{f(x)\neq 0}A[f^{-1}]=A_{{\mathfrak {m}}_{x}}}$

dónde${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}=\{f\in A|f(x)=0\}}$En segundo lugar, la afirmación implica que${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$es un haz; de hecho, dice que si una función es regular (puntualmente) en D ( f ), entonces debe estar en el anillo de coordenadas de D ( f ); es decir, la "regularidad" se puede unir.

Por eso,${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$es un espacio delimitado localmente.

Un teorema de Serre proporciona una caracterización cohomológica de una variedad afín; dice que una variedad algebraica es afín si y solo si${\displaystyle H^{i}(X,F)=0}$para cualquier${\displaystyle i>0}$y cualquier haz cuasi-coherente F en X. (cf. teorema B de Cartan .) Esto hace que el estudio cohomológico de una variedad afín sea inexistente, en marcado contraste con el caso proyectivo en el que los grupos de cohomología de fibrados de líneas son de interés central.

Una variedad afín G sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k se denomina grupo algebraico afín si tiene:

• Una multiplicación μ : G × G → G      , que es un morfismo regular que sigue el axioma de asociatividad , es decir, tal que μ ( μ ( f , g ), h ) = μ ( f , μ ( g , h ))       para todos los puntos f , g y h en G ;
• Un elemento identidad e tal que μ ( e , g ) = μ ( g , e ) = g       para cada g en G ;
• Un morfismo inverso , una biyección regular ι : G → G    tal que μ ( ι ( g ), g ) = μ ( g , ι ( g )) = e       para cada g en G.

En conjunto, estos definen una estructura de grupo en la variedad. Los morfismos anteriores se suelen escribir utilizando la notación de grupo ordinaria: μ ( f , g )  se puede escribir como f  + g  , f ⋅ g , o fg ; el inverso ι ( g ) se puede escribir como − g o g ⁻¹ . Utilizando la notación multiplicativa, las leyes de asociatividad, identidad e inversa se pueden reescribir como: f ( gh )  =  ( fg ) h , ge  = eg = g    y gg ⁻¹  = g ⁻¹ g = e    .

El ejemplo más destacado de un grupo algebraico afín es GL _n ( k ), el grupo lineal general de grado n . Este es el grupo de transformaciones lineales del espacio vectorial k ⁿ ; si se fija una base de k ⁿ , esto es equivalente al grupo de matrices invertibles n × n con entradas en k . Se puede demostrar que cualquier grupo algebraico afín es isomorfo a un subgrupo de GL _n ( k ) . Por esta razón, los grupos algebraicos afines a menudo se denominan grupos algebraicos lineales .

Los grupos algebraicos afines juegan un papel importante en la clasificación de grupos simples finitos , ya que los grupos de tipo Lie son todos conjuntos de puntos F _q -racionales de un grupo algebraico afín, donde F _q es un cuerpo finito .

• Si un autor requiere que el cuerpo base de una variedad afín sea algebraicamente cerrado (como lo hace este artículo), entonces los conjuntos algebraicos afines irreducibles sobre cuerpos no algebraicamente cerrados son una generalización de las variedades afines. Esta generalización incluye notablemente las variedades afines sobre los números reales .
• Un subconjunto abierto de una variedad afín se denomina variedad cuasi-afín , por lo que toda variedad afín es cuasi-afín. Cualquier variedad cuasi-afín es, a su vez, una variedad cuasi-proyectiva .
• Las variedades afines desempeñan el papel de cartas locales para variedades algebraicas ; es decir, las variedades algebraicas generales, como las proyectivas, se obtienen mediante la unión de variedades afines. Las estructuras lineales que se adjuntan a las variedades también son (trivialmente) variedades afines; por ejemplo, los espacios tangentes, las fibras de haces vectoriales algebraicos .
• La construcción dada en §  Estructura de haz permite una generalización que se utiliza en la teoría de esquemas , el enfoque moderno de la geometría algebraica. Una variedad afín es (salvo equivalencia de categorías ) un caso especial de un esquema afín , un espacio localmente anillado que es isomorfo al espectro de un anillo conmutativo. Cada variedad afín tiene un esquema afín asociado: si V(I) es una variedad afín en k ⁿ con anillo de coordenadas R = k [ x ₁ , ..., x _n ] / I , entonces el esquema correspondiente a V(I) es Spec( R ), el conjunto de ideales primos de R . El esquema afín tiene "puntos clásicos", que corresponden con puntos de la variedad (y por lo tanto ideales maximales del anillo de coordenadas de la variedad), y también un punto para cada subvariedad cerrada de la variedad (estos puntos corresponden a ideales primos no maximales del anillo de coordenadas). Esto crea una noción más definida del " punto genérico " de una variedad afín, al asignar a cada subvariedad cerrada un punto abierto que es denso en la subvariedad. De manera más general, un esquema afín es una variedad afín si es reducido , irreducible y de tipo finito sobre un cuerpo k algebraicamente cerrado .

• Representaciones en anillos de coordenadas

El artículo original fue escrito como una traducción humana parcial del artículo francés correspondiente.

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