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Anillo de intersección completo

En álgebra conmutativa , un anillo de intersección completa es un anillo conmutativo similar a los anillos de coordenadas de variedades que son intersecciones completas . De man...

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En álgebra conmutativa , un anillo de intersección completa es un anillo conmutativo similar a los anillos de coordenadas de variedades que son intersecciones completas . De manera informal, se pueden considerar, a grandes rasgos, como los anillos locales que se pueden definir utilizando el número mínimo posible de relaciones.

Para los anillos locales noetherianos, existe la siguiente cadena de inclusiones:

Anillos catenarios universales ⊃ Anillos de Cohen-Macaulay ⊃ Anillos de Gorenstein ⊃ Anillos de intersección completa ⊃ Anillos locales regulares

Definición

Un anillo de intersección completa local es un anillo local noetheriano cuya completación es el cociente de un anillo local regular por un ideal generado por una sucesión regular . La completación supone una pequeña complicación técnica debido a que no todos los anillos locales son cocientes de anillos regulares. Para los anillos que son cocientes de anillos locales regulares, lo que abarca la mayoría de los anillos locales que aparecen en geometría algebraica, no es necesario considerar la completación en la definición.

Existe una definición intrínseca alternativa que no depende de la incrustación del anillo en un anillo local regular. Si R es un anillo local noetheriano con ideal maximal m , entonces la dimensión de m / m 2 se llama dimensión de incrustación emb dim ( R ) de R. Definimos un álgebra graduada H ( R ) como la homología del complejo de Koszul con respecto a un sistema mínimo de generadores de m / m 2 ; salvo isomorfismo, esto solo depende de R y no de la elección de los generadores de m . La dimensión de H 1 ( R ) se denota por ε 1 y se llama primera desviación de R ; se anula si y solo si R es regular. Un anillo local noetheriano se llama anillo de intersección completo si su dimensión de incrustación es la suma de la dimensión y la primera desviación:

emb tenue( R ) = tenue( R ) + ε 1 ( R ).

También existe una caracterización recursiva de los anillos de intersección completos locales que puede usarse como definición, como se muestra a continuación. Supongamos que R es un anillo local noetheriano completo. Si R tiene dimensión mayor que 0 y x es un elemento del ideal maximal que no es un divisor de cero, entonces R es un anillo de intersección completo si y solo si R /( x ) lo es. (Si el ideal maximal consta enteramente de divisores de cero, entonces R no es un anillo de intersección completo). Si R tiene dimensión 0, entonces Wiebe (1969) demostró que es un anillo de intersección completo si y solo si el ideal de Fitting de su ideal maximal es distinto de cero.

Ejemplos

Anillos locales regulares

Los anillos locales regulares son anillos de intersección completos, pero lo contrario no es cierto: el anillok[incógnita]/(incógnita2){\displaystyle k[x]/(x^{2})}es un anillo de intersección completo de 0 dimensiones que no es regular.

No es una intersección completa

Un ejemplo de un anillo de intersección localmente completo que no es un anillo de intersección completo viene dado pork[incógnita,y]/(y−incógnita2,incógnita3){\displaystyle k[x,y]/(yx^{2},x^{3})}que tiene longitud 3 ya que es isomorfo como unk{\displaystyle k}espacio vectorial ak⊕k⋅incógnita⊕k⋅incógnita2{\displaystyle k\oplus k\cdot x\oplus k\cdot x^{2}}. [ 1 ]

Contraejemplo

Los anillos locales de intersección completa son anillos de Gorenstein , pero lo contrario no es cierto: el anillok[incógnita,y,z]/(incógnita2,y2,incógnitaz,yz,z2−incógnitay)=R/I{\displaystyle k[x,y,z]/(x^{2},y^{2},xz,yz,z^{2}-xy)=R/I}es un anillo de Gorenstein de dimensión 0 que no es un anillo de intersección completo. Comok{\displaystyle k}-espacio vectorial este anillo es isomorfo a

k[incógnita,y,z](incógnita2,y2,incógnitaz,yz,z2−incógnitay)≅R0⊕R1⊕R2{\displaystyle {\frac {k[x,y,z]}{(x^{2},y^{2},xz,yz,z^{2}-xy)}}\cong R_{0}\oplus R_{1}\oplus R_{2}}, dóndeR0=k⋅1,R1=k⋅incógnita⊕k⋅y⊕k⋅z{\displaystyle R_{0}=k\cdot 1,R_{1}=k\cdot x\oplus k\cdot y\oplus k\cdot z}, yR2=k⋅z2{\displaystyle R_{2}=k\cdot z^{2}}

mostrando que es Gorenstein ya que el componente de grado superior es dimensión1{\displaystyle 1}y satisface la propiedad de Poincaré. No es un anillo de intersección completo local porque el idealI⊂R{\displaystyle I\subset R}no lo esR{\displaystyle R}-regular. Por ejemplo,incógnitay{\displaystyle xy}es un divisor de cero aincógnita{\displaystyle x}enR/(incógnita2,y2){\displaystyle R/(x^{2},y^{2})}.

Citas

  1. ↑ "Ejemplo de variedades de intersección localmente completas que no son suaves ni de intersección completa" . MathOverflow . Consultado el 4 de enero de 2017 .

Referencias

  • Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Anillos de Cohen-Macaulay , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  39, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-41068-7, MR 1251956 
  • Majadas, Javier; Rodicio, Antonio G. (2010). Smoothness, Regularity and Complete Intersection . Cambridge University Press . ISBN 9781139107181.
  • Tate, John (1957), "Homología de anillos noetherianos y anillos locales" , Illinois Journal of Mathematics , 1 : 14–27 , ISSN 0019-2082 , MR 0086072  
  • Wiebe, Hartmut (1969), "Über homologische Invarianten lokaler Ringe", Mathematische Annalen , 179 : 257– 274, doi : 10.1007/BF01350771 , ISSN 0025-5831 , MR 0255531  
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