restricciones holonómicas

Como se muestra a la derecha, una grúa pórtico es una grúa aérea capaz de mover su gancho en 3 ejes, como indican las flechas. Intuitivamente, podemos deducir que la grúa debe ser un sistema holonómico, ya que, para un movimiento dado de sus componentes, no importa el orden ni la velocidad de estos: siempre que el desplazamiento total de cada componente desde una condición inicial dada sea el mismo, todas las partes y el sistema en su conjunto terminarán en el mismo estado. Matemáticamente, podemos demostrarlo de la siguiente manera:

Podemos definir el espacio de configuración del sistema como: $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$$

Podemos decir que la desviación de cada componente de la grúa desde su posición "cero" es${\displaystyle B}$,${\displaystyle G}$, y${\displaystyle O}$para los componentes azul, verde y naranja, respectivamente. La orientación y la ubicación del sistema de coordenadas no importan en si un sistema es holonómico, pero en este ejemplo los componentes se mueven paralelamente a sus ejes. Si el origen del sistema de coordenadas está en la parte inferior izquierda trasera de la grúa, podemos escribir la ecuación de restricción de posición como: $${\displaystyle (x-B)+(y-G)+(z-(h-O))=0}$$

Dónde${\displaystyle h}$es la altura de la grúa. Opcionalmente, podemos simplificar a la forma estándar donde todas las constantes se colocan después de las variables: $${\displaystyle x+y+z-(B+G+h-O)=0}$$

Porque hemos derivado una ecuación de restricción en forma holonómica (específicamente, nuestra ecuación de restricción tiene la forma${\displaystyle f(x,y,z)=0}$dónde${\displaystyle \{x,y,z\}\in \mathbf {u} }$), podemos ver que este sistema debe ser holonómico.

Como se muestra a la derecha, un péndulo simple es un sistema compuesto por una pesa y una cuerda. La cuerda está unida en su extremo superior a un pivote y en su extremo inferior a una pesa. Al ser inextensible, la longitud de la cuerda es constante. Este sistema es holonómico porque cumple la restricción holonómica.

$${\displaystyle {x^{2}+y^{2}}-L^{2}=0,}$$

dónde${\displaystyle (x,\ y)}$es la posición del peso y${\displaystyle L}$es la longitud de la cuerda.

Las partículas de un cuerpo rígido obedecen la restricción holonómica.

$${\displaystyle (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})^{2}-L_{ij}^{2}=0,\,}$$

dónde${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$,${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$son respectivamente las posiciones de las partículas${\displaystyle P_{i}}$y${\displaystyle P_{j}}$, y${\displaystyle L_{ij}}$es la distancia entre ellos. Si un sistema dado es holonómico, la unión rígida de partes adicionales a los componentes del sistema en cuestión no puede convertirlo en no holonómico, suponiendo que los grados de libertad no se reduzcan (en otras palabras, suponiendo que el espacio de configuración no cambie).

Consideremos este sistema dinámico descrito por una ecuación de restricción en forma de Pfaff. $${\displaystyle \cos(\theta )dx+\sin(\theta )dy+\left[y\cos(\theta )-x\sin(\theta )\right]d\theta =0}$$

El espacio de configuración, por inspección, es${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}x&y&\theta \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$Dado que solo hay tres términos en el espacio de configuración, solo se necesitará una ecuación de prueba. Podemos organizar los términos de la ecuación de restricción de la siguiente manera, en preparación para la sustitución: $${\displaystyle A_{\alpha }=\cos \theta }$$$${\displaystyle A_{\beta }=\sin \theta }$$$${\displaystyle A_{\gamma }=y\cos \theta -x\sin \theta }$$$${\displaystyle u_{\alpha }=dx}$$$${\displaystyle u_{\beta }=dy}$$$${\displaystyle u_{\gamma }=d\theta }$$

Sustituyendo los términos, nuestra ecuación de prueba se convierte en: $${\displaystyle \left(y\cos \theta -x\sin \theta \right)\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\sin \theta -{\frac {\partial }{\partial y}}\cos \theta \right]+\sin \theta \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\cos \theta -{\frac {\partial }{\partial x}}(y\cos \theta -x\sin \theta )\right]+\cos \theta \left[{\frac {\partial }{\partial y}}(y\cos \theta -x\sin \theta )-{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta \right]=0}$$

Tras calcular todas las derivadas parciales, obtenemos: $${\displaystyle (y\cos \theta -x\sin \theta )\left[0-0\right]+\sin \theta \left[-\sin \theta -(-\sin \theta )\right]+\cos \theta \left[\cos \theta -\cos \theta \right]=0}$$

Simplificando, encontramos que: $${\displaystyle 0=0}$$ Vemos que nuestra ecuación de prueba es verdadera y, por lo tanto, el sistema debe ser holonómico.

Hemos terminado nuestra prueba, pero ahora que sabemos que el sistema es holonómico, podemos intentar hallar la ecuación de restricción holonómica. Podemos intentar hallarla integrando cada término de la forma pfaffiana e intentando unificarlos en una sola ecuación, como se muestra a continuación: $${\displaystyle \int \cos \theta \,dx=x\cos \theta +f(y,\theta )}$$$${\displaystyle \int \sin \theta \,dy=y\sin \theta +f(x,\theta )}$$$${\displaystyle \int \left(y\cos \theta -x\sin \theta \right)d\theta =y\sin \theta +x\cos \theta +f(x,y)}$$

Es fácil ver que podemos combinar los resultados de nuestras integraciones para encontrar la ecuación de restricción holonómica: $${\displaystyle y\sin \theta +x\cos \theta +C=0}$$ donde C es la constante de integración.

Para una restricción de Pfaff dada donde cada coeficiente de cada diferencial es una constante, en otras palabras, una restricción de la forma: $${\displaystyle \sum _{j}\ A_{ij}\,du_{j}+A_{i}\,dt=0;\;\{A_{ij},A_{i};\,j=1,2,\ldots$$ ;\,i=1,2,\ldots \}\in \mathbb {R} }

La restricción debe ser holonómica.

Podemos demostrarlo de la siguiente manera: consideremos un sistema de restricciones en forma pfaffiana donde cada coeficiente de cada diferencial es una constante, como se describió anteriormente. Para comprobar si este sistema de restricciones es holonómico, utilizamos la prueba universal . Podemos observar que en la ecuación de prueba hay tres términos que deben sumar cero. Por lo tanto, si cada uno de esos tres términos en cada ecuación de prueba posible es cero, entonces todas las ecuaciones de prueba son verdaderas y el sistema es holonómico. Cada término de cada ecuación de prueba tiene la forma: $${\displaystyle A_{3}\left({\frac {\partial A_{2}}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial A_{1}}{\partial u_{2}}}\right)}$$ dónde:

• ${\displaystyle A_{1}}$,${\displaystyle A_{2}}$, y${\displaystyle A_{3}}$son alguna combinación (con${\textstyle {\binom {n}{3}}=n(n-1)(n-2)/6}$combinaciones totales) de${\displaystyle A_{ij};\,j=1,2,\ldots }$y${\displaystyle A_{i}}$para una restricción dada${\displaystyle i}$.
• ${\displaystyle u_{1}}$,${\displaystyle u_{2}}$, y${\displaystyle u_{3}}$son la combinación correspondiente de${\displaystyle u_{j};\,j=1,2,\ldots }$y${\displaystyle dt}$.

Además, hay${\displaystyle i}$conjuntos de ecuaciones de prueba.

Podemos ver que, por definición, todos${\displaystyle A_{n}}$son constantes. Es bien sabido en cálculo que cualquier derivada (total o parcial) de cualquier constante es${\displaystyle 0}$Por lo tanto, podemos reducir cada derivada parcial a: $${\displaystyle A_{3}{\big (}0-0{\big )}}$$

y por lo tanto cada término es cero, el lado izquierdo de cada ecuación de prueba es cero, cada ecuación de prueba es verdadera y el sistema es holonómico.

Cualquier sistema que pueda describirse mediante una restricción de Pfaff y que tenga un espacio de configuración o un espacio de estados de solo dos variables o de una variable es holonómico.

Podemos demostrarlo de la siguiente manera: consideremos un sistema dinámico con un espacio de configuración o espacio de estados descrito como: $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

Si el sistema se describe mediante un espacio de estados, simplemente decimos que${\displaystyle u_{2}}$es igual a nuestra variable de tiempo${\displaystyle t}$Este sistema se describirá en forma pfaffiana: $${\displaystyle A_{i1}\,du_{1}+A_{i2}\,du_{2}=0}$$

con${\displaystyle i}$conjuntos de restricciones. El sistema se probará utilizando la prueba universal. Sin embargo, la prueba universal requiere tres variables en el espacio de configuración o de estados. Para acomodar esto, simplemente agregamos una variable ficticia.${\displaystyle \lambda }$al espacio de configuración o estado para formar: $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&\lambda \end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

Debido a la variable ficticia${\displaystyle \lambda }$por definición no es una medida de nada en el sistema, su coeficiente en la forma pfaffiana debe ser${\displaystyle 0}$. Por lo tanto, revisamos nuestra forma pfaffiana: $${\displaystyle A_{i1}\,du_{1}+A_{i2}\,du_{2}+0\,d\lambda =0}$$

Ahora podemos usar la prueba como tal, para una restricción dada.${\displaystyle i}$Si existe un conjunto de restricciones: $${\displaystyle 0\left({\frac {\partial A_{i2}}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial A_{i1}}{\partial u_{2}}}\right)+A_{i2}\left({\frac {\partial A_{i1}}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial }{\partial u_{1}}}0\right)+A_{i1}\left({\frac {\partial }{\partial u_{2}}}0-{\frac {\partial A_{i2}}{\partial \lambda }}\right)=0}$$

Al darse cuenta de que  :${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \lambda }}f(u_{1},u_{2})=0}$porque la variable ficticia${\displaystyle \lambda }$Si no puede aparecer en los coeficientes utilizados para describir el sistema, vemos que la ecuación de prueba debe ser verdadera para todos los conjuntos de ecuaciones de restricción y, por lo tanto, el sistema debe ser holonómico. Se puede realizar una demostración similar con una variable real en el espacio de configuración o de estados y dos variables ficticias para confirmar que los sistemas de un grado de libertad descriptibles en forma pfaffiana también son siempre holonómicos.

En conclusión, nos damos cuenta de que, si bien es posible modelar sistemas no holonómicos en forma pfaffiana, cualquier sistema modelable en forma pfaffiana con dos o menos grados de libertad (el número de grados de libertad es igual al número de términos en el espacio de configuración) debe ser holonómico.

Nota importante: tenga en cuenta que la ecuación de prueba falló porque la variable ficticia, y por lo tanto el diferencial ficticio incluido en la prueba, diferenciará cualquier cosa que sea una función de la configuración real o las variables del espacio de estados.${\displaystyle 0}$. Tener un sistema con una configuración o espacio de estados de: $${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$

y un conjunto de restricciones donde una o más restricciones están en la forma pfaffiana: $${\displaystyle A_{i1}du_{1}+A_{i2}du_{2}+0du_{3}=0}$$

no garantiza que el sistema sea holonómico, ya que aunque un diferencial tenga un coeficiente de${\displaystyle 0}$, todavía hay tres grados de libertad descritos en la configuración o espacio de estados.