Esclerónido

Un sistema mecánico es escleronómico si las ecuaciones de restricciones no contienen el tiempo como variable explícita y pueden describirse mediante coordenadas generalizadas. Estas restricciones se denominan restricciones escleronómicas . Lo opuesto a escleronómico es reonómico .

En el espacio 3D, una partícula con masa${\displaystyle m\,\!}$, velocidad${\displaystyle \mathbf {v} }$tiene energía cinética${\displaystyle T}$$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mv^{2}.}$$

La velocidad es la derivada de la posición.${\displaystyle r}$con respecto al tiempo${\displaystyle t\,\!}$. Utilice la regla de la cadena para varias variables : $${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}.}$$ dónde${\displaystyle q_{i}}$son coordenadas generalizadas .

Por lo tanto, $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m\left(\sum _{i}\ {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2}.}$$

Reorganizando cuidadosamente los términos, ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}T&=T_{0}+T_{1}+T_{2}:\\[1ex]T_{0}&={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\right)^{2},\\T_{1}&=\sum _{i}\ m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}\,\!,\\T_{2}&=\sum _{i,j}\ {\frac {1}{2}}m{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j},\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle T_{0}\,\!}$,${\displaystyle T_{1}\,\!}$,${\displaystyle T_{2}}$son respectivamente funciones homogéneas de grado 0, 1 y 2 en velocidades generalizadas. Si este sistema es escleronómico, entonces la posición no depende explícitamente del tiempo:

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=0.}$$ Por lo tanto, solo término${\displaystyle T_{2}}$no desaparece: $${\displaystyle T=T_{2}.}$$ La energía cinética es una función homogénea de grado 2 en velocidades generalizadas.

Como se muestra a la derecha, un péndulo simple es un sistema compuesto por una pesa y una cuerda. La cuerda está unida en su extremo superior a un pivote y en su extremo inferior a una pesa. Al ser inextensible, la longitud de la cuerda es constante. Por lo tanto, este sistema es escleronómico; obedece a la restricción escleronómica. $${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-L=0,}$$ dónde${\displaystyle (x,y)}$es la posición del peso y${\displaystyle L}$es la longitud de la cuerda.

Consideremos un ejemplo más complejo. Consulte la siguiente figura a la derecha. Suponga que el extremo superior de la cuerda está unido a un punto de pivote que experimenta un movimiento armónico simple.$${\displaystyle x_{t}=x_{0}\cos \omega t,}$$

dónde${\displaystyle x_{0}}$es amplitud,${\displaystyle \omega }$es la frecuencia angular y${\displaystyle t}$es el tiempo.

Aunque el extremo superior de la cuerda no está fijo, la longitud de esta cuerda inextensible sigue siendo constante. La distancia entre el extremo superior y el peso debe permanecer igual. Por lo tanto, este sistema es reónomo, ya que obedece a una restricción que depende explícitamente del tiempo. $${\displaystyle {\sqrt {(x-x_{0}\cos \omega t)^{2}+y^{2}}}-L=0.}$$

• mecánica lagrangiana
• Sistema holonómico
• sistema no holonómico
• Reónomo
• Matriz de masas