sistema no holonómico

En general, consideremos un sistema cuyo estado está completamente especificado por${\displaystyle q=(q_{1},\dots ,q_{n})}$Su evolución a lo largo del tiempo está limitada, ya que solo se permiten ciertas velocidades y otras no.

Consideremos una rueda vertical en un avión.${\displaystyle \theta }$sea ​​el ángulo de dirección relativo al${\displaystyle x}$eje y${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$sea ​​la ubicación donde la rueda toca el plano. Dado que la rueda solo puede moverse en la dirección hacia la que apunta, obtenemos la restricción.${\displaystyle {\dot {x}}\sin \theta -{\dot {y}}\cos \theta =0}$. La restricción se reescribe en una 1-forma como${\displaystyle \omega$ :=dx\sin \theta -dy\cos \theta } .

En general, una restricción que se puede escribir como una 1-forma en el${\displaystyle (n+1)}$espacio -dimensional de${\displaystyle (t,q_{1},\dots ,q_{n})}$Se denomina restricción de Pfaff . En caso contrario, es una restricción no de Pfaff.

Las restricciones pfaffianas no holonómicas vienen dadas por distribuciones no integrables ; es decir, tomar el corchete de Lie de dos campos vectoriales en dicha distribución puede dar lugar a un campo vectorial que no está contenido en esta distribución.

Geométricamente, un sistema de restricciones pfaffianas integrables es integrable: se puede foliar todo el espacio de configuración en subvariedades de dimensión máxima, de modo que una trayectoria satisface todas las restricciones si y solo si permanece dentro de una subvariedad. Consulte las condiciones de integrabilidad para sistemas diferenciales para saber cómo determinar si un sistema de restricciones pfaffianas es integrable.

En el caso especial de una rueda vertical sobre un plano, la restricción única no es integrable, porque es una forma de contacto :$${\displaystyle \omega \wedge d\omega =-\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} \theta \neq 0}$$Para un sistema con restricciones holonómicas, su dinámica se limita a una subvariedad del espacio de configuración completo. Por lo tanto, podemos crear una carta de coordenadas solo en una subvariedad individual, lo que nos permite eliminar las restricciones, ya que cualquier trayectoria dentro de dicha subvariedad satisface automáticamente todas las restricciones. Esta carta de coordenadas se denomina coordenadas generalizadas y constituye la base de la mecánica lagrangiana. Las restricciones no holonómicas no pueden eliminarse mediante el uso de coordenadas generalizadas.

Consideremos una esfera unitaria que rueda sin deslizarse sobre un plano. El espacio de configuración del sistema es pentadimensional: dos dimensiones para el punto de contacto y tres para la orientación de la esfera, que es SO(3) . La condición de no deslizamiento implica que, aunque existen cinco dimensiones de configuración, la velocidad en cualquier punto del espacio de configuración está restringida a un subespacio bidimensional. Se trata, por lo tanto, de un sistema de restricciones de Pfaff con tres restricciones.

Las restricciones no son integrables, porque cualquier configuración es alcanzable desde cualquier otra. ^{[ 2 ]} Para ver esto, observe que el espacio de configuración se puede construir como un haz principal SO(3) sobre${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, por lo que queda por demostrar que el grupo de holonomía es todo SO(3).

Al enrollar un cuadrado de lado largo${\displaystyle \pi /2}$, la esfera regresa al punto de partida, pero el punto de contacto estaría rotado por${\displaystyle \pi /2}$Esto permite cambiar el punto de contacto a cualquier punto de la circunferencia máxima perpendicular al punto de contacto anterior. Aplicando esta construcción dos veces, vemos que el grupo de holonomía puede rotar cualquier punto a cualquier otro punto de la esfera unitaria (es decir, es transitivo). El único subgrupo cerrado de SO(3) que satisface esto es el propio SO(3).

A pesar de no ser holonómicos, ciertos problemas de la esfera rodante pueden resolverse de forma cerrada utilizando directamente las leyes de Newton en forma vectorial. ^{[ 3 ]}

Consideremos una rueda suspendida sobre un eje sin fricción. El eje permanece perpendicular sobre una superficie curva. La configuración tiene 3 dimensiones:${\displaystyle x,y}$para ubicación y${\displaystyle \theta }$para el ángulo de la rueda. El sistema tiene una única restricción que describe el transporte paralelo de${\displaystyle \theta }$como${\displaystyle x,y}$cambios. Si la superficie tiene una curvatura gaussiana distinta de cero, entonces la restricción no es holonómica, porque cualquier cambio de${\displaystyle \theta }$puede verse afectado por el movimiento${\displaystyle x,y}$alrededor de bucles particulares.

Este caso en particular muestra una clara conexión entre las restricciones no holonómicas y el grupo de holonomía en geometría diferencial.

Aunque, cabe señalar que en este caso, el mismo sistema puede modelarse como un sistema mecánico lagrangiano (o hamiltoniano) sin restricciones. El grupo de holonomía no trivial puede producirse mediante un término de acoplamiento tipo gauge.${\displaystyle {\dot {\theta }}A_{i}(x){\dot {x}}^{i}}$en el Lagrangiano${\displaystyle {\frac {1}{2}}mg_{ij}(x){\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}+{\frac {1}{2}}I{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\theta }}A_{i}(x){\dot {x}}^{i}}$En este caso, que el sistema sea realmente "no holonómico" es una cuestión de elección del modelo.

El trineo de Chaplygin es un cuerpo rígido que se desliza sin fricción sobre el plano. Toca el plano en dos puntos y en un borde afilado. Los dos puntos pueden deslizarse en cualquier dirección, pero el borde afilado solo puede deslizarse en la dirección paralela a su borde. ^{[ 4 ]} En términos de restricciones, es exactamente igual que la rueda vertical rodante. Sin embargo, se diferencia de ella en que el trineo tiene masa y momento de inercia .

En robótica , el control no holonómico se ha estudiado en el ámbito de la planificación de movimiento y la linealización de retroalimentación para robots móviles . ^{[ 5 ]} Está relacionado con la subactuación , porque en la subactuación se puede controlar un sistema con${\displaystyle d}$grados de libertad usando menos de${\displaystyle d}$variables de control, de forma similar a como hacer rodar una esfera en 2 dimensiones permite alcanzar todo el espacio de configuración de 5 dimensiones.