Linealización por retroalimentación

El objetivo de la linealización por retroalimentación es producir un sistema transformado cuyos estados sean la salida.${\displaystyle y}$y su primera${\displaystyle (n-1)}$derivadas. Para comprender la estructura de este sistema objetivo, utilizamos la derivada de Lie . Consideremos la derivada temporal de (2), que se puede calcular utilizando la regla de la cadena .

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {y}}={\frac {{\mathord {\operatorname {d} }}h(x)}{{\mathord {\operatorname {d} }}t}}&={\frac {\partial h(x)}{\partial x}}{\dot {x}}\\&={\frac {\partial h(x)}{\partial x}}f(x)+{\frac {\partial h(x)}{\partial x}}g(x)u\end{aligned}}}$

Ahora podemos definir la derivada de Lie de${\displaystyle h(x)}$a lo largo de${\displaystyle f(x)}$como,

${\displaystyle L_{f}h(x)\triangleq {\frac {\partial h(x)}{\partial x}}f(x),}$

y de manera similar, la derivada de Lie de${\displaystyle h(x)}$a lo largo de${\displaystyle g(x)}$como,

${\displaystyle L_{g}h(x)\triangleq {\frac {\partial h(x)}{\partial x}}g(x).}$

Con esta nueva notación, podemos expresar${\displaystyle {\dot {y}}}$como,

${\displaystyle {\dot {y}}=L_{f}h(x)+L_{g}h(x)u}$

Nótese que la notación de derivadas de Lie es conveniente cuando tomamos derivadas múltiples con respecto al mismo campo vectorial o a uno diferente. Por ejemplo,

${\displaystyle L_{f}^{2}h(x)=L_{f}L_{f}h(x)={\frac {\partial (L_{f}h(x))}{\partial x}}f(x),}$

y

${\displaystyle L_{g}L_{f}h(x)={\frac {\partial (L_{f}h(x))}{\partial x}}g(x).}$

En nuestro sistema linealizado de retroalimentación compuesto por un vector de estado de la salida${\displaystyle y}$y su primera${\displaystyle (n-1)}$derivados, debemos entender cómo la entrada${\displaystyle u}$entra en el sistema. Para ello, introducimos la noción de grado relativo. Se dice que nuestro sistema dado por (1) y (2) tiene grado relativo.${\displaystyle r\in \mathbb {W} }$en un punto${\displaystyle x_{0}}$si,

${\displaystyle L_{g}L_{f}^{k}h(x)=0\qquad \forall x}$en un barrio de${\displaystyle x_{0}}$y todo${\displaystyle k\leq r-2}$

${\displaystyle L_{g}L_{f}^{r-1}h(x_{0})\neq 0}$

Considerando esta definición de grado relativo a la luz de la expresión de la derivada temporal de la salida${\displaystyle y}$Podemos considerar que el grado relativo de nuestro sistema (1) y (2) es el número de veces que tenemos que diferenciar la salida.${\displaystyle y}$antes de la entrada${\displaystyle u}$aparece explícitamente. En un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) , el grado relativo es la diferencia entre el grado del polinomio denominador de la función de transferencia (es decir, el número de polos ) y el grado de su polinomio numerador (es decir, el número de ceros ).

Para la discusión que sigue, asumiremos que el grado relativo del sistema es${\displaystyle n}$En este caso, después de diferenciar la salida${\displaystyle n}$tiempos que tenemos,

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=h(x)\\{\dot {y}}&=L_{f}h(x)\\{\ddot {y}}&=L_{f}^{2}h(x)\\&\vdots \\y^{(n-1)}&=L_{f}^{n-1}h(x)\\y^{(n)}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{aligned}}}$

donde la notación${\displaystyle y^{(n)}}$indica el${\displaystyle n}$derivada de${\displaystyle y}$. Porque asumimos que el grado relativo del sistema es${\displaystyle n}$, los derivados de Lie de la forma${\displaystyle L_{g}L_{f}^{i}h(x)}$para${\displaystyle i=1,\dots ,n-2}$son todos cero. Es decir, la entrada${\displaystyle u}$no tiene ninguna contribución directa a ninguno de los primeros${\displaystyle (n-1)}$derivadas de th.

La transformación de coordenadas${\displaystyle T(x)}$que pone el sistema en forma normal proviene del primero${\displaystyle (n-1)}$derivados. En particular,

${\displaystyle z=T(x)={\begin{bmatrix}z_{1}(x)\\z_{2}(x)\\\vdots \\z_{n}(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y\\{\dot {y}}\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h(x)\\L_{f}h(x)\\\vdots \\L_{f}^{n-1}h(x)\end{bmatrix}}}$

transforma trayectorias desde la original${\displaystyle x}$sistema de coordenadas en el nuevo${\displaystyle z}$sistema de coordenadas. Siempre que esta transformación sea un difeomorfismo , las trayectorias suaves en el sistema de coordenadas original tendrán contrapartes únicas en el sistema de coordenadas.${\displaystyle z}$sistema de coordenadas que también son suaves. Esos${\displaystyle z}$Las trayectorias serán descritas por el nuevo sistema,

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=L_{f}h(x)=z_{2}(x)\\{\dot {z}}_{2}&=L_{f}^{2}h(x)=z_{3}(x)\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{cases}}.}$

Por lo tanto, la ley de control de retroalimentación

${\displaystyle u={\frac {1}{L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)}}(-L_{f}^{n}h(x)+v)}$

genera un mapa de entrada - salida lineal a partir de${\displaystyle v}$a${\displaystyle z_{1}=y}$El sistema linealizado resultante

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}&=z_{3}\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=v\end{cases}}}$

es una cascada de${\displaystyle n}$integradores y un control de bucle externo${\displaystyle v}$puede elegirse utilizando la metodología estándar de sistemas lineales. En particular, una ley de control de realimentación de estado de

${\displaystyle v=-Kz\qquad ,}$

donde el vector de estado${\displaystyle z}$es la salida${\displaystyle y}$y su primera${\displaystyle (n-1)}$derivados, resultados en el sistema LTI

${\displaystyle {\dot {z}}=Az}$

con,

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\-k_{1}&-k_{2}&-k_{3}&\ldots &-k_{n}\end{bmatrix}}.}$

Así pues, con la elección adecuada de${\displaystyle K}$Podemos colocar arbitrariamente los polos del lazo cerrado del sistema linealizado.

La linealización por retroalimentación se puede lograr con sistemas que tienen un grado relativo menor que${\displaystyle n}$Sin embargo, la forma normal del sistema incluirá dinámicas nulas (es decir, estados que no son observables a partir de la salida del sistema) que pueden ser inestables. En la práctica, las dinámicas inestables pueden tener efectos perjudiciales en el sistema (por ejemplo, puede ser peligroso que los estados internos del sistema crezcan sin límite). Estos estados no observables pueden ser controlables o, al menos, estables, por lo que se pueden tomar medidas para asegurar que no causen problemas en la práctica. Los sistemas de fase mínima proporcionan información sobre las dinámicas nulas.