Control no lineal

La teoría de control no lineal es el área de la teoría de control que se ocupa de los sistemas que son no lineales , variables en el tiempo o ambos. La teoría de control es una rama interdisciplinaria de la ingeniería y las matemáticas que se ocupa del comportamiento de los sistemas dinámicos con entradas y de cómo modificar la salida mediante cambios en la entrada utilizando retroalimentación , retroalimentación o filtrado de señales . El sistema que se va a controlar se llama " planta ". Una forma de hacer que la salida de un sistema siga una señal de referencia deseada es comparar la salida de la planta con la salida deseada y proporcionar retroalimentación a la planta para modificar la salida para acercarla a la salida deseada.

La teoría de control se divide en dos ramas. La teoría de control lineal se aplica a sistemas formados por dispositivos que obedecen al principio de superposición y que se rigen por ecuaciones diferenciales lineales . Una subclase importante son los sistemas que, además, tienen parámetros que no cambian con el tiempo, denominados sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI). Estos sistemas se pueden resolver mediante potentes técnicas matemáticas de dominio de frecuencia de gran generalidad, como la transformada de Laplace , la transformada de Fourier , la transformada Z , el diagrama de Bode , el lugar de las raíces y el criterio de estabilidad de Nyquist .

La teoría de control no lineal cubre una clase más amplia de sistemas que no obedecen al principio de superposición. Se aplica a más sistemas del mundo real, porque todos los sistemas de control reales son no lineales. Estos sistemas a menudo se rigen por ecuaciones diferenciales no lineales . Las técnicas matemáticas que se han desarrollado para manejarlas son más rigurosas y mucho menos generales, y a menudo se aplican solo a categorías estrechas de sistemas. Estas incluyen la teoría del ciclo límite , los mapas de Poincaré , la teoría de estabilidad de Lyapunov y las funciones descriptivas . Si solo son de interés las soluciones cercanas a un punto estable, los sistemas no lineales a menudo se pueden linealizar aproximándolos por un sistema lineal obtenido al expandir la solución no lineal en una serie , y luego se pueden usar técnicas lineales. ^[1] Los sistemas no lineales a menudo se analizan utilizando métodos numéricos en computadoras , por ejemplo, simulando su funcionamiento utilizando un lenguaje de simulación . Incluso si la planta es lineal, un controlador no lineal a menudo puede tener características atractivas como una implementación más simple, mayor velocidad, mayor precisión o energía de control reducida, que justifican el procedimiento de diseño más difícil.

Un ejemplo de un sistema de control no lineal es un sistema de calefacción controlado por termostato . Un sistema de calefacción de un edificio, como un horno, tiene una respuesta no lineal a los cambios de temperatura; está "encendido" o "apagado", no tiene el control preciso en respuesta a las diferencias de temperatura que tendría un dispositivo proporcional (lineal). Por lo tanto, el horno está apagado hasta que la temperatura cae por debajo del punto de ajuste de "encendido" del termostato, momento en el que se enciende. Debido al calor agregado por el horno, la temperatura aumenta hasta que alcanza el punto de ajuste de "apagado" del termostato, que apaga el horno y el ciclo se repite. Este ciclo de la temperatura alrededor de la temperatura deseada se llama ciclo límite y es característico de los sistemas de control no lineal.

Algunas propiedades de los sistemas dinámicos no lineales son

• No siguen el principio de superposición (linealidad y homogeneidad).
• Pueden tener múltiples puntos de equilibrio aislados.
• Pueden presentar propiedades como ciclo límite , bifurcación y caos .
• Tiempo de escape finito: las soluciones de sistemas no lineales pueden no existir para todos los tiempos.

Existen varias técnicas bien desarrolladas para analizar sistemas de retroalimentación no lineal:

• Método de función descriptiva
• Método del plano de fase
• Análisis de estabilidad de Lyapunov
• Método de perturbación singular
• El criterio de Popov y el criterio del círculo para la estabilidad absoluta
• Teorema de la variedad central
• Teorema de pequeña ganancia
• Análisis de pasividad

También existen técnicas de diseño de control para sistemas no lineales. Estas pueden subdividirse en técnicas que intentan tratar el sistema como un sistema lineal en un rango limitado de operación y utilizan técnicas de diseño lineal (bien conocidas) para cada región:

• Programación de ganancias

Aquellos que intentan introducir retroalimentación no lineal auxiliar de tal manera que el sistema pueda ser tratado como lineal para fines de diseño de control:

• Linealización de retroalimentación

Y métodos basados ​​en Lyapunov :

• Rediseño de Lyapunov
• Función de control-Lyapunov
• Amortiguación no lineal
• Retrocediendo
• Control de modo deslizante

Un problema temprano de análisis de sistemas de retroalimentación no lineal fue formulado por AI Lur'e . Los sistemas de control descritos por el problema de Lur'e tienen una ruta de avance que es lineal e invariante en el tiempo, y una ruta de retroalimentación que contiene una no linealidad estática sin memoria, posiblemente variable en el tiempo.

La parte lineal se puede caracterizar por cuatro matrices ( A , B , C , D ), mientras que la parte no lineal es Φ( y ) con (una no linealidad de sector). ${\displaystyle {\frac {\Phi (y)}{y}}\en [a,b],\quad a<b\quad \para todo y}$

Considerar:

1. ( A , B ) es controlable y ( C , A ) es observable
2. dos números reales a , b con a  <  b , que definen un sector para la función Φ

El problema de Lur'e (también conocido como el problema de estabilidad absoluta) consiste en derivar condiciones que involucran sólo la matriz de transferencia H ( s ) y { a , b } tales que x  = 0 es un equilibrio globalmente uniforme y asintóticamente estable del sistema.

Hay dos conjeturas erróneas bien conocidas sobre el problema de la estabilidad absoluta:

• La conjetura de Aizerman
• La conjetura de Kalman .

Gráficamente, estas conjeturas pueden interpretarse en términos de restricciones gráficas sobre el gráfico de Φ( y ) x y o también sobre el gráfico de d Φ/ dy x Φ/ y . ^[2] Hay contraejemplos de las conjeturas de Aizerman y Kalman tales que la no linealidad pertenece al sector de la estabilidad lineal y el equilibrio estable único coexiste con una solución periódica estable : la oscilación oculta .

Hay dos teoremas principales relativos al problema de Lur'e que proporcionan condiciones suficientes para la estabilidad absoluta:

• El criterio del círculo (una extensión del criterio de estabilidad de Nyquist para sistemas lineales)
• El criterio de Popov .

El teorema de Frobenius es un resultado profundo de la geometría diferencial. Cuando se aplica al control no lineal, dice lo siguiente: Dado un sistema de la forma

${\displaystyle {\dot {x}}=\sum _{i=1}^{k}f_{i}(x)u_{i}(t)\,}$

donde , son campos vectoriales que pertenecen a una distribución y son funciones de control, las curvas integrales de están restringidas a una variedad de dimensión si y es una distribución involutiva . ${\displaystyle x\in R^{n}}$${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle u_{i}(t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \operatorname {span} (\Delta )=m}$${\displaystyle \Delta }$

• Pasivación de retroalimentación
• Bucle de enganche de fase
• Propiedad de control pequeña

• Funciones del lenguaje Wolfram para sistemas de control no lineal