Método numérico

En el análisis numérico , un método numérico es una herramienta matemática diseñada para resolver problemas numéricos. La implementación de un método numérico con una comprobación de convergencia adecuada en un lenguaje de programación se denomina algoritmo numérico.

Sea un problema bien planteado , es decir, es una relación funcional real o compleja , definida sobre el producto vectorial de un conjunto de datos de entrada y un conjunto de datos de salida , tal que existe una función local de Lipschitz llamada resolvente, que tiene la propiedad de que para cada raíz de , . Definimos un método numérico para la aproximación de , la sucesión de problemas ${\displaystyle F(x,y)=0}$${\displaystyle F:X\times Y\rightarrow \mathbb {R} }$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización Y}$${\displaystyle g:X\rightarrow Y}$${\estilo de visualización (x,y)}$${\estilo de visualización F}$${\displaystyle y=g(x)}$${\displaystyle F(x,y)=0}$

${\displaystyle \left\{M_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }=\left\{F_{n}(x_{n},y_{n})=0\right\}_{n\in \mathbb {N} },}$

con , y para cada . Los problemas que componen el método no necesitan estar bien planteados. Si lo están, se dice que el método es estable o está bien planteado . ^[1]${\displaystyle F_{n}:X_{n}\times Y_{n}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{n}\en X_{n}}$${\displaystyle y_{n}\en Y_{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N}}$

Las condiciones necesarias para que un método numérico se aproxime de manera efectiva son que y que se comporte como cuando . Por lo tanto, un método numérico se llama consistente si y solo si la secuencia de funciones converge puntualmente a en el conjunto de sus soluciones: ${\displaystyle F(x,y)=0}$$Estilo de visualización x_{n}\flecha derecha x}$$Estilo de visualización F_{n}$${\estilo de visualización F}$${\displaystyle n\rightarrow \infty}$${\displaystyle \left\{F_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }}$${\estilo de visualización F}$${\estilo de visualización S}$

${\displaystyle \lim F_{n}(x,y+t)=F(x,y,t)=0,\quad \quad \forall (x,y,t)\in S.}$

Cuando se dice que el método es estrictamente consistente . ^[1]${\displaystyle F_{n}=F,\para todo n\en \mathbb {N} }$${\estilo de visualización S}$

Denotemos por una secuencia de perturbaciones admisibles de para algún método numérico (es decir ) y con el valor tal que . Una condición que el método tiene que satisfacer para ser una herramienta significativa para resolver el problema es la convergencia : ${\displaystyle \ell_{n}}$${\displaystyle x\en X}$${\estilo de visualización M}$${\displaystyle x+\ell _{n}\en X_{n}\para todo n\en \mathbb {N} }$${\displaystyle y_{n}(x+\ell _{n})\in Y_{n}}$${\displaystyle F_{n}(x+\ell _ {n},y_ {n}(x+\ell _ {n}))=0}$${\displaystyle F(x,y)=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall \varepsilon >0,\exists n_{0}(\varepsilon )>0,\exists \delta _{\varepsilon ,n_{0}}{\text{ tal que}}\\&\forall n>n_{0},\forall \ell _{n}:\|\ell _{n}\|<\delta _{\varepsilon ,n_{0}}\Rightarrow \|y_{n}(x+\ell _{n})-y\|\leq \varepsilon .\end{aligned}}}$

Se puede demostrar fácilmente que la convergencia puntual de a implica la convergencia de la función del método asociado. ^[1]${\displaystyle \{y_{n}\}_{n\in \mathbb {N}}}$${\estilo de visualización y}$

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