Teorema de la pequeña ganancia

En sistemas no lineales , el formalismo de estabilidad de entrada-salida es una herramienta importante para estudiar la estabilidad de sistemas interconectados, ya que la ganancia de un sistema se relaciona directamente con cómo la norma de una señal aumenta o disminuye al pasar a través del sistema. El teorema de ganancia pequeña proporciona una condición suficiente para la ganancia finita.${\displaystyle {\mathcal {L}}}$Estabilidad de la conexión de retroalimentación. El teorema de la pequeña ganancia fue demostrado por George Zames en 1966. Puede considerarse una generalización del criterio de Nyquist a sistemas MIMO no lineales variables en el tiempo (sistemas con múltiples entradas y múltiples salidas).

Teorema . Supongamos dos sistemas estables.${\displaystyle S_{1}}$y${\displaystyle S_{2}}$están conectados en un bucle de retroalimentación, entonces el sistema de bucle cerrado es estable en entrada-salida si${\displaystyle \|S_{1}\|\cdot \|S_{2}\|<1}$y ambos${\displaystyle S_{1}}$y${\displaystyle S_{2}}$son estables por sí mismos. (Esta norma es típicamente la${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }}$-norma , el tamaño del mayor valor singular de la función de transferencia en todas las frecuencias. Cualquier norma inducida también conducirá a los mismos resultados). ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Un resultado complementario desarrollado por Tryphon T. Georgiou , Khammash y Megretski (1997), conocido como el teorema de gran ganancia, cuantifica la ganancia de bucle mínima necesaria para estabilizar una planta inestable, posiblemente no lineal y variable en el tiempo; la ganancia de bucle mínima es 1. ^{[ 4 ]}

• HK Khalil, Sistemas no lineales, tercera edición, Prentice Hall, Upper Saddle River, Nueva Jersey, 2002;
• CA Desoer, M. Vidyasagar, Sistemas de retroalimentación: propiedades de entrada-salida, segunda edición, SIAM, 2009.

• Estabilidad de entrada a estado