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Articulo de referencia

Propiedad de control pequeño

Para matemáticas aplicadas , en teoría de control no lineal , un sistema no lineal de la forma incógnita ˙ = F ( incógnita , tú ) {\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u)} Se dice que s...

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Para matemáticas aplicadas , en teoría de control no lineal , un sistema no lineal de la formaincógnita˙=F(incógnita,tú){\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u)}Se dice que satisface la propiedad de control pequeño si para cadaε>0{\displaystyle \varepsilon >0}existe unδ>0{\displaystyle \delta >0}para que para todos‖incógnita‖<δ{\displaystyle \|x\|<\delta }existe un‖tú‖<ε{\displaystyle \|u\|<\varepsilon }de modo que la derivada temporal de la función de Lyapunov del sistema sea definida negativa en ese punto.

En otras palabras, incluso si la entrada de control es arbitrariamente pequeña, se puede encontrar una configuración inicial lo suficientemente cercana al origen del sistema que sea asintóticamente estabilizable por dicha entrada. [ 1 ] [ 2 ]

Para comprender

Un sistema tiene:

  • Estado x: dónde se encuentra actualmente (posición, velocidad, ángulo, etc.)
  • Controla u: qué puedes hacer para influir en él (mover la mano, ajustar los motores, girar el volante).

La ecuaciónincógnita˙=F(incógnita,tú){\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u)}, simplemente significa “La forma en que el sistema cambia con el tiempo depende de su estado actual x y de la entrada de control u.” [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]

En este caso, se aplica una función de Lyapunov, ya que representa la energía o la distancia al objetivo. La derivada definida negativa implica que, salvo en el punto de equilibrio, la energía disminuye, garantizando así la convergencia del sistema hacia el equilibrio.

En términos sencillos, la propiedad de control pequeño significa que, por muy pequeña que sea la entrada de control que se esté dispuesto a utilizar, se puede encontrar un entorno alrededor del equilibrio donde ese pequeño control sea suficiente para estabilizar el sistema.

Ejemplo

Imagina equilibrar un lápiz.

Si el lápiz es:

  • perfectamente vertical → no se necesita control
  • ligeramente inclinado → pequeñas correcciones funcionan
  • Casi se cae → se necesitan grandes correcciones

La propiedad de control pequeño indica que si se parte de una posición lo suficientemente cercana a la vertical, correcciones arbitrariamente pequeñas aún pueden estabilizarla.

Referencias

  1. ↑ Sontag, Eduardo D. (1989). "Una construcción 'universal' del teorema de Artstein sobre estabilización no lineal". Systems & Control Letters . 13 (2): 117– 123. doi : 10.1016/0167-6911(89)90028-5 .
  2. ↑ Khalil, Hassan K. (2002). Sistemas no lineales (3.ª ed.). Prentice Hall. ISBN  9780130673893.
  3. ↑ Artstein, Zvi (1983). "Estabilización con controles relajados". Análisis no lineal: teoría, métodos y aplicaciones . 7 (11): 1163– 1173. doi : 10.1016/0362-546X(83)90007-1 .
  4. ↑ Sontag, Eduardo D. (1983). "Una caracterización tipo Lyapunov de la controlabilidad asintótica". SIAM Journal on Control and Optimization . 21 (3): 462– 471.
  5. ↑ Isidori, Alberto (1995). Sistemas de control no lineales (3ª ed.). Saltador. ISBN  9783540199168.
  6. ↑ Sontag, Eduardo D. (1998). Teoría del control matemático: sistemas deterministas de dimensión finita (2.ª ed.). Springer. ISBN  9780387984896.
  7. ↑ Freeman, Randy A.; Kokotović, Petar V. (1996). Diseño de control no lineal robusto: técnicas de espacio de estados y Lyapunov . Birkhäuser. ISBN 9780817639341.