dar marcha atrás

Consideremos el sistema dinámico

dónde${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$y${\displaystyle z_{1}}$es un escalar. Este sistema es una conexión en cascada de un integrador con el subsistema x (es decir, la entrada u entra en un integrador y la integral${\displaystyle z_{1}}$entra en el subsistema x ).

Suponemos que${\displaystyle f_{x}(\mathbf {0} )=0}$y por lo tanto si${\displaystyle u_{1}=0}$,${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$y${\displaystyle z_{1}=0}$, entonces

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\underbrace {\mathbf {0} } _{\mathbf {x} })+(g_{x}(\underbrace {\mathbf {0} } _{\mathbf {x} }))(\underbrace {0} _{z_{1}})=0+(g_{x}(\mathbf {0} ))(0)=\mathbf {0} &\quad {\text{ (i.e., }}\mathbf {x} =\mathbf {0} {\text{ is stationary)}}\\{\dot {z}}_{1}=\overbrace {0} ^{u_{1}}&\quad {\text{ (i.e., }}z_{1}=0{\text{ is stationary)}}\end{cases}}}$

Entonces el origen${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})=(\mathbf {0} ,0)}$es un punto de equilibrio (es decir, un punto estacionario ) del sistema. Si el sistema alguna vez alcanza el origen, permanecerá allí para siempre.

En este ejemplo, se utiliza el método de retroceso para estabilizar el sistema de integrador único de la ecuación  ( 1 ) alrededor de su punto de equilibrio en el origen. Para ser menos precisos, deseamos diseñar una ley de control.${\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$que garantiza que los estados${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})}$regresar a${\displaystyle (\mathbf {0} ,0)}$después de que el sistema se inicia desde alguna condición inicial arbitraria.

• Primero, por suposición, el subsistema

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )\qquad {\text{where}}\qquad F(\mathbf {x} )\triangleq f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )}$

con${\displaystyle u_{x}(\mathbf {0} )=0}$tiene una función de Lyapunov${\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} )>0}$de tal manera que

${\displaystyle {\dot {V}}_{x}={\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))\leq -W(\mathbf {x} )}$

dónde${\displaystyle W(\mathbf {x} )}$es una función definida positiva . Es decir, asumimos que ya hemos demostrado que este subsistema x más simple existente es estable (en el sentido de Lyapunov) . En términos generales, esta noción de estabilidad significa que:

• • La función${\displaystyle V_{x}}$es como una "energía generalizada" del subsistema x . A medida que los estados x del sistema se alejan del origen, la energía${\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} )}$también crece.
  • Al demostrar que con el tiempo, la energía${\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} (t))}$decae a cero, entonces los estados x deben decaer hacia${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$. Es decir, el origen${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$será un equilibrio estable del sistema: los estados x se aproximarán continuamente al origen a medida que aumenta el tiempo.
  • Diciendo eso${\displaystyle W(\mathbf {x} )}$es definida positiva significa que${\displaystyle W(\mathbf {x} )>0}$en todas partes excepto en${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$, y${\displaystyle W(\mathbf {0} )=0}$.
  • La declaración que${\displaystyle {\dot {V}}_{x}\leq -W(\mathbf {x} )}$significa que${\displaystyle {\dot {V}}_{x}}$está acotado lejos de cero para todos los puntos excepto donde${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$Es decir, mientras el sistema no esté en equilibrio en el origen, su "energía" irá disminuyendo.
  • Dado que la energía siempre está disminuyendo, el sistema debe ser estable; sus trayectorias deben aproximarse al origen.

Nuestra tarea es encontrar un control u que haga que nuestra cascada${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})}$El sistema también es estable. Por lo tanto, debemos encontrar una nueva función candidata de Lyapunov para este nuevo sistema. Dicha función candidata dependerá del control u , y al elegir el control adecuadamente, podemos asegurar que también decaiga en todas partes.

• A continuación, sumando y restando${\displaystyle g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )}$(es decir, no cambiamos el sistema de ninguna manera porque no producimos ningún efecto neto ) al${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}}$parte de la más grande${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})}$sistema, se convierte

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}+{\mathord {\underbrace {\left(g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )-g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )\right)} _{0}}}\\{\dot {z}}_{1}=u_{1}\end{cases}}}$

que podemos reagruparnos para obtener

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}={\mathord {\underbrace {\left(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} )\right)} _{F(\mathbf {x} )}}}+g_{x}(\mathbf {x} )\underbrace {\left(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} )\right)} _{z_{1}{\text{ error tracking }}u_{x}}\\{\dot {z}}_{1}=u_{1}\end{cases}}}$

Así, nuestro supersistema en cascada encapsula el estado estable conocido.${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )}$subsistema más alguna perturbación de error generada por el integrador.

• Ahora podemos cambiar las variables desde${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})}$a${\displaystyle (\mathbf {x} ,e_{1})}$al dejar${\displaystyle e_{1}\triangleq z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} )}$. Entonces

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))+g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}\\{\dot {e}}_{1}=u_{1}-{\dot {u}}_{x}\end{cases}}}$

Además, dejamos${\displaystyle v_{1}\triangleq u_{1}-{\dot {u}}_{x}}$de modo que${\displaystyle u_{1}=v_{1}+{\dot {u}}_{x}}$y

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))+g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}\\{\dot {e}}_{1}=v_{1}\end{cases}}}$

Buscamos estabilizar este sistema de errores mediante retroalimentación a través del nuevo control.${\displaystyle v_{1}}$. Al estabilizar el sistema en${\displaystyle e_{1}=0}$, el estado${\displaystyle z_{1}}$realizará el seguimiento del control deseado${\displaystyle u_{x}}$lo que dará como resultado la estabilización del subsistema x interno .

• A partir de nuestra función de Lyapunov existente${\displaystyle V_{x}}$, definimos la función candidata de Lyapunov aumentada

${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,e_{1})\triangleq V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}e_{1}^{2}}$

Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {V}}_{1}&={\dot {V}}_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}\left(2e_{1}{\dot {e}}_{1}\right)\\&={\dot {V}}_{x}(\mathbf {x} )+e_{1}{\dot {e}}_{1}\\&={\dot {V}}_{x}(\mathbf {x} )+e_{1}\overbrace {v_{1}} ^{{\dot {e}}_{1}}\\&=\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}\underbrace {\dot {\mathbf {x} }} _{{\text{(i.e., }}{\frac {\operatorname {d} \mathbf {x} }{\operatorname {d} t}}{\text{)}}}} ^{{\dot {V}}_{x}{\text{ (i.e.,}}{\frac {\operatorname {d} V_{x}}{\operatorname {d} t}}{\text{)}}}+e_{1}v_{1}\\&=\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}\underbrace {\left((f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))+g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}\right)} _{\dot {\mathbf {x} }}} ^{{\dot {V}}_{x}}+e_{1}v_{1}\end{aligned}}}$

Al distribuir${\displaystyle \partial V_{x}/\partial \mathbf {x} }$, vemos que

${\displaystyle {\dot {V}}_{1}=\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}(\mathbf {x} ))} ^{{}\leq -W(\mathbf {x} )}+{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}+e_{1}v_{1}\leq -W(\mathbf {x} )+{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}+e_{1}v_{1}}$

Para garantizar que${\displaystyle {\dot {V}}_{1}\leq -W(\mathbf {x} )<0}$(es decir, para asegurar la estabilidad del supersistema), elegimos la ley de control.

${\displaystyle v_{1}=-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}e_{1}}$

con${\displaystyle k_{1}>0}$, y entonces

${\displaystyle {\dot {V}}_{1}=-W(\mathbf {x} )+{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}+e_{1}\overbrace {\left(-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}e_{1}\right)} ^{v_{1}}}$

Después de distribuir el${\displaystyle e_{1}}$a través de,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {V}}_{1}&=-W(\mathbf {x} )+{\mathord {\overbrace {{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )e_{1}-e_{1}{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )} ^{0}}}-k_{1}e_{1}^{2}\\&=-W(\mathbf {x} )-k_{1}e_{1}^{2}\leq -W(\mathbf {x} )\\&<0\end{aligned}}}$

Por lo tanto, nuestra función candidata de Lyapunov es${\displaystyle V_{1}}$es una verdadera función de Lyapunov , y nuestro sistema es estable bajo esta ley de control.${\displaystyle v_{1}}$(que corresponde a la ley de control)${\displaystyle u_{1}}$porque${\displaystyle v_{1}\triangleq u_{1}-{\dot {u}}_{x}}$). Utilizando las variables del sistema de coordenadas original, la función de Lyapunov equivalente

Como se explica más adelante, esta función de Lyapunov se volverá a utilizar cuando este procedimiento se aplique de forma iterativa al problema de los integradores múltiples.

• Nuestra elección de control${\displaystyle v_{1}}$En última instancia, depende de todas nuestras variables de estado originales. En particular, la ley de control de estabilización por retroalimentación real.

Los estados x y${\displaystyle z_{1}}$y funciones${\displaystyle f_{x}}$y${\displaystyle g_{x}}$provienen del sistema. La función${\displaystyle u_{x}}$proviene de nuestra fuente estable conocida${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )}$subsistema. El parámetro de ganancia${\displaystyle k_{1}>0}$afecta la tasa de convergencia de nuestro sistema. Bajo esta ley de control, nuestro sistema es estable en el origen.${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})=(\mathbf {0} ,0)}$.

Recuerda que${\displaystyle u_{1}}$En la ecuación  ( 3 ) se controla la entrada de un integrador que está conectado a un subsistema que se estabiliza por retroalimentación mediante la ley de control.${\displaystyle u_{x}}$Como era de esperar, el control${\displaystyle u_{1}}$tiene un${\displaystyle {\dot {u}}_{x}}$término que se integrará para seguir la ley de control estabilizadora${\displaystyle {\dot {u}}_{x}}$más un cierto desplazamiento. Los demás términos proporcionan amortiguación para eliminar ese desplazamiento y cualquier otro efecto de perturbación que se vería magnificado por el integrador.

Entonces, debido a que este sistema se estabiliza mediante retroalimentación${\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$y tiene función de Lyapunov${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$con${\displaystyle {\dot {V}}_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})\leq -W(\mathbf {x} )<0}$, puede utilizarse como subsistema superior en otro sistema en cascada de un solo integrador.

Antes de analizar el procedimiento recursivo para el caso general de integradores múltiples, resulta instructivo estudiar la recursión presente en el caso de dos integradores. Es decir, consideremos el sistema dinámico

dónde${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$y${\displaystyle z_{1}}$y${\displaystyle z_{2}}$son escalares. Este sistema es una conexión en cascada del sistema de integrador único en la ecuación  ( 1 ) con otro integrador (es decir, la entrada).${\displaystyle u_{2}}$entra a través de un integrador, y la salida de ese integrador entra al sistema en la ecuación  ( 1 ) por su${\displaystyle u_{1}}$aporte).

Al dejar

• ${\displaystyle \mathbf {y} \triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {x} \\z_{1}\end{bmatrix}}\,}$,
• ${\displaystyle f_{y}(\mathbf {y} )\triangleq {\begin{bmatrix}f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\0\end{bmatrix}}\,}$,
• ${\displaystyle g_{y}(\mathbf {y} )\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}},\,}$

Entonces, el sistema de dos integradores en la ecuación  ( 4 ) se convierte en el sistema de un solo integrador.

Mediante el procedimiento de integrador único, la ley de control${\displaystyle u_{y}(\mathbf {y} )\triangleq u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$estabiliza la parte superior${\displaystyle z_{2}}$Subsistema -a- y usando la función de Lyapunov${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})}$y por lo tanto la ecuación  ( 5 ) es un nuevo sistema de integrador único que es estructuralmente equivalente al sistema de integrador único en la ecuación  ( 1 ). Por lo tanto, un control estabilizador${\displaystyle u_{2}}$se puede encontrar utilizando el mismo procedimiento de integrador único que se utilizó para encontrar${\displaystyle u_{1}}$.

En el caso de dos integradores, el subsistema superior de un solo integrador se estabilizó, dando lugar a un nuevo sistema de un solo integrador que puede estabilizarse de forma similar. Este procedimiento recursivo puede extenderse para manejar cualquier número finito de integradores. Esta afirmación puede demostrarse formalmente mediante inducción matemática . Aquí, un sistema de múltiples integradores estabilizado se construye a partir de subsistemas de subsistemas de múltiples integradores ya estabilizados.

• Primero, consideremos el sistema dinámico.

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )u_{x}}$

que tiene entrada escalar${\displaystyle u_{x}}$y estados de salida${\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]^{\text{T}}\in \mathbb {R} ^{n}}$. Supongamos que

• • ${\displaystyle f_{x}(\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$para que la entrada cero (es decir,${\displaystyle u_{x}=0}$El sistema es estacionario en el origen.${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$En este caso, el origen se denomina equilibrio del sistema.
  • La ley de control por retroalimentación${\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )}$Estabiliza el sistema en el equilibrio en el origen.
  • Una función de Lyapunov correspondiente a este sistema se describe mediante${\displaystyle V_{x}(\mathbf {x} )}$.

Es decir, si los estados de salida x se retroalimentan a la entrada${\displaystyle u_{x}}$por la ley de control${\displaystyle u_{x}(\mathbf {x} )}$Entonces, los estados de salida (y la función de Lyapunov) regresan al origen después de una sola perturbación (por ejemplo, después de una condición inicial distinta de cero o una perturbación brusca). Este subsistema se estabiliza mediante una ley de control de retroalimentación.${\displaystyle u_{x}}$.

• A continuación, conecte un integrador a la entrada.${\displaystyle u_{x}}$para que el sistema aumentado tenga entrada${\displaystyle u_{1}}$(al integrador) y estados de salida x . El sistema dinámico aumentado resultante es

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=u_{1}\end{cases}}}$

Este sistema en cascada coincide con la forma de la ecuación  ( 1 ), por lo que el procedimiento de retroceso de integrador único conduce a la ley de control estabilizadora de la ecuación  ( 3 ). Es decir, si retroalimentamos los estados${\displaystyle z_{1}}$y x para ingresar${\displaystyle u_{1}}$Según la ley de control

${\displaystyle u_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=-{\frac {\partial V_{x}}{\partial \mathbf {x} }}g_{x}(\mathbf {x} )-k_{1}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))+{\frac {\partial u_{x}}{\partial \mathbf {x} }}(f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1})}$

con ganancia${\displaystyle k_{1}>0}$, entonces los estados${\displaystyle z_{1}}$y x volverá a${\displaystyle z_{1}=0}$y${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$después de una única perturbación. Este subsistema se estabiliza mediante una ley de control por retroalimentación.${\displaystyle u_{1}}$y la función de Lyapunov correspondiente de la ecuación  ( 2 ) es

${\displaystyle V_{1}(\mathbf {x} ,z_{1})=V_{x}(\mathbf {x} )+{\frac {1}{2}}(z_{1}-u_{x}(\mathbf {x} ))^{2}}$

Es decir, bajo la ley de control de retroalimentación${\displaystyle u_{1}}$, la función de Lyapunov${\displaystyle V_{1}}$decae a cero a medida que los estados regresan al origen.

• Conecte un nuevo integrador a la entrada${\displaystyle u_{1}}$para que el sistema aumentado tenga entrada${\displaystyle u_{2}}$y estados de salida x . El sistema dinámico aumentado resultante es

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}\end{cases}}}$

lo cual es equivalente al sistema de integrador único

${\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{1}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\0\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{1}(\mathbf {x} _{1})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,g_{1}(\mathbf {x} _{1})}z_{2}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{1},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{1}({\textbf {x}}_{1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}\end{cases}}}$

Utilizando estas definiciones de${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$,${\displaystyle f_{1}}$, y${\displaystyle g_{1}}$, este sistema también puede expresarse como

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}=f_{1}(\mathbf {x} _{1})+g_{1}(\mathbf {x} _{1})z_{2}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{1},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{1}({\textbf {x}}_{1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{2}=u_{2}\end{cases}}}$

Este sistema coincide con la estructura de integrador único de la ecuación  ( 1 ), por lo que el procedimiento de retroceso de integrador único se puede aplicar nuevamente. Es decir, si retroalimentamos estados${\displaystyle z_{1}}$,${\displaystyle z_{2}}$y x para ingresar${\displaystyle u_{2}}$Según la ley de control

${\displaystyle u_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})=-{\frac {\partial V_{1}}{\partial \mathbf {x} _{1}}}g_{1}(\mathbf {x} _{1})-k_{2}(z_{2}-u_{1}(\mathbf {x} _{1}))+{\frac {\partial u_{1}}{\partial \mathbf {x} _{1}}}(f_{1}(\mathbf {x} _{1})+g_{1}(\mathbf {x} _{1})z_{2})}$

con ganancia${\displaystyle k_{2}>0}$, entonces los estados${\displaystyle z_{1}}$,${\displaystyle z_{2}}$y x volverá a${\displaystyle z_{1}=0}$,${\displaystyle z_{2}=0}$, y${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$después de una única perturbación. Este subsistema se estabiliza mediante una ley de control por retroalimentación.${\displaystyle u_{2}}$y la función de Lyapunov correspondiente es

${\displaystyle V_{2}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2})=V_{1}(\mathbf {x} _{1})+{\frac {1}{2}}(z_{2}-u_{1}(\mathbf {x} _{1}))^{2}}$

Es decir, bajo la ley de control de retroalimentación${\displaystyle u_{2}}$, la función de Lyapunov${\displaystyle V_{2}}$decae a cero a medida que los estados regresan al origen.

• Conecte un integrador a la entrada${\displaystyle u_{2}}$para que el sistema aumentado tenga entrada${\displaystyle u_{3}}$y estados de salida x . El sistema dinámico aumentado resultante es

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=z_{3}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}}$

que pueden reagruparse como el sistema de integrador único

${\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{2}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{2}\\z_{2}\\0\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{2}(\mathbf {x} _{2})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\0\\1\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,g_{2}(\mathbf {x} _{2})}z_{3}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{2},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{2}({\textbf {x}}_{2}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}}$

Por las definiciones de${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$,${\displaystyle f_{1}}$, y${\displaystyle g_{1}}$A partir del paso anterior, este sistema también está representado por

${\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\end{bmatrix}} ^{{\dot {\mathbf {x} }}_{2}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{1}(\mathbf {x} _{1})+g_{1}(\mathbf {x} _{1})z_{2}\\0\end{bmatrix}} ^{f_{2}(\mathbf {x} _{2})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}} ^{g_{2}(\mathbf {x} _{2})}z_{3}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{2},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{2}({\textbf {x}}_{2}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}}$

Además, utilizando estas definiciones de${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$,${\displaystyle f_{2}}$, y${\displaystyle g_{2}}$, este sistema también puede expresarse como

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}=f_{2}(\mathbf {x} _{2})+g_{2}(\mathbf {x} _{2})z_{3}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{2},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{2}({\textbf {x}}_{2}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{3}=u_{3}\end{cases}}}$

Por lo tanto, el sistema reagrupado tiene la estructura de integrador único de la ecuación  ( 1 ), y por lo tanto, el procedimiento de retroceso de integrador único se puede aplicar nuevamente. Es decir, si retroalimentamos los estados${\displaystyle z_{1}}$,${\displaystyle z_{2}}$,${\displaystyle z_{3}}$y x para ingresar${\displaystyle u_{3}}$Según la ley de control

${\displaystyle u_{3}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},z_{3})=-{\frac {\partial V_{2}}{\partial \mathbf {x} _{2}}}g_{2}(\mathbf {x} _{2})-k_{3}(z_{3}-u_{2}(\mathbf {x} _{2}))+{\frac {\partial u_{2}}{\partial \mathbf {x} _{2}}}(f_{2}(\mathbf {x} _{2})+g_{2}(\mathbf {x} _{2})z_{3})}$

con ganancia${\displaystyle k_{3}>0}$, entonces los estados${\displaystyle z_{1}}$,${\displaystyle z_{2}}$,${\displaystyle z_{3}}$y x volverá a${\displaystyle z_{1}=0}$,${\displaystyle z_{2}=0}$,${\displaystyle z_{3}=0}$, y${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} \,}$después de una única perturbación. Este subsistema se estabiliza mediante una ley de control por retroalimentación.${\displaystyle u_{3}}$y la función de Lyapunov correspondiente es

${\displaystyle V_{3}(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},z_{3})=V_{2}(\mathbf {x} _{2})+{\frac {1}{2}}(z_{3}-u_{2}(\mathbf {x} _{2}))^{2}}$

Es decir, bajo la ley de control de retroalimentación${\displaystyle u_{3}}$, la función de Lyapunov${\displaystyle V_{3}}$decae a cero a medida que los estados regresan al origen.

• Este proceso puede continuar para cada integrador añadido al sistema y, por lo tanto, para cualquier sistema de la forma

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{x},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{x}({\textbf {x}}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}=z_{3}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i}=z_{i+1}\\\vdots \\{\dot {z}}_{k-2}=z_{k-1}\\{\dot {z}}_{k-1}=z_{k}\\{\dot {z}}_{k}=u\end{cases}}}$

tiene la estructura recursiva

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=f_{x}(\mathbf {x} )+g_{x}(\mathbf {x} )z_{1}&\qquad {\text{ ( by Lyapunov function }}V_{x},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{x}({\textbf {x}}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{1}=z_{2}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{2}=z_{3}\end{cases}}\\\vdots \end{cases}}\\{\dot {z}}_{i}=z_{i+1}\end{cases}}\\\vdots \end{cases}}\\{\dot {z}}_{k-2}=z_{k-1}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{k-1}=z_{k}\end{cases}}\\{\dot {z}}_{k}=u\end{cases}}}$

y puede estabilizarse mediante retroalimentación al encontrar el control estabilizador de retroalimentación y la función de Lyapunov para el integrador único.${\displaystyle (\mathbf {x} ,z_{1})}$subsistema (es decir, con entrada)${\displaystyle z_{2}}$y salida x ) e iterando desde ese subsistema interno hasta que se conozca el control de estabilización por retroalimentación final u . En la iteración i , el sistema equivalente es

${\displaystyle {\begin{cases}\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {\mathbf {x} }}\\{\dot {z}}_{1}\\{\dot {z}}_{2}\\\vdots \\{\dot {z}}_{i-2}\\{\dot {z}}_{i-1}\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,{\dot {\mathbf {x} }}_{i-1}}=\overbrace {\begin{bmatrix}f_{i-2}(\mathbf {x} _{i-2})+g_{i-2}(\mathbf {x} _{i-1})z_{i-2}\\0\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,f_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})}+\overbrace {\begin{bmatrix}\mathbf {0} \\1\end{bmatrix}} ^{\triangleq \,g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})}z_{i}&\quad {\text{ ( by Lyap. func. }}V_{i-1},{\text{ subsystem stabilized by }}u_{i-1}({\textbf {x}}_{i-1}){\text{ )}}\\{\dot {z}}_{i}=u_{i}\end{cases}}}$

La ley de control de estabilización por retroalimentación correspondiente es

${\displaystyle u_{i}(\overbrace {\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\dots ,z_{i}} ^{\triangleq \,\mathbf {x} _{i}})=-{\frac {\partial V_{i-1}}{\partial \mathbf {x} _{i-1}}}g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\,-\,k_{i}(z_{i}\,-\,u_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1}))\,+\,{\frac {\partial u_{i-1}}{\partial \mathbf {x} _{i-1}}}(f_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})\,+\,g_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})z_{i})}$

con ganancia${\displaystyle k_{i}>0}$. La función de Lyapunov correspondiente es

${\displaystyle V_{i}(\mathbf {x} _{i})=V_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1})+{\frac {1}{2}}(z_{i}-u_{i-1}(\mathbf {x} _{i-1}))^{2}}$

Mediante esta construcción, el control final${\displaystyle u(\mathbf {x} ,z_{1},z_{2},\ldots ,z_{k})=u_{k}(\mathbf {x} _{k})}$(es decir, el control definitivo se encuentra en la iteración final)${\displaystyle i=k}$).