plano de fase

En matemáticas aplicadas , en particular en el contexto del análisis de sistemas no lineales , un plano de fase es una representación visual de ciertas características de ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ; un plano de coordenadas cuyos ejes son los valores de las dos variables de estado, por ejemplo ( x , y ) o ( q , p ), etc. (cualquier par de variables). Es un caso bidimensional del espacio de fase general n- dimensional .

El método del plano de fase se refiere a la determinación gráfica de la existencia de ciclos límite en las soluciones de la ecuación diferencial.

Las soluciones de la ecuación diferencial constituyen una familia de funciones . Gráficamente, esto se puede representar en el plano de fase como un campo vectorial bidimensional . Se dibujan vectores que representan las derivadas de los puntos con respecto a un parámetro (por ejemplo, el tiempo t ), es decir, ( dx / dt , dy / dt ), en puntos representativos. Con suficientes flechas, se puede visualizar el comportamiento del sistema en las regiones del plano analizadas y se pueden identificar fácilmente los ciclos límite .

El campo completo constituye el retrato de fase ; una trayectoria particular seguida a lo largo de una línea de flujo (es decir, una trayectoria siempre tangente a los vectores) es una trayectoria de fase . Los flujos en el campo vectorial indican la evolución temporal del sistema que describe la ecuación diferencial.

De esta forma, los planos de fase son útiles para visualizar el comportamiento de los sistemas físicos ; en particular, de los sistemas oscilatorios como los modelos depredador-presa (véanse las ecuaciones de Lotka-Volterra ). En estos modelos, las trayectorias de fase pueden "enrollarse" hacia cero, "enrollarse" hacia el infinito o alcanzar situaciones de estabilidad neutra llamadas centros, donde la trayectoria trazada puede ser circular, elíptica u ovoide, o alguna variante de estas. Esto es útil para determinar si la dinámica es estable o no. ^{[ 1 ]}

Otros ejemplos de sistemas oscilatorios son ciertas reacciones químicas con múltiples etapas, algunas de las cuales implican equilibrios dinámicos en lugar de reacciones que se completan. En tales casos, se puede modelar el aumento y la disminución de la concentración (o masa, o cantidad de sustancia) de reactivos y productos con las ecuaciones diferenciales correctas y un buen conocimiento de la cinética química . ^{[ 2 ]}

Ejemplo de un sistema lineal

Un sistema bidimensional de ecuaciones diferenciales lineales se puede escribir de la forma: ^{[ 1 ]}

{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=Ax+By\\{\frac {dy}{dt}}&=Cx+Dy\end{aligned}}

que se puede organizar en una ecuación matricial :

{\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}\\&{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\mathbf {A} \mathbf {v} .\end{aligned}}

donde A es la matriz de coeficientes de 2 × 2 anterior, y v = ( x , y ) es un vector de coordenadas de dos variables independientes .

Estos sistemas pueden resolverse analíticamente, en este caso mediante la integración: ^{[ 3 ]}

${\frac {dy}{dx}}={\frac {Cx+Dy}{Ax+By}}$

aunque las soluciones son funciones implícitas en x e y , y son difíciles de interpretar. ^{[ 1 ]}

Resolución mediante valores propios

Más comúnmente se resuelven con los coeficientes del lado derecho escritos en forma matricial usando los valores propios λ , dados por el determinante :

\det \left({\begin{bmatrix}A&B\\C&D\\\end{bmatrix}}-\lambda \mathbf {I} \right)=0

y vectores propios :

{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\\\end{bmatrix}}\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}

Los autovalores representan las potencias de los componentes exponenciales y los autovectores son los coeficientes. Si las soluciones se escriben en forma algebraica, expresan el factor multiplicativo fundamental del término exponencial. Debido a la no unicidad de los autovectores, cada solución obtenida de esta manera tiene constantes indeterminadas c ₁ , c ₂ , …, c _n .

La solución general es:

x={\begin{bmatrix}k_{1}\\k_{2}\end{bmatrix}}c_{1}e^{\lambda _{1}t}+{\begin{bmatrix}k_{3}\\k_{4}\end{bmatrix}}c_{2}e^{\lambda _{2}t}.

donde λ ₁ y λ ₂ son los autovalores, y ( k ₁ , k ₂ ), ( k ₃ , k ₄ ) son los autovectores básicos. Las constantes c ₁ y c ₂ representan la no unicidad de los autovectores y no se pueden resolver a menos que se proporcione una condición inicial para el sistema.

El determinante anterior conduce al polinomio característico :

\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +(AD-BC)=0

que es simplemente una ecuación cuadrática de la forma:

\lambda ^{2}-p\lambda +q=0

dónde $p=A+D=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )\,,$ ("tr" denota traza ) y $q=AD-BC=\det(\mathbf {A} )\,.$

La solución explícita de los autovalores viene dada entonces por la fórmula cuadrática :

\lambda ={\frac {1}{2}}(p\pm {\sqrt {\Delta }})\,

dónde $\Delta =p^{2}-4q\,.$

Vectores propios y nodos

Los autovectores y los nodos determinan el perfil de las trayectorias de fase, proporcionando una interpretación gráfica de la solución al sistema dinámico, como se muestra a continuación.

El plano de fase se establece primero dibujando líneas rectas que representan los dos autovectores (los cuales representan situaciones estables donde el sistema converge hacia esas líneas o diverge de ellas). Luego, el plano de fase se grafica utilizando líneas continuas en lugar de líneas discontinuas del campo direccional. Los signos de los autovalores indican el comportamiento del plano de fase:

Si los signos son opuestos, la intersección de los vectores propios es un punto de silla .
Si ambos signos son positivos, los vectores propios representan situaciones estables de las que el sistema se aleja, y la intersección es un nodo inestable .
Si ambos signos son negativos, los autovectores representan situaciones estables hacia las que converge el sistema, y la intersección es un nodo estable .

Lo anterior se puede visualizar recordando el comportamiento de los términos exponenciales en las soluciones de ecuaciones diferenciales.

Autovalores repetidos

Este ejemplo solo abarca el caso de autovalores reales y separados. Los autovalores reales repetidos requieren resolver la matriz de coeficientes con un vector desconocido y el primer autovector para generar la segunda solución de un sistema de 2x2. Sin embargo, si la matriz es simétrica, es posible utilizar el autovector ortogonal para generar la segunda solución.

valores propios complejos

Los autovalores y autovectores complejos generan soluciones en forma de senos , cosenos y exponenciales. Una de las ventajas de esta situación es que basta con un solo autovalor y un solo autovector para generar el conjunto completo de soluciones del sistema.

Véase también

Línea de fase , caso unidimensional
Espacio de fases , caso n -dimensional
Retrato de fase

Referencias

1 2 3 4 D.W. Jordan; P. Smith (2007). Ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales: Introducción para científicos e ingenieros (4.ª ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920825-8.
↑ KT Alligood; TD Sauer; JA Yorke (1996). Caos: Una introducción a los sistemas dinámicos . Springer. ISBN 978-0-38794-677-1.
↑ WE Boyce; RC Diprima (1986). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de contorno (4.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83824-1.

Enlaces externos

Universidad de Lamar, Apuntes de matemáticas en línea - Plano de fase , P. Dawkins
Universidad de Lamar, Apuntes de matemáticas en línea - Sistemas de ecuaciones diferenciales , P. Dawkins
Descripción general del método del plano de fase

[Jordan,_Smith-1] 1 2 3 4 D.W. Jordan; P. Smith (2007). Ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales: Introducción para científicos e ingenieros (4.ª ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920825-8.

[2] KT Alligood; TD Sauer; JA Yorke (1996). Caos: Una introducción a los sistemas dinámicos . Springer. ISBN 978-0-38794-677-1.

[3] WE Boyce; RC Diprima (1986). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de contorno (4.ª ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83824-1.

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