Análisis del lugar de las raíces

En teoría de control y teoría de estabilidad , el análisis del lugar de las raíces es un método gráfico para examinar cómo cambian las raíces de un sistema con la variación de un determinado parámetro del sistema , comúnmente una ganancia dentro de un sistema de retroalimentación . Esta es una técnica utilizada como criterio de estabilidad en el campo de la teoría de control clásica desarrollada por Walter R. Evans, que puede determinar la estabilidad del sistema. El lugar de las raíces traza los polos de la función de transferencia de bucle cerrado en el plano s complejo como una función de un parámetro de ganancia (ver gráfico de polos y ceros ).

Evans también inventó en 1948 una computadora analógica para calcular los lugares de las raíces, llamada "Spirule" (de "espiral" y " regla de cálculo "); encontró un amplio uso antes de la llegada de las computadoras digitales . ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]}

Además de determinar la estabilidad del sistema, el lugar de las raíces se puede utilizar para diseñar la relación de amortiguamiento ( ζ ) y la frecuencia natural ( ω _n ) de un sistema de retroalimentación. Se pueden dibujar líneas de relación de amortiguamiento constante radialmente desde el origen y se pueden dibujar líneas de frecuencia natural constante como arcocoseno cuyos puntos centrales coinciden con el origen. Al seleccionar un punto a lo largo del lugar de las raíces que coincida con una relación de amortiguamiento y una frecuencia natural deseadas, se puede calcular una ganancia K e implementarla en el controlador. En la mayoría de los libros de texto de control se encuentran disponibles técnicas más elaboradas de diseño de controladores que utilizan el lugar de las raíces: por ejemplo, los controladores de retraso, adelanto , PI, PD y PID se pueden diseñar aproximadamente con esta técnica.

La definición del coeficiente de amortiguamiento y la frecuencia natural presupone que el sistema de retroalimentación general se aproxima bien a un sistema de segundo orden; es decir, el sistema tiene un par de polos dominante. Esto no suele ser así, por lo que es una buena práctica simular el diseño final para comprobar si se cumplen los objetivos del proyecto.

El lugar de las raíces de un sistema de realimentación es la representación gráfica en el plano complejo s de las posibles ubicaciones de sus polos de lazo cerrado para valores variables de un determinado parámetro del sistema. Los puntos que forman parte del lugar de las raíces satisfacen la condición de ángulo. El valor del parámetro para un determinado punto del lugar de las raíces se puede obtener utilizando la condición de magnitud .

Supongamos que hay un sistema de retroalimentación con señal de entrada y señal de salida . La función de transferencia de la ruta de avance es ; la función de transferencia de la ruta de retroalimentación es . ${\displaystyle X(s)}$${\displaystyle Y(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle H(s)}$

Para este sistema, la función de transferencia de bucle cerrado está dada por ^[10]

${\displaystyle T(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}}$

Por lo tanto, los polos de bucle cerrado de la función de transferencia de bucle cerrado son las raíces de la ecuación característica . Las raíces de esta ecuación se pueden encontrar dondequiera que . ${\displaystyle 1+G(s)H(s)=0}$${\displaystyle 1+G(s)H(s)=0}$

En sistemas sin retardo puro, el producto es una función polinómica racional y puede expresarse como ^[11]${\displaystyle G(s)H(s)}$

${\displaystyle G(s)H(s)=K{\frac {(s+z_{1})(s+z_{2})\cdots (s+z_{m})}{(s+p_{1})(s+p_{2})\cdots (s+p_{n})}}}$

donde son los ceros , son los polos y es una ganancia escalar. Normalmente, un diagrama del lugar de las raíces indicará las ubicaciones de los polos de la función de transferencia para valores variables del parámetro . Un diagrama del lugar de las raíces serán todos aquellos puntos en el plano s donde para cualquier valor de . $estilo de visualización -z_{i}}$${\estilo de visualización m}$ $estilo de visualización -p_{i}}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización K}$${\displaystyle G(s)H(s)=-1}$${\estilo de visualización K}$

La factorización y el uso de monomios simples significa que la evaluación del polinomio racional se puede realizar con técnicas vectoriales que suman o restan ángulos y multiplican o dividen magnitudes. La formulación vectorial surge del hecho de que cada término monomial en el factorizado representa el vector de a en el plano s. El polinomio se puede evaluar considerando las magnitudes y los ángulos de cada uno de estos vectores. ${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización (sa)}$${\displaystyle G(s)H(s)}$${\estilo de visualización a}$${\estilo de visualización s}$

Según las matemáticas vectoriales, el ángulo del resultado del polinomio racional es la suma de todos los ángulos del numerador menos la suma de todos los ángulos del denominador. Por lo tanto, para comprobar si un punto del plano s está en el lugar geométrico de las raíces, solo es necesario considerar los ángulos de todos los polos y ceros de bucle abierto. Esto se conoce como la condición del ángulo.

De manera similar, la magnitud del resultado del polinomio racional es el producto de todas las magnitudes del numerador dividido por el producto de todas las magnitudes del denominador. Resulta que no es necesario el cálculo de la magnitud para determinar si un punto en el plano s es parte del lugar de las raíces porque varía y puede tomar un valor real arbitrario. Para cada punto del lugar de las raíces se puede calcular un valor de . Esto se conoce como la condición de magnitud.${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización K}$

El lugar de las raíces solo proporciona la ubicación de los polos de bucle cerrado a medida que varía la ganancia. El valor de no afecta la ubicación de los ceros. Los ceros de bucle abierto son los mismos que los de bucle cerrado. ${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización K}$

Un punto del plano complejo s satisface la condición de ángulo si ${\estilo de visualización s}$

${\displaystyle \ángulo (G(s)H(s))=\pi }$

Lo cual es lo mismo que decir que

${\displaystyle \suma _{i=1}^{m}\ángulo (s+z_{i})-\suma _{i=1}^{n}\ángulo (s+p_{i})=\pi }$

es decir, la suma de los ángulos desde los ceros de bucle abierto hasta el punto (medidos por cero con respecto a una horizontal que pasa por ese cero) menos los ángulos desde los polos de bucle abierto hasta el punto (medidos por polo con respecto a una horizontal que pasa por ese polo) tiene que ser igual a , o 180 grados . Tenga en cuenta que estas interpretaciones no deben confundirse con las diferencias de ángulos entre el punto y los ceros/polos. ${\estilo de visualización s}$${\estilo de visualización s}$${\estilo de visualización \pi}$${\estilo de visualización s}$

Un valor de satisface la condición de magnitud para un punto dado del lugar de las raíces si ${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización s}$

${\displaystyle |G(s)H(s)|=1}$

Lo cual es lo mismo que decir que

${\displaystyle K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1}$.

Utilizando algunas reglas básicas, el método del lugar de las raíces puede representar gráficamente la forma general del camino (lugar geométrico) recorrido por las raíces a medida que varía el valor de . El gráfico del lugar geométrico de las raíces da entonces una idea de la estabilidad y la dinámica de este sistema de retroalimentación para diferentes valores de . ^{[12] [13]} Las reglas son las siguientes: ${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización K}$

• Marcar polos y ceros de lazo abierto
• Marcar la porción del eje real a la izquierda de un número impar de polos y ceros
• Encontrar asíntotas

Sea P el número de polos y Z el número de ceros:

${\displaystyle PZ={\text{número de asíntotas}}\,}$

Las asíntotas intersecan el eje real en (que se llama centroide) y parten en un ángulo dado por: ${\estilo de visualización \alpha}$${\estilo de visualización \phi}$

${\displaystyle \phi _{l}={\frac {180^{\circ }+(l-1)360^{\circ }}{PZ}},l=1,2,\ldots ,PZ}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {\operatorname {Re} \left(\sum _{P}-\sum _{Z}\right)}{PZ}}}$

donde es la suma de todas las ubicaciones de los polos, es la suma de todas las ubicaciones de los ceros explícitos y denota que solo nos interesa la parte real. ${\displaystyle \suma _{P}}$${\displaystyle \suma _ {Z}}$${\displaystyle \operatorname {Re} ()}$

• Condición de fase en el punto de prueba para encontrar el ángulo de salida
• Calcular puntos de entrada y salida

Los puntos de ruptura se encuentran en las raíces de la siguiente ecuación:

${\displaystyle {\frac {dG(s)H(s)}{ds}}=0{\text{ or }}{\frac {d{\overline {GH}}(z)}{dz}}=0}$

Una vez que se resuelve z , las raíces reales proporcionan los puntos de ruptura/reentrada. Las raíces complejas corresponden a la falta de ruptura/reentrada.

Dado el polinomio racional con denominador de bucle cerrado general

${\displaystyle 1+G(s)H(s)=1+K{\frac {b_{m}s^{m}+\ldots +b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}}},}$

La ecuación característica se puede simplificar a

${\displaystyle s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +(a_{m}+Kb_{m})s^{m}+\ldots +(a_{1}+Kb_{1})s+(a_{0}+Kb_{0})=0.}$

Las soluciones de esta ecuación son los lugares de las raíces de la función de transferencia de bucle cerrado. ${\displaystyle s}$

Dado

${\displaystyle 1+G(s)H(s)=1+K{\frac {s+3}{s^{3}+3s^{2}+5s+1}},}$

tendremos la ecuación característica

${\displaystyle s^{3}+3s^{2}+(5+K)s+(1+3K)=0.}$

El siguiente código MATLAB trazará el lugar de las raíces de la función de transferencia de bucle cerrado como varía utilizando el método manual descrito así como la función incorporada: ${\displaystyle K}$rlocus

% Método manual 
K_array = ( 0 : 0.1 : 220 ). ' ; % .' es una transposición. Buscando en la documentación de Matlab. NK = length ( K_array ); x_array = zeros ( NK , 3 ); y_array = zeros ( NK , 3 );   
  
   
   

para nK = 1 : NK K = matriz_K ( nK ); C = [ 1 , 3 , ( 5 + K ), ( 1 + 3 * K )]; r = raíces ( C ). ' ; matriz_x ( nK ,:) = real ( r ); matriz_y ( nK ,:) = imag ( r ); fin   
     
            
     
     
     


figura (); 
gráfico ( matriz_x , matriz_y ); cuadrícula en ; 
 

% Método incorporado 
sys = tf ([ 1 , 3 ], [ 1 , 3 , 5 , 1 ]); figura (); rlocus ( sys );       

El siguiente código Python también se puede utilizar para calcular y trazar el lugar de las raíces de la función de transferencia de bucle cerrado utilizando la biblioteca de sistemas de control Python ^[14] y Matplotlib ^[15] .

 control  de importaciones como  ct
importar  matplotlib.pyplot  como  plt

# Definir la función de transferencia
sys  =  ct .FunciónTransferencia ( [ 1 , 3 ], [ 1 , 3 , 5 , 1 ])     

# Calcular y graficar el lugar de las raíces
raíces ,  ganancias  =  ct.root_locus ( sys , plot = True )​​ 
plt . mostrar ()

El método del lugar de las raíces también se puede utilizar para el análisis de sistemas de datos muestreados calculando el lugar de las raíces en el plano z , la contraparte discreta del plano s . La ecuación z  =  e ^sT mapea polos continuos del plano s (no ceros) en el dominio z , donde T es el período de muestreo. El semiplano s estable izquierdo se mapea en el interior del círculo unitario del plano z , con el origen del plano s igual a |z|  = 1 (porque  e ⁰  = 1). Una línea diagonal de amortiguamiento constante en el plano s se mapea alrededor de una espiral desde (1,0) en el plano z a medida que se curva hacia el origen. El criterio de aliasing de Nyquist se expresa gráficamente en el plano z por el eje x , donde ωnT  =  π . La línea de amortiguamiento constante que se acaba de describir se espiraliza indefinidamente pero en sistemas de datos muestreados, el contenido de frecuencia se alias hacia frecuencias más bajas por múltiplos enteros de la frecuencia de Nyquist . Es decir, la respuesta muestreada aparece como una frecuencia más baja y mejor amortiguada también, ya que la raíz en el plano z se asigna igualmente bien al primer bucle de una curva espiral diferente, mejor amortiguada, de amortiguamiento constante. Se pueden describir muchas otras propiedades de asignación interesantes y relevantes, en particular que los controladores del plano z , que tienen la propiedad de que se pueden implementar directamente a partir de la función de transferencia del plano z (relación cero/polo de polinomios), se pueden imaginar gráficamente en un gráfico del plano z de la función de transferencia de bucle abierto, y analizar inmediatamente utilizando el lugar geométrico de las raíces.

Dado que el lugar de las raíces es una técnica de ángulos gráficos, las reglas del lugar de las raíces funcionan de la misma manera en los planos z y s .

La idea del lugar de raíces se puede aplicar a muchos sistemas en los que se varía un único parámetro K. Por ejemplo, es útil barrer cualquier parámetro del sistema cuyo valor exacto sea incierto para determinar su comportamiento.

• Margen de fase
• Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz
• Criterio de estabilidad de Nyquist
• Margen de ganancia y fase
• Diagrama de Bode

• Kuo, Benjamin C. (1967). "Root Locus Technique". Sistemas de control automático (segunda edición). Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. págs. 329–388. ASIN  B000KPT04C. LCCN  67016388. OCLC  3805225.

• Ash, RH; Ash, GH (octubre de 1968), "Cálculo numérico de los lugares de las raíces utilizando la técnica de Newton-Raphson", IEEE Transactions on Automatic Control , 13 (5): 576–582, doi :10.1109/TAC.1968.1098980
• Williamson, SE (mayo de 1968), "Datos de diseño para ayudar a trazar los lugares de las raíces (parte I)", Control Magazine , 12 (119): 404–407
• Williamson, SE (junio de 1968), "Datos de diseño para ayudar a trazar los lugares de las raíces (parte II)", Control Magazine , 12 (120): 556–559
• Williamson, SE (julio de 1968), "Datos de diseño para ayudar a trazar los lugares de las raíces (parte III)", Control Magazine , 12 (121): 645–647
• Williamson, SE (15 de mayo de 1969), "Programa informático para obtener la respuesta temporal de sistemas de datos muestreados", Electronics Letters , 5 (10): 209–210, Bibcode :1969ElL.....5..209W, doi :10.1049/el:19690159
• Williamson, SE (julio de 1969), "Gráficos precisos del lugar de las raíces, incluidos los efectos del retardo de tiempo puro. Descripción de programas informáticos", Proceedings of the Institution of Electrical Engineers , 116 (7): 1269–1271, doi :10.1049/piee.1969.0235, archivado desde el original el 29 de junio de 2019

• Wikilibros: Sistemas de control/Lugar de las raíces
• Tutorial de Carnegie Mellon/Universidad de Michigan
• Ejemplos excelentes. Comience con el ejemplo 5 y continúe hacia atrás desde el 4 hasta el 1. Visite también la página principal
• El método del lugar de las raíces: técnicas de dibujo a mano
• "RootLocs": un trazador de lugares de raíces gratuito y con múltiples funciones para plataformas Mac y Windows
• "Root Locus": un analizador/graficador de lugares de raíces gratuito para Windows
• Lugar de las raíces en ControlTheoryPro.com
• Análisis del lugar de las raíces de los sistemas de control
• Función de MATLAB para calcular el lugar de las raíces de un modelo de bucle abierto SISO
• Wechsler, ER (enero-marzo de 1983), "Algoritmos de lugar de raíces para calculadoras de bolsillo programables" (PDF) , Informe de progreso de telecomunicaciones y adquisición de datos , 73 , NASA: 60–64, Bibcode :1983TDAPR..73...60W
• Función de Mathematica para trazar el lugar de las raíces
• Šekara, Tomislav B.; Rapaić, Milan R. (1 de octubre de 2015). "Una revisión del método del lugar de las raíces con aplicaciones". Journal of Process Control . 34 : 26–34. doi :10.1016/j.jprocont.2015.07.007.