Polinomio estable

En el contexto del polinomio característico de una ecuación diferencial o ecuación en diferencias , se dice que un polinomio es estable si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

• todas sus raíces se encuentran en el semiplano izquierdo abierto , o
• Todas sus raíces se encuentran en el disco de unidad abierta .

La primera condición proporciona estabilidad para sistemas lineales de tiempo continuo , y el segundo caso se relaciona con la estabilidad de sistemas lineales de tiempo discreto . Un polinomio con la primera propiedad se denomina a veces polinomio estable de Hurwitz y con la segunda propiedad polinomio estable de Schur. Los polinomios estables surgen en la teoría de control y en la teoría matemática de ecuaciones diferenciales y en diferencias. Un sistema lineal invariante en el tiempo (véase teoría de sistemas LTI ) se dice que es estable BIBO si toda entrada acotada produce una salida acotada. Un sistema lineal es estable BIBO si su polinomio característico es estable. El denominador debe ser estable de Hurwitz si el sistema está en tiempo continuo y estable de Schur si está en tiempo discreto. En la práctica, la estabilidad se determina aplicando cualquiera de varios criterios de estabilidad .

• El teorema de Routh-Hurwitz proporciona un algoritmo para determinar si un polinomio dado es estable en el sentido de Hurwitz, el cual se implementa en las pruebas de Routh-Hurwitz y Liénard-Chipart .
• Para comprobar si un polinomio P (de grado d ) dado es estable en el sentido de Schur, basta con aplicar este teorema al polinomio transformado.

${\displaystyle Q(z)=(z-1)^{d}P\left({{z+1} \over {z-1}}\right)}$

obtenido después de la transformación de Möbius${\displaystyle z\mapsto {{z+1} \over {z-1}}}$que mapea el semiplano izquierdo al disco unitario abierto: P es estable de Schur si y solo si Q es estable de Hurwitz y${\displaystyle P(1)\neq 0}$Para polinomios de grado superior, el cálculo adicional que implica esta aplicación puede evitarse probando la estabilidad de Schur mediante la prueba de Schur-Cohn, la prueba de Jury o la prueba de Bistritz .

• Condición necesaria: un polinomio estable de Hurwitz (con coeficientes reales ) tiene coeficientes del mismo signo (ya sean todos positivos o todos negativos).
• Condición suficiente: un polinomio${\displaystyle f(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}}$con coeficientes (reales) tales que

${\displaystyle a_{n}>a_{n-1}>\cdots >a_{0}>0,}$

¿Es Schur estable?

• Regla del producto: Dos polinomios f y g son estables (del mismo tipo) si y solo si el producto fg es estable.
• Producto de Hadamard: El producto de Hadamard (coeficiente por coeficiente) de dos polinomios estables de Hurwitz es también estable de Hurwitz. ^{[ 1 ]}

• ${\displaystyle 4z^{3}+3z^{2}+2z+1}$¿Es Schur estable porque satisface la condición suficiente?
• ${\displaystyle z^{10}}$es Schur estable (porque todas sus raíces son iguales a 0) pero no satisface la condición suficiente;
• ${\displaystyle z^{2}-z-2}$no es estable de Hurwitz (sus raíces son −1 y 2) porque viola la condición necesaria;
• ${\displaystyle z^{2}+3z+2}$es Hurwitz estable (sus raíces son −1 y −2).
• El polinomio${\displaystyle z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1}$(con coeficientes positivos) no es estable de Hurwitz ni de Schur. Sus raíces son las cuatro raíces quintas primitivas de la unidad.

${\displaystyle z_{k}=\cos \left({{2\pi k} \over 5}\right)+i\sin \left({{2\pi k} \over 5}\right),\,k=1,\ldots ,4\,.}$

Tenga en cuenta aquí que

${\displaystyle \cos({{2\pi }/5})={{{\sqrt {5}}-1} \over 4}>0.}$

Se trata de un caso límite para la estabilidad de Schur, ya que sus raíces se encuentran en el círculo unitario . El ejemplo también demuestra que las condiciones necesarias (de positividad) mencionadas anteriormente para la estabilidad de Hurwitz no son suficientes.

Así como los polinomios estables son cruciales para evaluar la estabilidad de los sistemas descritos por polinomios, las matrices de estabilidad juegan un papel vital en la evaluación de la estabilidad de los sistemas representados por matrices .

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