Pértiga de circuito cerrado

En teoría de sistemas , los polos de lazo cerrado ^{[ 1 ]} son ​​las posiciones de los polos (o autovalores ) de una función de transferencia de lazo cerrado en el plano s . La función de transferencia de lazo abierto es igual al producto de todos los bloques de la función de transferencia en la trayectoria directa en el diagrama de bloques . La función de transferencia de lazo cerrado se obtiene dividiendo la función de transferencia de lazo abierto por la suma de uno y el producto de todos los bloques de la función de transferencia a lo largo del lazo de retroalimentación negativa . La función de transferencia de lazo cerrado también puede obtenerse mediante manipulación algebraica o del diagrama de bloques. Una vez obtenida la función de transferencia de lazo cerrado para el sistema, los polos de lazo cerrado se obtienen resolviendo la ecuación característica. La ecuación característica no es más que igualar a cero el denominador de la función de transferencia de lazo cerrado.

En la teoría de control existen dos métodos principales para analizar sistemas de retroalimentación: el método de la función de transferencia (o dominio de la frecuencia) y el método del espacio de estados . Cuando se utiliza el método de la función de transferencia, la atención se centra en las ubicaciones en el plano s donde la función de transferencia no está definida (los polos ) o es cero (los ceros ; véase Ceros y polos ). Dos funciones de transferencia diferentes interesan al diseñador. Si los bucles de retroalimentación del sistema están abiertos (es decir, se impide su funcionamiento), se habla de la función de transferencia de bucle abierto , mientras que si los bucles de retroalimentación funcionan normalmente, se habla de la función de transferencia de bucle cerrado . Para más información sobre la relación entre ambas, véase el lugar de las raíces .

La respuesta de un sistema lineal invariante en el tiempo a cualquier entrada se puede obtener a partir de su respuesta impulsional y su respuesta escalón . Los autovalores del sistema determinan completamente la respuesta natural ( respuesta no forzada ). En teoría de control, la respuesta a cualquier entrada es una combinación de una respuesta transitoria y una respuesta en estado estacionario . Por lo tanto, un parámetro de diseño crucial es la ubicación de los autovalores, o polos del lazo cerrado.

En el diseño del lugar de las raíces , la ganancia K se parametriza habitualmente. Cada punto del lugar satisface la condición de ángulo y la condición de magnitud y corresponde a un valor diferente de K. Para los sistemas de retroalimentación negativa , los polos de lazo cerrado se mueven a lo largo del lugar de las raíces desde los polos de lazo abierto hasta los ceros de lazo abierto a medida que aumenta la ganancia. Por esta razón, el lugar de las raíces se utiliza a menudo para el diseño de control proporcional , es decir, aquellos para los que ${\displaystyle {\textbf {G}}_{c}=K}$.

Consideremos un sistema de retroalimentación simple con controlador${\displaystyle {\textbf {G}}_{c}=K}$, planta${\displaystyle {\textbf {G}}(s)}$y función de transferencia${\displaystyle {\textbf {H}}(s)}$en la ruta de retroalimentación . Tenga en cuenta que un sistema de retroalimentación unitaria tiene${\displaystyle {\textbf {H}}(s)=1}$y el bloque se omite. Para este sistema, la función de transferencia de lazo abierto es el producto de los bloques en la trayectoria directa,${\displaystyle {\textbf {G}}_{c}{\textbf {G}}=K{\textbf {G}}}$. El producto de los bloques alrededor de todo el circuito cerrado es${\displaystyle {\textbf {G}}_{c}{\textbf {G}}{\textbf {H}}=K{\textbf {G}}{\textbf {H}}}$Por lo tanto, la función de transferencia de lazo cerrado es

${\displaystyle {\textbf {T}}(s)={\frac {K{\textbf {G}}}{1+K{\textbf {G}}{\textbf {H}}}}.}$

Los polos de lazo cerrado, o autovalores, se obtienen resolviendo la ecuación característica.${\displaystyle {1+K{\textbf {G}}{\textbf {H}}}=0}$En general, la solución serán n números complejos donde n es el orden del polinomio característico .

Lo anterior es válido para sistemas de entrada única y salida única (SISO). Es posible una extensión para sistemas de múltiples entradas y múltiples salidas, es decir, para sistemas donde${\displaystyle {\textbf {G}}(s)}$y${\displaystyle {\textbf {K}}(s)}$son matrices cuyos elementos están formados por funciones de transferencia. En este caso, los polos son la solución de la ecuación.

${\displaystyle \det({\textbf {I}}+{\textbf {G}}(s){\textbf {K}}(s))=0.\,}$