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atractor oculto

En la teoría de bifurcaciones , una oscilación acotada que surge sin pérdida de estabilidad del conjunto estacionario se denomina oscilación oculta . En la teoría de control no ...

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En la teoría de bifurcaciones , una oscilación acotada que surge sin pérdida de estabilidad del conjunto estacionario se denomina oscilación oculta . En la teoría de control no lineal , el surgimiento de una oscilación oculta en un sistema de control invariante en el tiempo con estados acotados implica cruzar un límite, en el dominio de los parámetros, donde la estabilidad local de los estados estacionarios implica estabilidad global (véase, por ejemplo, la conjetura de Kalman ). Si una oscilación oculta (o un conjunto de tales oscilaciones ocultas que llenan un subconjunto compacto del espacio de fases del sistema dinámico ) atrae a todas las oscilaciones cercanas, entonces se denomina atractor oculto . Para un sistema dinámico con un único punto de equilibrio que es globalmente atractivo, el surgimiento de un atractor oculto corresponde a un cambio cualitativo en el comportamiento, de monoestabilidad a biestabilidad. En el caso general, un sistema dinámico puede resultar multiestable y tener atractores locales coexistentes en el espacio de fases. Si bien los atractores triviales, es decir, los puntos de equilibrio estables , se pueden encontrar fácilmente de forma analítica o numérica, la búsqueda de atractores periódicos y caóticos puede resultar un problema desafiante (véase, por ejemplo, la segunda parte del problema número 16 de Hilbert ).

Clasificación de los atractores como ocultos o autoexcitados.

Para identificar un atractor local en un experimento físico o numérico, es necesario elegir un estado inicial del sistema dentro de la cuenca de atracción del atractor y observar cómo el estado del sistema, partiendo de este estado inicial, tras un proceso transitorio, visualiza el atractor. La clasificación de los atractores como ocultos o autoexcitados refleja las dificultades para revelar las cuencas de atracción y buscar los atractores locales en el espacio de fases .

Definición . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] Un atractor se denomina atractor oculto si su cuenca de atracción no se interseca con un cierto entorno abierto de puntos de equilibrio; de lo contrario, se denomina atractor autoexcitado.

La clasificación de los atractores como ocultos o autoexcitados fue introducida por G. Leonov y N. Kuznetsov en relación con el descubrimiento del atractor oculto de Chua [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] por primera vez en 2009. De manera similar, una oscilación acotada arbitraria, que no necesariamente tiene un entorno abierto como cuenca de atracción en el espacio de fases, se clasifica como una oscilación autoexcitada u oculta.

Atractor caótico autoexcitado (dominio verde) en el sistema de Chua . Las trayectorias con datos iniciales en vecindades de dos puntos de silla (azul) y punto de equilibrio cero (naranja) tienden (verde) al atractor.
Atractor oculto caótico (dominio verde) en el sistema de Chua . Las trayectorias con datos iniciales en vecindades de dos puntos de silla (azul) tienden (flecha roja) al infinito o tienden (flecha negra) al punto de equilibrio cero estable (naranja).
Dos atractores caóticos ocultos y un atractor periódico oculto coexisten con dos atractores triviales en el circuito de Chua (de la portada de IJBC [ 7 ] ).

Atractores autoexcitados

Para un atractor autoexcitado, su cuenca de atracción está conectada con un equilibrio inestable y, por lo tanto, los atractores autoexcitados pueden hallarse numéricamente mediante un procedimiento computacional estándar en el que, tras un proceso transitorio, una trayectoria, que parte de una vecindad de un equilibrio inestable, es atraída hacia el estado de oscilación y luego lo sigue (véase, por ejemplo, el proceso de autooscilación ). Así, los atractores autoexcitados, incluso coexistiendo en el caso de multiestabilidad , pueden revelarse y visualizarse fácilmente de forma numérica. En el sistema de Lorenz , para parámetros clásicos, el atractor se autoexcita con respecto a todos los equilibrios existentes y puede visualizarse mediante cualquier trayectoria de sus proximidades; sin embargo, para otros valores de los parámetros, existen dos atractores triviales que coexisten con un atractor caótico, que se autoexcita únicamente con respecto al equilibrio cero. Los atractores clásicos en los sistemas dinámicos de Van der Pol , Beluosov-Zhabotinsky , Rössler , Chua y Hénon están autoexcitados.

Una conjetura es que la dimensión de Lyapunov de un atractor autoexcitado no excede la dimensión de Lyapunov de uno de los equilibrios inestables, cuya variedad inestable interseca con la cuenca de atracción y visualiza el atractor. [ 8 ]

atractores ocultos

Los atractores ocultos tienen cuencas de atracción que no están conectadas con los equilibrios y están "ocultas" en algún lugar del espacio de fases. Por ejemplo, los atractores ocultos son atractores en sistemas sin equilibrios: p. ej., sistemas dinámicos electromecánicos rotatorios con el efecto Sommerfeld (1902), en sistemas con un solo equilibrio, que es estable, p. ej., los contraejemplos a la conjetura de Aizerman (1949) y la conjetura de Kalman (1957) sobre la monoestabilidad de sistemas de control no lineales. Uno de los primeros problemas teóricos relacionados es la segunda parte del problema 16 de Hilbert sobre el número y la disposición mutua de ciclos límite en sistemas polinomiales bidimensionales donde los ciclos límite estables anidados son atractores periódicos ocultos. La noción de atractor oculto se ha convertido en un catalizador para el descubrimiento de atractores ocultos en muchos modelos dinámicos aplicados. [ 1 ] [ 9 ] [ 10 ]

En general, el problema con los atractores ocultos es que no existen métodos generales y directos para rastrear o predecir dichos estados para la dinámica del sistema (véase, por ejemplo, [ 11 ] ). Si bien para sistemas bidimensionales las oscilaciones ocultas pueden investigarse mediante métodos analíticos (véase, por ejemplo, los resultados de la segunda parte del problema 16 de Hilbert ), para el estudio de la estabilidad y las oscilaciones en sistemas multidimensionales no lineales complejos, se suelen utilizar métodos numéricos. En el caso multidimensional, es improbable que la integración de trayectorias con datos iniciales aleatorios proporcione una localización de un atractor oculto, ya que una cuenca de atracción puede ser muy pequeña, y la dimensión del atractor en sí misma puede ser mucho menor que la dimensión del sistema considerado. Por lo tanto, para la localización numérica de atractores ocultos en el espacio multidimensional, es necesario desarrollar procedimientos computacionales analítico-numéricos especiales, [ 1 ] [ 12 ] [ 8 ] que permitan elegir datos iniciales en el dominio de atracción de la oscilación oculta (que no contiene vecindades de equilibrios), y luego realizar el cálculo de la trayectoria. Existen métodos efectivos correspondientes basados ​​en homotopía y continuación numérica : se construye una secuencia de sistemas similares, de modo que para el primer sistema (inicial), los datos iniciales para el cálculo numérico de una solución oscilante (oscilación inicial) se pueden obtener analíticamente, y luego se sigue numéricamente la transformación de esta oscilación inicial en la transición de un sistema a otro.

Teoría de las oscilaciones ocultas

El premio Afraimovich fue otorgado a N.  Kuznetsov por su obra "La teoría de las oscilaciones ocultas y la estabilidad de los sistemas dinámicos " (2021).

La clasificación de los atractores como autoexcitados u ocultos fue una premisa fundamental para el surgimiento de la teoría de las oscilaciones ocultas, que representa el desarrollo moderno de la teoría de las oscilaciones de Andronov. [ 13 ] : 39 [ 14 ] Es clave para determinar los límites exactos de la estabilidad global, partes de la cual son clasificadas por N. Kuznetsov como triviales (es decir, determinadas por bifurcaciones locales) o como ocultas (es decir, determinadas por bifurcaciones no locales y por el nacimiento de oscilaciones ocultas). [ 15 ] [ 16 ]

Referencias

  1. 1 2 3 Leonov GA; Kuznetsov NV (2013). "Atractores ocultos en sistemas dinámicos. De oscilaciones ocultas en problemas de Hilbert-Kolmogorov, Aizerman y Kalman a atractores caóticos ocultos en circuitos de Chua". Revista Internacional de Bifurcación y Caos en Ciencias Aplicadas e Ingeniería . 23 (1): 1330002– 219. Bibcode : 2013IJBC...2330002L . doi : 10.1142/S0218127413300024 .
  2. ↑ Bragin VO; Vagaitsev VI; Kuznetsov NV; Leonov GA (2011). "Algoritmos para encontrar oscilaciones ocultas en sistemas no lineales. Las conjeturas de Aizerman y Kalman y los circuitos de Chua" (PDF) . Journal of Computer and Systems Sciences International . 50 (5): 511– 543. doi : 10.1134/S106423071104006X . S2CID 21657305 . 
  3. ↑ Leonov, GA; Kuznetsov, NV; Mokaev, TN (2015). "Órbitas homoclinas y atractores autoexcitados y ocultos en un sistema tipo Lorenz que describe el movimiento de fluidos convectivos". The European Physical Journal Special Topics . 224 (8): 1421– 1458. arXiv : 1505.04729 . doi : 10.1140/epjst/e2015-02470-3 . S2CID 119227870 . 
  4. ↑ Kuznetsov NV; Leonov GA; Vagaitsev VI (2010). "Método analítico-numérico para la localización de atractores del sistema generalizado de Chua" . IFAC Proceedings Volumes . 43 (11): 29– 33. doi : 10.3182/20100826-3-TR-4016.00009 .
  5. ↑ Leonov GA; Vagaitsev VI; Kuznetsov NV (2011). "Localización de atractores ocultos de Chua" (PDF) . Physics Letters . 375 (23): 2230– 2233. Bibcode : 2011PhLA..375.2230L . doi : 10.1016/j.physleta.2011.04.037 .
  6. ↑ Leonov GA; Vagaitsev VI; Kuznetsov NV (2012). "Atractor oculto en sistemas de Chua suaves" (PDF) . Physica D. 241 ( 18): 1482– 1486. ​​Bibcode : 2012PhyD..241.1482L . doi : 10.1016/j.physd.2012.05.016 .
  7. 1 2 Stankevich NV; Kuznetsov NV; Leonov GA; Chua L. (2017). "Escenario del nacimiento de atractores ocultos en el circuito de Chua". Revista Internacional de Bifurcación y Caos en Ciencias Aplicadas e Ingeniería . 27 (12): 1730038– 188. arXiv : 1710.02677 . Bibcode : 2017IJBC...2730038S . doi : 10.1142/S0218127417300385 . S2CID 45604334 . 
  8. 12 Kuznetsov , NV; Leónov, GA; Mokaev, TN; Prasad, A.; Shrimali, MD (2018). "Dimensión de Lyapunov de tiempo finito y atractor oculto del sistema Rabinovich". Dinámica no lineal . 92 (2): 267– 285. arXiv : 1504.04723 . Código Bib : 2018NonDy..92..267K . doi : 10.1007/s11071-018-4054-z . S2CID 54706479 . 
  9. ↑ Kuznetsov NV; Leonov GA (2014). "Atractores ocultos en sistemas dinámicos: sistemas sin equilibrios, multiestabilidad y atractores coexistentes". IFAC Proceedings Volumes (Actas del Congreso Mundial de la IFAC) . 47 (3): 5445– 5454. doi : 10.3182/20140824-6-ZA-1003.02501 .
  10. ↑ Dudkowski D.; Jafari S.; Kapitaniak T.; Kuznetsov NV; Leonov GA; Prasad A. (2016). "Atractores ocultos en sistemas dinámicos" . Physics Reports . 637 : 1–50 . Bibcode : 2016PhR...637....1D . doi : 10.1016/j.physrep.2016.05.002 .
  11. ↑ Kuznetsov, NV; Leonov, GA; Yuldashev, MV; Yuldashev, RV (2017). "Atractores ocultos en modelos dinámicos de circuitos de bucle de enganche de fase: limitaciones de la simulación en MATLAB y SPICE" . Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation . 51 : 39–49 . Bibcode : 2017CNSNS..51...39K . doi : 10.1016/j.cnsns.2017.03.010 .
  12. ↑ Chen, G.; Kuznetsov, NV; Leonov, GA; Mokaev, TN (2015). "Atractores ocultos en un camino: sistemas de Glukhovsky-Dolzhansky, Lorenz y Rabinovich". International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering . 27 (8): art. num. 1750115. arXiv : 1705.06183 . doi : 10.1142/S0218127417501152 . S2CID 21425647 . 
  13. ↑ Alexeeva, T. (2024). Pronóstico y control en modelos económicos no lineales con aplicación a la política económica . LUT University Press.
  14. ↑ "Ganadores de los Premios Nacionales de Ciencia y Tecnología de la Federación Rusa de 2024" . kremlin.ru. 10 de junio de 2025. Consultado el 10 de junio de 2025 .
  15. ↑ Kuznetsov NV (2020). "Teoría de las oscilaciones ocultas y estabilidad de los sistemas de control" (PDF) . Journal of Computer and Systems Sciences International . 59 (5): 647– 668. doi : 10.1134/S1064230720050093 . S2CID 225304463 . 
  16. ↑ Kuznetsov, NV; Mokaev, TN; Kuznetsova, OA; Kudryashova, EV (2020). "El sistema de Lorenz: límite oculto de la estabilidad práctica y la dimensión de Lyapunov" . Dinámica no lineal . 102 (2): 713– 732. Bibcode : 2020NonDy.102..713K . doi : 10.1007/s11071-020-05856-4 .

Libros

  • Sistemas caóticos con multiestabilidad y atractores ocultos (Eds.: Wang, Kuznetsov, Chen), Springer, 2021 ( doi:10.1007/978-3-030-75821-9 )
  • Sistemas dinámicos no lineales con atractores autoexcitados y ocultos (Eds.: Pham, Vaidyanathan, Volos et al.), Springer, 2018 ( doi:10.1007/978-3-319-71243-7 )

Conferencias seleccionadas

  • N. Kuznetsov, Conferencia invitada: La teoría de las oscilaciones ocultas y la estabilidad de los sistemas dinámicos , Taller Internacional de Matemáticas Aplicadas, República Checa, 2021
  • Conferencia plenaria del Premio Afraimovich: N. Kuznetsov. La teoría de las oscilaciones ocultas y la estabilidad de los sistemas dinámicos. Conferencia Internacional sobre Dinámica No Lineal y Complejidad, 2021.