Matriz de masas

En mecánica analítica , la matriz de masas es una matriz simétrica $M$ que expresa la relación entre la derivada temporal. $\mathbf {\dot {q}}$ del vector de coordenadas generalizadas $q$ de un sistema y la energía cinética $T$ de ese sistema, mediante la ecuación

T={\frac {1}{2}}\mathbf {\dot {q}} ^{\textsf {T}}\mathbf {M} \mathbf {\dot {q}}

dónde $\mathbf {\dot {q}} ^{\textsf {T}}$ denota la transpuesta del vector $\mathbf {\dot {q}}$ . ^{[ 1 ]} Esta ecuación es análoga a la fórmula para la energía cinética de una partícula con masa $m$ y velocidad $v$ , a saber:

T={\frac {1}{2}}m|\mathbf {v} |^{2}={\frac {1}{2}}\mathbf {v} \cdot m\mathbf {v}

y se puede derivar de ello, expresando la posición de cada partícula del sistema en términos de $q$ .

En general, la matriz de masa $M$ depende del estado $q$ y, por lo tanto, varía con el tiempo.

La mecánica lagrangiana produce una ecuación diferencial ordinaria (en realidad, un sistema de ecuaciones diferenciales acopladas) que describe la evolución de un sistema en términos de un vector arbitrario de coordenadas generalizadas que define completamente la posición de cada partícula en el sistema. La fórmula de energía cinética anterior es un término de esa ecuación, que representa la energía cinética total de todas las partículas.

Ejemplos

Sistema unidimensional de dos cuerpos

Sistema de masas en una dimensión espacial.

Por ejemplo, consideremos un sistema formado por dos masas puntuales confinadas a una trayectoria recta. El estado de dicho sistema puede describirse mediante un vector $q$ de dos coordenadas generalizadas, concretamente las posiciones de las dos partículas a lo largo de la trayectoria.

\mathbf {q} ={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}

Suponiendo que las partículas tienen masas $m 1, m 2$ , la energía cinética del sistema es

T=\sum _{i=1}^{2}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {x_{i}}}^{2}

Esta fórmula también se puede escribir como

T={\frac {1}{2}}{\dot {\mathbf {q} }}^{\textsf {T}}\mathbf {M} {\dot {\mathbf {q} }}

dónde

\mathbf {M} ={\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}

Sistema de N cuerpos

De forma más general, consideremos un sistema de $N$ partículas etiquetadas con un índice $i = 1, 2, \dots, N$ , donde la posición de la partícula número $i$ se define mediante $n i$ coordenadas cartesianas libres (donde $n i = 1, 2, 3$ ). Sea $q$ el vector columna que comprende todas esas coordenadas. La matriz de masas $M$ es la matriz diagonal de bloques donde en cada bloque los elementos diagonales son la masa de la partícula correspondiente: ^[²^]

\mathbf {M} =\operatorname {diag} \left[m_{1}\mathbf {I} _{n_{1}},\,m_{2}\mathbf {I} _{n_{2}},\,\ldots ,\,m_{N}\mathbf {I} _{n_{N}}\right]

donde $I n i$ es la matriz identidad $n i \times n i$ , o más precisamente:

\mathbf {M} ={\begin{bmatrix}m_{1}&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &m_{1}&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\0&\cdots &0&m_{2}&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &m_{2}&\cdots &0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &m_{N}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&\cdots &0&\cdots &0&\cdots &m_{N}\\\end{bmatrix}}

Mancuerna giratoria

Para un ejemplo menos trivial, consideremos dos objetos puntuales con masas $m₁ y m₂$ , unidos a los extremos de una barra rígida sin masa de longitud $2R$ $.$ $El$ conjunto puede girar y deslizarse libremente sobre un plano fijo. El estado del sistema se puede describir mediante el vector de coordenadas generalizado $.$

\mathbf {q} ={\begin{bmatrix}x&y&\alpha \end{bmatrix}}

donde $x, y$ son las coordenadas cartesianas del punto medio de la barra y $α$ es el ángulo de la barra con respecto a una dirección de referencia arbitraria. Las posiciones y velocidades de las dos partículas son

{\begin{aligned}x_{1}&=(x,y)+R(\cos \alpha ,\sin \alpha )&v_{1}&=\left({\dot {x}},{\dot {y}}\right)+R{\dot {\alpha }}(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\\x_{2}&=(x,y)-R(\cos \alpha ,\sin \alpha )&v_{2}&=\left({\dot {x}},{\dot {y}}\right)-R{\dot {\alpha }}(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\end{aligned}}

y su energía cinética total es

2T=m{\dot {x}}^{2}+m{\dot {y}}^{2}+mR^{2}{\dot {\alpha }}^{2}-2Rd\sin(\alpha ){\dot {x}}{\dot {\alpha }}+2Rd\cos(\alpha ){\dot {y}}{\dot {\alpha }}

dónde $m=m_{1}+m_{2}$ y $d=m_{1}-m_{2}$ Esta fórmula se puede escribir en forma matricial como

T={\frac {1}{2}}{\dot {\mathbf {q} }}^{\textsf {T}}\mathbf {M} {\dot {\mathbf {q} }}

dónde

\mathbf {M} ={\begin{bmatrix}m&0&-Rd\sin \alpha \\0&m&Rd\cos \alpha \\-Rd\sin \alpha &Rd\cos \alpha &R^{2}m\end{bmatrix}}

Tenga en cuenta que la matriz depende del ángulo actual $α$ de la barra.

Mecánica del continuo

Para las aproximaciones discretas de la mecánica de medios continuos, como en el método de elementos finitos , puede haber más de una forma de construir la matriz de masas, dependiendo de la precisión y el rendimiento computacional deseados. Por ejemplo, un método de masas concentradas, en el que se ignora la deformación de cada elemento, crea una matriz de masas diagonal y elimina la necesidad de integrar la masa a través del elemento deformado.

Véase también

Referencias

↑ Métodos matemáticos para física e ingeniería, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
↑ Mecánica analítica, LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978 0 521 57572 0

[Riley-1] Métodos matemáticos para física e ingeniería, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3

[Hand-2] Mecánica analítica, LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978 0 521 57572 0

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