Funtores de imagen para haces

En matemáticas , especialmente en la teoría de haces —un campo aplicado en áreas como la topología , la lógica y la geometría algebraica— existen cuatro functores imagen para haces que están relacionados entre sí en diversos sentidos.

Dada una aplicación continua f : X → Y de espacios topológicos y la categoría Sh(–) de haces de grupos abelianos sobre un espacio topológico. Los functores en cuestión son

• imagen directa f _∗  : Sh( X ) → Sh( Y )
• imagen inversa f ^∗  : Sh( Y ) → Sh( X )
• imagen directa con soporte compacto f _!  : Sh( X ) → Sh( Y )
• imagen inversa excepcional Rf ^!  : D (Sh( Y )) → D (Sh( X )).

El signo de exclamación a menudo se pronuncia " shriek " (jerga para signo de exclamación), y los mapas se llaman " f shriek" o " f lower shriek" y " f upper shriek"—véase también mapa shriek .

La imagen inversa excepcional se define generalmente solo a nivel de categorías derivadas . Consideraciones similares se aplican a los haces étales en esquemas .

Los functores son adjuntos entre sí como se muestra a la derecha, donde, como es habitual, significa que F es adjunto izquierdo de G (equivalentemente G adjunto derecho de F ), es decir ${\displaystyle F\leftrightarrows G}$

Hom ( F ( A ), B ) ≅ Hom( A , G ( B ))

para cualesquiera dos objetos A , B en las dos categorías adjuntas por F y G.

Por ejemplo, f ^∗ es el adjunto izquierdo de f _* . Según el razonamiento estándar con relaciones de adjunción, existen morfismos naturales de unidad y counidad para en Y y en X , respectivamente . Sin embargo, estos casi nunca son isomorfismos; véase el ejemplo de localización a continuación. ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{*}{\mathcal {G}}}$${\displaystyle f^{*}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

La dualidad de Verdier establece otro vínculo entre ellas: moralmente hablando, intercambia "∗" y "!", es decir, en la sinopsis anterior intercambia functores a lo largo de las diagonales. Por ejemplo, la imagen directa es dual a la imagen directa con soporte compacto. Este fenómeno se estudia y utiliza en la teoría de haces perversos .

Otra propiedad útil de los functores de imagen es el cambio de base . Dados los mapas continuos y , que inducen morfismos y , existe un isomorfismo canónico . ${\displaystyle f:X\rightarrow Z}$${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}$${\displaystyle {\bar {f}}:X\times _{Z}Y\rightarrow Y}$${\displaystyle {\bar {g}}:X\times _{Z}Y\rightarrow X}$${\displaystyle R{\bar {f}}_{*}R{\bar {g}}^{!}\cong Rf^{!}Rg_{*}}$

En la situación particular de un subespacio cerrado i : Z ⊂ X y el subconjunto abierto complementario j : U ⊂ X , la situación se simplifica en la medida en que para j ^∗ = j ^! e i _! = i _∗ y para cualquier haz F en X , se obtienen secuencias exactas

0 → j _! j ^∗ F → F → i _∗ i ^∗ F → 0

Sus lecturas duales Verdier

yo _∗ Ri ^! F → F → Rj _∗ j ^∗ F → i _∗ Ri ^! F [1],

un triángulo distinguido en la categoría derivada de haces en X .

Las relaciones de adyacencia leen en este caso

${\displaystyle i^{*}\leftrightarrows i_{*}=i_{!}\leftrightarrows i^{!}}$

y

${\displaystyle j_{!}\leftrightarrows j^{!}=j^{*}\leftrightarrows j_{*}}$.

• Seis operaciones

• Iversen, Birger (1986), Cohomología de gavillas , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, MR  0842190trata el entorno topológico
• Artín, Michael (1972). Alejandro Grothendieck ; Jean-Louis Verdier (eds.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 3 . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol. 305. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . págs.vi+640. doi : 10.1007/BFb0070714 . ISBN 978-3-540-06118-2. Trata el caso de haces étales en esquemas. Véase Exposé XVIII, sección 3.
• Milne, James S. (1980), Étale cohomology , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08238-7es otra referencia para el caso étale.