Módulo (matemáticas)

En matemáticas , un módulo es una generalización de la noción de espacio vectorial en la que el cuerpo de escalares se reemplaza por un anillo (no necesariamente conmutativo ) . El concepto de módulo también generaliza la noción de grupo abeliano , ya que los grupos abelianos son precisamente los módulos sobre el anillo de los enteros . ^{[ 1 ]}

Al igual que un espacio vectorial, un módulo es un grupo abeliano aditivo, y la multiplicación escalar es distributiva sobre las operaciones de suma entre elementos del anillo o módulo y es compatible con la multiplicación de anillos.

Los módulos están estrechamente relacionados con la teoría de la representación de grupos . También son una de las nociones centrales del álgebra conmutativa y del álgebra homológica , y se utilizan ampliamente en la geometría algebraica y la topología algebraica .

• Si K es un cuerpo , entonces los K -módulos se llaman K - espacios vectoriales (espacios vectoriales sobre K ).
• Si K es un cuerpo y K [ x ] un anillo de polinomios univariados , entonces un K [ x ]-módulo M es un K -módulo con una acción adicional de x sobre M mediante un homomorfismo de grupos que conmuta con la acción de K sobre M. En otras palabras, un K [ x ]-módulo es un espacio vectorial sobre K, M , combinado con una aplicación lineal de M a M. Aplicando el teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio de ideales principales a este ejemplo, se demuestra la existencia de las formas canónicas racional y de Jordan .
• El concepto de Z -módulo concuerda con la noción de grupo abeliano. Es decir, todo grupo abeliano es un módulo sobre el anillo de los enteros Z de una manera única. Para n > 0 , sea n ⋅ x = x + x + ... + x ( n sumandos), 0 ⋅ x = 0 y (− n ) ⋅ x = −( n ⋅ x ) . Dicho módulo no necesita tener una base ; los grupos que contienen elementos de torsión no la tienen. (Por ejemplo, en el grupo de los enteros módulo 3, no se puede encontrar ni un solo elemento que satisfaga la definición de conjunto linealmente independiente , ya que cuando un entero como 3 o 6 multiplica un elemento, el resultado es 0. Sin embargo, si un cuerpo finito se considera como un módulo sobre el mismo cuerpo finito tomado como un anillo, es un espacio vectorial y sí tiene una base).
• Las fracciones decimales (incluidas las negativas) forman un módulo sobre los enteros. Solo los conjuntos unitarios son linealmente independientes, pero no existe ningún conjunto unitario que pueda servir como base, por lo que el módulo no tiene base ni rango , en el sentido habitual del álgebra lineal. Sin embargo, este módulo tiene un rango libre de torsión igual a 1.
• Si R es un anillo cualquiera y n un número natural , entonces el producto cartesiano R ⁿ es un R -módulo tanto izquierdo como derecho sobre R si utilizamos operaciones componente a componente. Por lo tanto, cuando n = 1 , R es un R -módulo, donde la multiplicación escalar es simplemente una multiplicación de anillos. El caso n = 0 produce el R -módulo trivial {0} que consta únicamente de su elemento identidad. Los módulos de este tipo se denominan libres y, si R tiene un número base invariante (por ejemplo, cualquier anillo o cuerpo conmutativo), el número n es entonces el rango del módulo libre.
• Si M _n ( R ) es el anillo de matrices n × n sobre un anillo R , M es un M _n ( R )-módulo, y e _i es la matriz n × n con 1 en la entrada ( i , i ) (y ceros en el resto), entonces e _i M es un R -módulo, ya que re _i m = e _i rm ∈ e _i M . Así, M se descompone como la suma directa de R- módulos, M = e ₁ M ⊕ ... ⊕ e _n M . Recíprocamente, dado un R- módulo M ₀ , entonces M ₀ ^{⊕ n} es un M _n ( R )-módulo. De hecho, la categoría de R- módulos y la categoría de M _n ( R )-módulos son equivalentes . El caso especial es que el módulo M es simplemente R como módulo sobre sí mismo, entonces R ⁿ es un M _n ( R )-módulo.
• Si S es un conjunto no vacío , M es un R -módulo izquierdo, y M ^S es la colección de todas las funciones f : S → M , entonces con la suma y la multiplicación escalar en M ^S definidas puntualmente por ( f + g )( s ) = f ( s ) + g ( s ) y ( rf )( s ) = rf ( s ) , M ^S es un R -módulo izquierdo. El caso del R -módulo derecho es análogo. En particular, si R es conmutativo, entonces la colección de homomorfismos de R-módulos h : M → N (ver más abajo) es un R -módulo (y de hecho un submódulo de N ^M ).  
• Si X es una variedad diferenciable , entonces las funciones diferenciables de X a los números reales forman un anillo C ^∞ ( X ). El conjunto de todos los campos vectoriales diferenciables definidos en X forma un módulo sobre C ^∞ ( X ), al igual que los campos tensoriales y las formas diferenciales en X . De forma más general, las secciones de cualquier fibrado vectorial forman un módulo proyectivo sobre C ^∞ ( X ), y por el teorema de Swan , todo módulo proyectivo es isomorfo al módulo de secciones de algún fibrado vectorial; la categoría de módulos C ^∞ ( X ) y la categoría de fibrados vectoriales sobre X son equivalentes .
• Si R es cualquier anillo e I es cualquier ideal izquierdo en R , entonces I es un R -módulo izquierdo, y análogamente los ideales derechos en R son R -módulos derechos.
• Si R es un anillo, podemos definir el anillo opuesto R ^op , que tiene el mismo conjunto subyacente y la misma operación de suma, pero la multiplicación opuesta: si ab = c en R , entonces ba = c en R ^op . Cualquier R -módulo izquierdo M puede entonces verse como un módulo derecho sobre R ^op , y cualquier módulo derecho sobre R puede considerarse un módulo izquierdo sobre R ^op .
• Los módulos sobre un álgebra de Lie son (álgebra asociativa) módulos sobre su álgebra envolvente universal .
• Si R y S son anillos con un homomorfismo de anillos φ  : R → S , entonces todo S -módulo M es un R- módulo al definir rm = φ ( r ) m . En particular, S mismo es un R -módulo de este tipo.

Supongamos que M es un R -módulo izquierdo y N es un subgrupo de M. Entonces N es un submódulo (o más explícitamente un R -submódulo) si para cualquier n en N y cualquier r en R , el producto r ⋅ n (o n ⋅ r para un R -módulo derecho) está en N.

Si X es cualquier subconjunto de un R -módulo M , entonces el submódulo generado por X se define como${\textstyle \langle X\rangle =\,\bigcap _ {N\supseteq X}N}$donde N recorre los submódulos de M que contienen X , o explícitamente${\textstyle {\bigl \{}\!\sum _{i=1}^{k}r_{i}x_{i}\mathrel {\big |} r_{i}\in R,\,x_{i}\in X{\bigr \}}}$, lo cual es importante en la definición de productos tensoriales de módulos . ^{[ 3 ]}

El conjunto de submódulos de un módulo M dado , junto con las dos operaciones binarias + (el módulo generado por la unión de los argumentos) y ∩, forma un _retículo que satisface la ley modular : Dados los submódulos _U , N1 , N2 de M _tales que N1 ⊆ N2 , entonces los siguientes dos submódulos son iguales: ( _{N1 +} U ) ∩ N2 = _N1 + ( _U ∩ N2 ) _.

Si M y N son R- módulos izquierdos, entonces una aplicación f  : M → N es un homomorfismo de R- módulos si para cualesquiera m , n en M y r , s en R ,

${\displaystyle f(r\cdot m+s\cdot n)=r\cdot f(m)+s\cdot f(n)}$.

Esto, como cualquier homomorfismo de objetos matemáticos, es simplemente una aplicación que preserva la estructura de los objetos. Otro nombre para un homomorfismo de R -módulos es una aplicación lineal R.

Un homomorfismo de módulos biyectivo f  : M → N se denomina isomorfismo de módulos , y los dos módulos M y N se denominan isomorfos . Dos módulos isomorfos son idénticos a efectos prácticos, diferenciándose únicamente en la notación de sus elementos.

El núcleo de un homomorfismo de módulos f  : M → N es el submódulo de M que consta de todos los elementos que son enviados a cero por f , y la imagen de f es el submódulo de N que consta de valores f ( m ) para todos los elementos m de M . ^{[ 4 ]} Los teoremas de isomorfismo familiares de grupos y espacios vectoriales también son válidos para R -módulos.

Dado un anillo R , el conjunto de todos los R -módulos izquierdos junto con sus homomorfismos de módulos forma una categoría abeliana , denotada por R - Mod (véase categoría de módulos ).

Generado de forma finita

Un R -módulo M es finitamente generado si existen un número finito de elementos x ₁ , ..., x _n en M tales que cada elemento de M es una combinación lineal de esos elementos con coeficientes del anillo R .

Cíclico

Un módulo se denomina módulo cíclico si está generado por un solo elemento.

Gratis

Un R -módulo libre es un módulo que posee una base, o equivalentemente, una base isomorfa a una suma directa de copias del anillo R. Estos son los módulos que se comportan de manera muy similar a los espacios vectoriales.

Descriptivo

Los módulos proyectivos son sumandos directos de módulos libres y comparten muchas de sus propiedades deseables.

Inyectivo

Los módulos inyectivos se definen de forma dual a los módulos proyectivos.

Departamento

Un módulo se denomina plano si al tomar su producto tensorial con cualquier secuencia exacta de R -módulos se conserva la exactitud.

Sin torsión

Un módulo se denomina sin torsión si se puede incrustar en su dual algebraico .

Simple

Un módulo simple S es un módulo que no es {0} y cuyos únicos submódulos son {0} y S. Los módulos simples a veces se denominan irreducibles . ^{[ 5 ]}

Semisimple

Un módulo semisimple es una suma directa (finita o no) de módulos simples. Históricamente, estos módulos también se denominan completamente reducibles .

Indescomponible

Un módulo indescomponible es un módulo distinto de cero que no puede escribirse como suma directa de dos submódulos distintos de cero. Todo módulo simple es indescomponible, pero existen módulos indescomponibles que no son simples (por ejemplo, módulos uniformes ).

Fiel

Un módulo fiel M es aquel en el que la acción de cada r ≠ 0 en R sobre M no es trivial (es decir, r ⋅ x ≠ 0 para algún x en M ). Equivalentemente, el anulador de M es el ideal cero .

Sin torsión

Un módulo sin torsión es un módulo sobre un anillo tal que 0 es el único elemento anulado por un elemento regular (distinto de un divisor de cero ) del anillo, equivalentemente rm = 0 implica r = 0 o m = 0 .

Noetheriano

Un módulo noetheriano es un módulo que satisface la condición de cadena ascendente en los submódulos; es decir, toda cadena creciente de submódulos se vuelve estacionaria después de un número finito de pasos. De forma equivalente, todo submódulo es finitamente generado.

Artiniano

Un módulo artiniano es un módulo que satisface la condición de cadena descendente en los submódulos, es decir, toda cadena decreciente de submódulos se vuelve estacionaria después de un número finito de pasos.

Calificado

Un módulo graduado es un módulo sobre un anillo graduado R = ⨁ _x R _x junto con una descomposición en suma directa M = ⨁ _x M _x tal que R _x M _y ⊆ M _{x + y} para todo x e y .

Uniforme

Un módulo uniforme es un módulo en el que todos los pares de submódulos distintos de cero tienen una intersección distinta de cero.

• Módulo G
• Anillo de grupo
• Álgebra (teoría de anillos)
• Módulo (teoría de modelos)
• Espectro del módulo
• Aniquilador

• FW Anderson y KR Fuller: Anillos y categorías de módulos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 13, 2.ª ed., Springer-Verlag, Nueva York, 1992, ISBN 0-387-97845-3, ISBN 3-540-97845-3
• Nathan Jacobson . Estructura de los anillos . Publicaciones del Coloquio, Vol. 37, 2.ª ed., Librería de la AMS, 1964, ISBN 978-0-8218-1037-8

• "Módulo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• módulo en el laboratorio n