Número de base invariante

En el campo matemático de la teoría de anillos , un anillo R tiene la propiedad de número de base invariante ( IBN ) si todos los módulos libres finitamente generados sobre R tienen un rango bien definido. En el caso de los cuerpos , la propiedad IBN es el hecho de que los espacios vectoriales de dimensión finita tienen una dimensión única .

Un anillo R tiene número de base invariante (IBN) si para todos los enteros positivos m y n , R ^m isomorfo a R ⁿ (como R -módulos izquierdos) implica que m = n .

Equivalentemente, esto significa que no existen enteros positivos distintos m y n tales que R ^m sea isomorfo a R ⁿ .

Reformulando la definición de número de base invariante en términos de matrices, se establece que, siempre que A sea una matriz m × n sobre R y B sea una matriz n × m sobre R tal que AB = I y BA = I , entonces m = n . Esta forma revela que la definición es simétrica izquierda-derecha, por lo que no hay diferencia si definimos IBN en términos de módulos izquierdos o derechos; las dos definiciones son equivalentes. ^{[ 1 ]}

Tenga en cuenta que los isomorfismos en las definiciones no son isomorfismos de anillos, sino isomorfismos de módulos, incluso cuando uno de n o m es 1.

El objetivo principal de la condición de número de base invariante es que los módulos libres sobre un anillo IBN satisfagan un análogo del teorema de dimensión para espacios vectoriales : cualesquiera dos bases para un módulo libre sobre un anillo IBN tienen la misma cardinalidad. Suponiendo el lema del ultrafiltro (una forma estrictamente más débil del axioma de elección ), este resultado es en realidad equivalente a la definición aquí dada y puede tomarse como una definición alternativa.

El rango de un módulo libre R ⁿ sobre un anillo IBN R se define como la cardinalidad del exponente m de cualquier (y por lo tanto, de todo) R -módulo R ^m isomorfo a R ⁿ . Así, la propiedad IBN afirma que toda clase de isomorfismo de R -módulos libres tiene un rango único. El rango no está definido para anillos que no satisfacen IBN. Para espacios vectoriales, el rango también se denomina dimensión . Por lo tanto, el resultado anterior se resume así: el rango está definido de forma única para todos los R -módulos libres si y solo si está definido de forma única para los R -módulos libres finitamente generados .

Cualquier cuerpo satisface IBN, y esto equivale al hecho de que los espacios vectoriales de dimensión finita tienen una dimensión bien definida. Además, cualquier anillo conmutativo (excepto el anillo cero ) satisface IBN, ^{[ 2 ]} al igual que cualquier anillo noetheriano izquierdo y cualquier anillo semilocal .

Un ejemplo de un anillo no nulo que no satisface IBN es el anillo de matrices finitas por columna.${\displaystyle \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)}$, las matrices con coeficientes en un anillo R , con entradas indexadas por${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$y con cada columna teniendo solo un número finito de entradas distintas de cero. Ese último requisito nos permite definir el producto de matrices infinitas MN , dando la estructura de anillo. Un isomorfismo de módulo izquierdo${\displaystyle \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)\cong \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)^{2}}$está dado por: $${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\psi$$ :\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)&\to &\mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)^{2}\\M&\mapsto &({\text{columnas impares de }}M,{\text{columnas pares de }}M)\end{array}}}

Este anillo de matrices infinito resulta ser isomorfo a los endomorfismos de un módulo libre derecho sobre R de rango numerable . ^{[ 3 ]}

A partir de este isomorfismo, es posible demostrar (abreviando${\displaystyle \mathbb {CFM} _{\mathbb {N} }(R)=S}$) que S ≅ S ⁿ para cualquier entero positivo n , y por lo tanto S ⁿ ≅ S ^m para cualesquiera dos enteros positivos m y n . Hay otros ejemplos de anillos no IBN sin esta propiedad, entre ellos las álgebras de Leavitt . ^{[ 4 ]}

IBN es una condición necesaria (pero no suficiente) para que un anillo sin divisores de cero sea incrustable en un anillo de división (compárese con el cuerpo de fracciones en el caso conmutativo). Véase también la condición de Ore .

Todo anillo de división no trivial o anillo establemente finito tiene un número base invariante.

Todo anillo que satisface la condición de rango (es decir, que tiene un número generador no acotado ) debe tener un número base invariante. ^{[ 5 ]}

• Abrams, Gene; Ánh, PN (2002), "Algunas álgebras ultramatriciales que surgen como intersecciones de álgebras de Leavitt", J. Algebra Appl. , 1 (4): 357– 363, doi : 10.1142/S0219498802000227 , ISSN 0219-4988 , MR 1950131  
• Hungerford, Thomas W. (1980) [1974], Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  73, Nueva York: Springer-Verlag, pp.  xxiii+502, ISBN 0-387-90518-9, MR 0600654 Reimpresión del original de 1974
• Lam, Tsit Yuen (1999), Lecciones sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas, vol.  189, Nueva York: Springer-Verlag, pp.  xxiv+557, ISBN 0-387-98428-3, MR 1653294