anillo noetheriano

En matemáticas , un anillo noetheriano es un anillo que satisface la condición de cadena ascendente en ideales izquierdos y derechos . Si la condición de cadena se satisface solo para ideales izquierdos o para ideales derechos, entonces el anillo se denomina noetheriano izquierdo o noetheriano derecho , respectivamente. Formalmente, toda secuencia creciente${\displaystyle I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq I_{3}\subseteq \cdots }$de ideales de izquierda (o derecha) tiene el elemento más grande; es decir, existe un${\displaystyle n}$de tal manera que ${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=\cdots .}$

De forma equivalente, un anillo es noetheriano por la izquierda (o por la derecha) si todo ideal por la izquierda (o por la derecha) es finitamente generado . Un anillo es noetheriano si es noetheriano tanto por la izquierda como por la derecha.

Los anillos noetherianos son fundamentales tanto en la teoría de anillos conmutativa como en la no conmutativa , ya que muchos anillos que se encuentran en matemáticas son noetherianos (en particular, el anillo de los enteros , los anillos de polinomios y los anillos de enteros algebraicos en cuerpos numéricos ), y muchos teoremas generales sobre anillos dependen en gran medida de la propiedad noetheriana (por ejemplo, el teorema de Lasker-Noether y el teorema de intersección de Krull ).

Los anillos noetherianos reciben su nombre de Emmy Noether , pero la importancia del concepto fue reconocida anteriormente por David Hilbert , con la demostración del teorema de la base de Hilbert (que afirma que los anillos polinomiales son noetherianos) y el teorema de la sizigia de Hilbert .

Para anillos no conmutativos , es necesario distinguir entre tres conceptos muy similares:

• Un anillo es noetheriano por la izquierda si satisface la condición de cadena ascendente en los ideales de la izquierda.
• Un anillo es noetheriano por la derecha si satisface la condición de cadena ascendente sobre ideales por la derecha.
• Un anillo es noetheriano si es noetheriano tanto por la izquierda como por la derecha.

En los anillos conmutativos , los tres conceptos coinciden, pero en general son diferentes. Hay anillos que son noetherianos por la izquierda y no noetherianos por la derecha, y viceversa.

Existen otras definiciones equivalentes para que un anillo R sea noetheriano por la izquierda:

• Todo ideal izquierdo I en R es finitamente generado , es decir, existen elementos${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$en yo tal que${\displaystyle I=Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}}$. ^{[ 1 ]}
• Todo conjunto no vacío de ideales izquierdos de R , parcialmente ordenado por inclusión, tiene un elemento maximal . ^{[ 1 ]}

Se obtienen resultados similares para los anillos noetherianos derechos.

La siguiente condición es también una condición equivalente para que un anillo R sea noetheriano por la izquierda y es la formulación original de Hilbert : ^{[ 2 ]}

• Dada una secuencia${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$de elementos en R , existe un entero${\displaystyle n}$de tal manera que cada${\displaystyle f_{i}}$es una combinación lineal finita${\textstyle f_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{j}f_{j}}$con coeficientes${\displaystyle r_{j}}$en R.​

Para que un anillo conmutativo sea noetheriano, basta con que cada ideal primo del anillo sea finitamente generado. ^{[ 3 ]} Sin embargo, no basta con exigir que todos los ideales maximales sean finitamente generados, ya que existe un anillo local no noetheriano cuyo ideal maximal es principal (véase un contraejemplo al teorema de intersección de Krull en Anillo local#Caso conmutativo ).

• Si R es un anillo noetheriano, entonces el anillo polinomial${\displaystyle R[X]}$es noetheriano por el teorema de la base de Hilbert . Por inducción ,${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$es un anillo noetheriano. Además, R [[ X ]] , el anillo de la serie de potencias , es un anillo noetheriano.
• Si R es un anillo noetheriano e I es un ideal bilátero, entonces el anillo cociente R / I también es noetheriano. Dicho de otro modo, la imagen de cualquier homomorfismo de anillos de un anillo noetheriano es noetheriana.
• Toda álgebra conmutativa finitamente generada sobre un anillo noetheriano conmutativo es noetheriana. (Esto se deduce de las dos propiedades anteriores).
• Un anillo R es noetheriano por la izquierda si y solo si todo módulo R- izquierdo finitamente generado es un módulo noetheriano .
• Si un anillo conmutativo admite un módulo noetheriano fiel sobre él, entonces el anillo es un anillo noetheriano. ^{[ 4 ]}
• ( Eakin–Nagata ) Si un anillo A es un subanillo de un anillo noetheriano conmutativo B tal que B es un módulo finitamente generado sobre A , entonces A es un anillo noetheriano. ^{[ 5 ]}
• De manera similar, si un anillo A es un subanillo de un anillo noetheriano conmutativo B tal que B es fielmente plano sobre A (o, más generalmente, muestra A como un subanillo puro ), entonces A es un anillo noetheriano (véase el artículo "fielmente plano" para conocer el razonamiento).
• Toda localización de un anillo noetheriano conmutativo es noetheriana.
• Una consecuencia del teorema de Akizuki-Hopkins-Levitzki es que todo anillo artiniano izquierdo es noetheriano izquierdo. Otra consecuencia es que un anillo artiniano izquierdo es noetheriano derecho si y solo si es artiniano derecho. Las afirmaciones análogas, intercambiando "derecho" e "izquierdo", también son ciertas.
• Un anillo noetheriano izquierdo es coherente por la izquierda y un dominio noetheriano izquierdo es un dominio de Ore izquierdo .
• (Bajo) Un anillo es (izquierdo/derecho) noetheriano si y solo si toda suma directa de módulos (izquierdo/derecho) inyectivos es inyectiva. Todo módulo inyectivo izquierdo sobre un módulo noetheriano izquierdo puede descomponerse como una suma directa de módulos inyectivos indescomponibles . ^{[ 6 ]} Véase también #Implicación sobre módulos inyectivos más abajo.
• En un anillo noetheriano conmutativo, solo existen un número finito de ideales primos mínimos . Además, la condición de cadena descendente se cumple para los ideales primos.
• En un dominio noetheriano conmutativo R , cada elemento puede factorizarse en elementos irreducibles (en resumen, R es un dominio de factorización ). Por lo tanto, si, además, la factorización es única salvo la multiplicación de los factores por unidades , entonces R es un dominio de factorización único .

• Cualquier cuerpo, incluidos los cuerpos de los números racionales , los números reales y los números complejos , es noetheriano. (Un cuerpo solo tiene dos ideales : él mismo y (0)).
• Cualquier anillo de ideales principales , como el de los números enteros, es noetheriano, ya que cada ideal está generado por un único elemento. Esto incluye los dominios de ideales principales y los dominios euclidianos .
• Un dominio de Dedekind (por ejemplo, anillos de enteros ) es un dominio noetheriano en el que cada ideal está generado por como máximo dos elementos.
• El anillo de coordenadas de una variedad afín es un anillo noetheriano, como consecuencia del teorema de la base de Hilbert.
• El álgebra envolvente U de un álgebra de Lie de dimensión finita${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un anillo noetheriano tanto izquierdo como derecho; esto se deduce del hecho de que el anillo graduado asociado de U es un cociente de${\displaystyle \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}})}$, que es un anillo de polinomios sobre un cuerpo (el teorema PBW ); por lo tanto, noetheriano. ^{[ 7 ]} Por la misma razón, el álgebra de Weyl y anillos más generales de operadores diferenciales son noetherianos. ^{[ 8 ]}
• El anillo de polinomios en un número finito de variables sobre los números enteros o un cuerpo es noetheriano.

Los anillos que no son noetherianos tienden a ser (en cierto sentido) muy grandes. Aquí hay algunos ejemplos de anillos no noetherianos:

• El anillo de polinomios en infinitas variables, X ₁ , X ₂ , X ₃ , etc. La secuencia de ideales ( X ₁ ), ( X ₁ , X ₂ ), ( X ₁ , X ₂ , X ₃ ), etc. es ascendente y no termina.
• El anillo de todos los enteros algebraicos no es noetheriano. Por ejemplo, contiene la cadena ascendente infinita de ideales principales: (2), (2 ^1/2 ), (2 ^1/4 ), (2 ^1/8 ), ...
• El anillo de funciones continuas de los números reales a los números reales no es noetheriano: Sea I _n el ideal de todas las funciones continuas f tales que f ( x ) = 0 para todo x ≥ n . La secuencia de ideales I ₀ , I ₁ , I ₂ , etc., es una cadena ascendente que no termina.
• El anillo de grupos homotópicos estables de esferas no es noetheriano. ^{[ 9 ]}

Sin embargo, un anillo no noetheriano puede ser un subanillo de un anillo noetheriano. Dado que cualquier dominio de integridad es un subanillo de un cuerpo, cualquier dominio de integridad que no sea noetheriano proporciona un ejemplo. Para dar un ejemplo menos trivial,

• El anillo de funciones racionales generado por x e y / x ⁿ sobre un cuerpo k es un subanillo del cuerpo k ( x , y ) en solo dos variables.

De hecho, existen anillos que son noetherianos por la derecha, pero no por la izquierda, por lo que hay que tener cuidado al medir el "tamaño" de un anillo de esta manera. Por ejemplo, si L es un subgrupo de Q ² isomorfo a Z , sea R el anillo de homomorfismos f de Q ² a sí mismo que satisfacen f ( L ) ⊂ L . Eligiendo una base, podemos describir el mismo anillo R como

${\displaystyle R=\left\{\left.{\begin{bmatrix}a&\beta \\0&\gamma \end{bmatrix}}\,\right\vert \,a\in \mathbf {Z} ,\beta \in \mathbf {Q} ,\gamma \in \mathbf {Q} \right\}.}$

Este anillo es noetheriano por la derecha, pero no por la izquierda; el subconjunto I ⊂ R que consta de elementos con a = 0 y γ = 0 es un ideal izquierdo que no está finitamente generado como un R -módulo izquierdo.

Si R es un subanillo conmutativo de un anillo noetheriano izquierdo S , y S es finitamente generado como un R -módulo izquierdo, entonces R es noetheriano. ^{[ 10 ]} (En el caso especial en que S es conmutativo, esto se conoce como el teorema de Eakin ). Sin embargo, esto no es cierto si R no es conmutativo: el anillo R del párrafo anterior es un subanillo del anillo noetheriano izquierdo S = Hom( Q ² , Q ² ), y S es finitamente generado como un R -módulo izquierdo , pero R no es noetheriano izquierdo.

Un dominio de factorización única no es necesariamente un anillo noetheriano. Sí satisface una condición más débil: la condición de cadena ascendente sobre ideales principales . Un anillo de polinomios con infinitas variables es un ejemplo de dominio de factorización única no noetheriano.

Un anillo de valuación no es noetheriano a menos que sea un dominio de ideales principales. Esto proporciona un ejemplo de un anillo que surge naturalmente en la geometría algebraica pero que no es noetheriano.

Muchos teoremas importantes en la teoría de anillos (especialmente la teoría de anillos conmutativos ) se basan en la suposición de que los anillos son noetherianos.

Dado un anillo, existe una estrecha relación entre el comportamiento de los módulos inyectivos sobre el anillo y si este es un anillo noetheriano o no. Es decir, dado un anillo R , las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• R es un anillo noetheriano izquierdo.
• (Bajo) Cada suma directa de R- módulos izquierdos inyectivos es inyectiva. ^{[ 6 ]}
• Cada R -módulo izquierdo inyectivo es una suma directa de módulos inyectivos indescomponibles . ^{[ 13 ]}
• (Faith–Walker) Existe un número cardinal${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$de tal manera que cada módulo izquierdo inyectivo sobre R es una suma directa de${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$-módulos generados (un módulo es${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$-generado si tiene un conjunto generador de cardinalidad como máximo${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$). ^{[ 14 ]}
• Existe un R -módulo izquierdo H tal que todo R -módulo ^izquierdo se incrusta en una suma directa de copias de H. [ ^{15 ]}

El anillo de endomorfismos de un módulo inyectivo indescomponible es local ^{[ 16 ]} y por lo tanto el teorema de Azumaya dice que, sobre un anillo noetheriano izquierdo, cada descomposición indescomponible de un módulo inyectivo es equivalente a otra (una variante del teorema de Krull-Schmidt ).

• Esquema noetheriano
• anillo artiniano
• Anillo de Jaffard

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• "Anillo noetheriano" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]