Teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt

En matemáticas , más concretamente en la teoría de las álgebras de Lie , el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt (o teorema PBW ) es un resultado que proporciona una descripción explícita del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie. Recibe su nombre de Henri Poincaré , Garrett Birkhoff y Ernst Witt .

Los términos teorema de tipo PBW y teorema PBW también pueden referirse a varios análogos del teorema original, que comparan un álgebra filtrada con su álgebra graduada asociada, en particular en el área de grupos cuánticos .

Recordemos que cualquier espacio vectorial V sobre un cuerpo tiene una base ; esta es un conjunto S tal que cualquier elemento de V es una combinación lineal única (finita) de elementos de S. En la formulación del teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt consideramos bases cuyos elementos están totalmente ordenados por alguna relación que denotamos ≤.

Si L es un álgebra de Lie sobre un cuerpo K , sea h la aplicación lineal canónica K de L al álgebra envolvente universal U ( L ).

Teorema . ^{[ 1 ]} Sea L un álgebra de Lie sobre K y X una base totalmente ordenada de L. Un monomio canónico sobre X es una sucesión finita ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) de elementos de X que no es decreciente en el orden ≤, es decir, x ₁ ≤ x ₂ ≤ ... ≤ x _n . Extendemos h a todos los monomios canónicos de la siguiente manera: si ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) es un monomio canónico, sea

${\displaystyle h(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=h(x_{1})\cdot h(x_{2})\cdots h(x_{n}).}$

Entonces h es inyectiva en el conjunto de monomios canónicos y la imagen de este conjunto.${\displaystyle \{h(x_{1},\ldots ,x_{n})|x_{1}\leq ...\leq x_{n}\}}$forma una base para U ( L ) como espacio vectorial K.

Dicho de otra manera, consideremos Y = h ( X ). Y está totalmente ordenado por el orden inducido por X . El conjunto de monomios

${\displaystyle y_{1}^{k_{1}}y_{2}^{k_{2}}\cdots y_{\ell }^{k_{\ell }}}$

donde y ₁ < y ₂ < ... < y _n son elementos de Y , y los exponentes son no negativos , junto con la unidad multiplicativa 1, forman una base para U ( L ). Nótese que el elemento unitario 1 corresponde al monomio canónico vacío. El teorema afirma entonces que estos monomios forman una base para U ( L ) como espacio vectorial. Es fácil ver que estos monomios generan U ( L ); el contenido del teorema es que son linealmente independientes.

La estructura multiplicativa de U ( L ) está determinada por las constantes de estructura en la base X , es decir, los coeficientes${\displaystyle c_{u,v}^{x}}$de tal manera que

${\displaystyle [u,v]=\sum _{x\in X}c_{u,v}^{x}\;x.}$

Esta relación permite reducir cualquier producto de y a una combinación lineal de monomios canónicos: las constantes estructurales determinan y _i y _j – y _j y _i , es decir, qué hacer para cambiar el orden de dos elementos de Y en un producto. Este hecho, salvo un argumento inductivo sobre el grado de los monomios (no canónicos), demuestra que siempre se pueden obtener productos cuyos factores estén ordenados de forma no decreciente.

El teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt puede interpretarse en el sentido de que el resultado final de esta reducción es único y no depende del orden en que se intercambien los elementos adyacentes.

Corolario . Si L es un álgebra de Lie sobre un cuerpo, la aplicación canónica L → U ( L ) es inyectiva. En particular, cualquier álgebra de Lie sobre un cuerpo es isomorfa a una subálgebra de Lie de un álgebra asociativa.

Ya en sus primeras etapas, se sabía que K podía ser reemplazado por cualquier anillo conmutativo, siempre que L fuera un K -módulo libre , es decir, que tuviera una base como la descrita anteriormente.

Para extenderlo al caso en que L ya no es un K -módulo libre, es necesario hacer una reformulación que no utilice bases. Esto implica reemplazar el espacio de monomios en alguna base con el álgebra simétrica , S ( L ), en L .

En el caso de que K contenga el cuerpo de los números racionales, se puede considerar la aplicación natural de S ( L ) a U ( L ), enviando un monomio${\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{n}}$, para${\displaystyle v_{i}\in L}$, al elemento

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}v_{\sigma (1)}v_{\sigma (2)}\cdots v_{\sigma (n)}.}$

Entonces, se tiene el teorema de que este mapa es un isomorfismo de K -módulos.

Aún más general y naturalmente, se puede considerar U ( L ) como un álgebra filtrada , equipada con la filtración dada al especificar que${\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{n}}$se encuentra en grado filtrado${\displaystyle \leq n}$. El mapa L → U ( L ) de K -módulos se extiende canónicamente a un mapa T ( L ) → U ( L ) de álgebras, donde T ( L ) es el álgebra tensorial en L (por ejemplo, por la propiedad universal de las álgebras tensoriales), y este es un mapa filtrado que equipa a T ( L ) con la filtración que coloca a L en grado uno (en realidad, T ( L ) es graduado). Luego, pasando al graduado asociado, se obtiene un morfismo canónico T ( L ) → gr U ( L ), que mata los elementos vw - wv para v, w ∈ L , y por lo tanto desciende a un morfismo canónico S ( L ) → gr U ( L ). Entonces, el teorema PBW (graduado) puede reformularse como la afirmación de que, bajo ciertas hipótesis, este morfismo final es un isomorfismo de álgebras conmutativas .

Esto no es cierto para todos los K y L (véase, por ejemplo, la última sección del artículo de Cohn de 1961), pero sí lo es en muchos casos. Estos incluyen los ya mencionados, donde L es un K -módulo libre (y, por lo tanto, siempre que K sea un cuerpo), o donde K contiene el cuerpo de los números racionales. De forma más general, el teorema PBW, tal como se formuló anteriormente, se extiende a casos como aquellos en los que (1) L es un K -módulo plano, (2) L es libre de torsión como grupo abeliano , (3) L es una suma directa de módulos cíclicos (o todas sus localizaciones en ideales primos de K tienen esta propiedad), o (4) K es un dominio de Dedekind . Véase, por ejemplo, el artículo de Higgins de 1969 para estas afirmaciones.

Finalmente, cabe señalar que, en algunos de estos casos, también se obtiene la afirmación más fuerte de que el morfismo canónico S ( L ) → gr U ( L ) se eleva a un isomorfismo de K- módulos S ( L ) → U ( L ), sin tomar graduados asociados. Esto es cierto en los primeros casos mencionados, donde L es un K -módulo libre, o K contiene el cuerpo de los números racionales, utilizando la construcción descrita aquí (de hecho, el resultado es un isomorfismo de coalgebra , y no meramente un isomorfismo de K -módulos, equipando tanto a S ( L ) como a U ( L ) con sus estructuras de coalgebra naturales tales que${\displaystyle \Delta (v)=v\otimes 1+1\otimes v}$para v ∈ L ). Sin embargo, esta afirmación más contundente podría no extenderse a todos los casos del párrafo anterior.

En cuatro artículos de la década de 1880, Alfredo Capelli demostró, con diferente terminología, lo que ahora se conoce como el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt en el caso de${\displaystyle L={\mathfrak {gl}}_{n},}$el álgebra de Lie lineal general ; mientras que Poincaré la enunció más tarde de forma más general en 1900. ^{[ 2 ]} Armand Borel dice que estos resultados de Capelli fueron "completamente olvidados durante casi un siglo" , y no sugiere que Poincaré estuviera al tanto del resultado de Capelli. ^{[ 2 ]}

Ton-That y Tran ^{[ 3 ]} investigaron la historia del teorema. Descubrieron que la mayoría de las fuentes anteriores al libro de Bourbaki de 1960 lo denominaban teorema de Birkhoff-Witt. Siguiendo esta antigua tradición, Fofanova ^{[ 4 ]} , en su entrada enciclopédica, afirma que Poincaré obtuvo la primera variante del teorema. Añade que, posteriormente, Witt y Birkhoff lo demostraron completamente. Al parecer, las fuentes anteriores a Bourbaki desconocían el trabajo de Poincaré.

Birkhoff ^{[ 5 ]} y Witt ^{[ 6 ]} no mencionan el trabajo de Poincaré en sus artículos de 1937. Cartan y Eilenberg ^{[ 7 ]} llaman al teorema Teorema de Poincaré-Witt y atribuyen la demostración completa a Witt. Bourbaki ^{[ 8 ]} fueron los primeros en usar los tres nombres en su libro de 1960. Knapp presenta una clara ilustración de la tradición cambiante. En su libro de 1986 ^{[ 9 ]} lo llama Teorema de Birkhoff-Witt , mientras que en su libro posterior de 1996 ^{[ 10 ]} cambia a Teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt .

No está claro si el resultado de Poincaré fue completo. Ton-That y Tran ^{[ 3 ]} concluyen que "Poincaré había descubierto y demostrado completamente este teorema al menos treinta y siete años antes que Witt y Birkhoff" . Por otro lado, señalan que "Poincaré hace varias afirmaciones sin molestarse en probarlas" . Sus propias demostraciones de todos los pasos son bastante largas, según admiten. Borel afirma que Poincaré " demostró más o menos el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt " en 1900. ^{[ 2 ]}

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