Grupo policíclico

En matemáticas , un grupo policíclico es un grupo resoluble que satisface la condición máxima sobre los subgrupos (es decir, cada subgrupo es finitamente generado ). Los grupos policíclicos son finitamente presentados , lo que los hace interesantes desde el punto de vista computacional.

De forma equivalente, un grupo G es policíclico si y solo si admite una serie subnormal con factores cíclicos, es decir, un conjunto finito de subgrupos, digamos G ₀ , ..., G _n tales que

• G _n coincide con G
• G ₀ es el subgrupo trivial
• G _i es un subgrupo normal de G _{i +1} (para cada i entre 0 y n - 1)
• y el grupo cociente G _{i +1} / G _i es un grupo cíclico (para cada i entre 0 y n - 1)

Un grupo metacíclico es un grupo policíclico con n ≤ 2, o en otras palabras, una extensión de un grupo cíclico mediante otro grupo cíclico.

Ejemplos de grupos policíclicos incluyen grupos abelianos finitamente generados, grupos nilpotentes finitamente generados y grupos finitos resolubles. Anatoly Maltsev demostró que los subgrupos resolubles del grupo lineal general entero son policíclicos; y posteriormente Louis Auslander (1967) y Swan demostraron lo contrario, que cualquier grupo policíclico es, salvo isomorfismo, un grupo de matrices enteras. ^{[ 1 ]} El holomorfo de un grupo policíclico también es un grupo de matrices enteras de este tipo. ^{[ 2 ]}

Se dice que un grupo policíclico G es fuertemente policíclico si cada cociente G _{i +1} / G _i es infinito. Cualquier subgrupo de un grupo fuertemente policíclico también es fuertemente policíclico.

Un grupo virtualmente policíclico es un grupo que posee un subgrupo policíclico de índice finito , un ejemplo de propiedad virtual . Dicho grupo necesariamente posee un subgrupo policíclico normal de índice finito, y por lo tanto, estos grupos también se denominan grupos policíclicos por finitos . Si bien los grupos policíclicos por finitos no necesariamente son resolubles, aún poseen muchas de las propiedades de finitud de los grupos policíclicos; por ejemplo, satisfacen la condición de máximo, son finitamente presentados y residualmente finitos .

En el libro de texto ( Scott 1964 , Cap. 7.1) y algunos artículos , un grupo M se refiere a lo que ahora se llama un grupo policíclico por finito , que por el teorema de Hirsch también puede expresarse como un grupo que tiene una serie subnormal de longitud finita con cada factor un grupo finito o un grupo cíclico infinito .

Estos grupos son particularmente interesantes porque son los únicos ejemplos conocidos de anillos de grupo noetherianos ( Ivanov 1989 ) , o anillos de grupo de dimensión inyectiva finita.

La longitud de Hirsch o número de Hirsch de un grupo policíclico G es el número de factores infinitos en su serie subnormal.

Si G es un grupo policíclico finito, entonces la longitud de Hirsch de G es igual a la longitud de Hirsch de un subgrupo normal policíclico H de G , donde H tiene índice finito en G. Esto es independiente de la elección del subgrupo, ya que todos estos subgrupos tendrán la misma longitud de Hirsch.

• teoría de grupos
• Grupo supersoluble

• Ivanov, SV (1989), "Anillos grupales de grupos noetherianos", Akademiya Nauk SSSR. Matematicheskie Zametki , 46 (6): 61– 66, ISSN 0025-567X , SEÑOR 1051052  
• Scott, WR (1964), Teoría de grupos , Prentice-Hall, págs. 45–46 , MR 0167513  ; reimpreso por Dover Publications , 1987, ISBN 978-0-486-65377-8