Módulo sin torsión

En álgebra abstracta , un módulo M sobre un anillo R se denomina sin torsión si puede incrustarse en algún producto directo R ^I. Equivalentemente, M es sin torsión si cada elemento no nulo de M tiene una imagen no nula bajo algún funcional R -lineal f :

${\displaystyle f\in M^{\ast }=\operatorname {Hom} _{R}(M,R),\quad f(m)\neq 0.}$

Esta noción fue introducida por Hyman Bass . ^{[ 1 ]}

Un módulo es sin torsión si y solo si el mapa canónico en su doble dual ,

${\displaystyle M\to M^{\ast \ast }=\operatorname {Hom} _{R}(M^{\ast },R),\quad m\mapsto (f\mapsto f(m)),m\in M,f\in M^{\ast },}$

es inyectivo . Si este mapa es biyectivo, entonces el módulo se llama reflexivo . Por esta razón, los módulos sin torsión también se conocen como semirreflexivos .

• Un módulo libre unitario no tiene torsión. De forma más general, una suma directa de módulos sin torsión tampoco tiene torsión.
• Un módulo libre es reflexivo si es finitamente generado , y para algunos anillos también existen módulos libres infinitamente generados que son reflexivos. Por ejemplo, la suma directa de una cantidad numerable de copias de los enteros es un módulo reflexivo sobre los enteros, véase, por ejemplo, ^{[ 2 ] .}

• Un submódulo de un módulo sin torsión es sin torsión. En particular, cualquier módulo proyectivo sobre R es sin torsión; cualquier ideal izquierdo de R es un módulo izquierdo sin torsión, y lo mismo ocurre con los ideales derechos.
• Cualquier módulo sin torsión sobre un dominio es un módulo libre de torsión , pero lo contrario no es cierto, ya que Q es un Z -módulo libre de torsión que no es sin torsión.
• Si R es un anillo conmutativo que es un dominio de integridad y M es un módulo finitamente generado sin torsión, entonces M puede incrustarse en R ⁿ , y por lo tanto M no tiene torsión.
• Supongamos que N es un R -módulo derecho; entonces su dual N ^* tiene la estructura de un R -módulo izquierdo. Resulta que cualquier R -módulo izquierdo que surja de esta manera carece de torsión (de forma similar, cualquier R -módulo derecho que sea dual de un R -módulo izquierdo carece de torsión).
• Sobre un dominio de Dedekind , un módulo finitamente generado es reflexivo si y solo si es libre de torsión. ^{[ 3 ]}
• Sea R un anillo noetheriano y M un módulo reflexivo finitamente generado sobre R. Entonces${\displaystyle M\otimes _{R}S}$es un módulo reflexivo sobre S siempre ^que S sea plano sobre R. ^{[ 4} ]

Stephen Chase demostró la siguiente caracterización de anillos semihereditarios en relación con módulos sin torsión:

Para cualquier anillo R , las siguientes condiciones son equivalentes: ^{[ 5 ]}

• R es semihereditario por la izquierda.
• Todos los R -módulos derechos sin torsión son planos .
• El anillo R es coherente por la izquierda y satisface cualquiera de las cuatro condiciones que se sabe que son equivalentes:
  • Todos los ideales correctos de R son planos.
  • Todos los ideales izquierdos de R son planos.
  • Los submódulos de todos los R -módulos planos por la derecha son planos.
  • Los submódulos de todos los R -módulos planos por la izquierda son planos.

(La mezcla de adjetivos de izquierda/derecha en la frase no es un error).

• Dominio Prüfer
• haz reflexivo