Secuencia espectral de Leray

En matemáticas , la sucesión espectral de Leray fue un ejemplo pionero en álgebra homológica , introducida en 1946 ^{[ 1 ] [ 2 ]} por Jean Leray . Actualmente se la suele considerar un caso especial de la sucesión espectral de Grothendieck .

Dejar${\displaystyle f:X\to Y}$sea ​​una aplicación continua de espacios topológicos, que en particular da un functor${\displaystyle f_{*}}$de haces de grupos abelianos en${\displaystyle X}$a haces de grupos abelianos en${\displaystyle Y}$. Componiendo esto con el functor${\displaystyle \Gamma }$de tomar secciones en${\displaystyle {\text{Sh}}_{\text{Ab}}(Y)}$es lo mismo que tomar secciones en${\displaystyle {\text{Sh}}_{\text{Ab}}(X)}$, por definición del functor de imagen directa${\displaystyle f_{*}}$:

${\displaystyle \mathrm {Sh_{Ab}} (X)\xrightarrow {f_{*}} \mathrm {Sh_{Ab}} (Y)\xrightarrow {\Gamma } \mathrm {Ab} .}$

Así, los functores derivados de${\displaystyle \Gamma \circ f_{*}}$calcular la cohomología de haces para${\displaystyle X}$:

${\displaystyle R^{i}(\Gamma \cdot f_{*})({\mathcal {F}})=H^{i}(X,{\mathcal {F}}).}$

Pero porque${\displaystyle f_{*}}$y${\displaystyle \Gamma }$enviar objetos inyectivos en${\displaystyle {\text{Sh}}_{\text{Ab}}(X)}$a${\displaystyle \Gamma }$- objetos acíclicos en${\displaystyle {\text{Sh}}_{\text{Ab}}(Y)}$, hay una secuencia espectral ^{[ 3 ] pág. 33,19} cuya segunda página es

${\displaystyle E_{2}^{pq}=(R^{p}\Gamma \cdot R^{q}f_{*})({\mathcal {F}})=H^{p}(Y,R^{q}f_{*}({\mathcal {F}})),}$

y que converge a

${\displaystyle E^{p+q}=R^{p+q}(\Gamma \circ f_{*})({\mathcal {F}})=H^{p+q}(X,{\mathcal {F}}).}$

Esto se denomina secuencia espectral de Leray .

Dejar${\displaystyle f\colon X\to Y}$sea ​​una aplicación continua de variedades diferenciables .${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$es una cubierta abierta de${\displaystyle Y}$, forman el complejo Čech de un haz${\displaystyle {\mathcal {F}}\in {\text{Sh}}(X)}$con respecto a la cobertura${\displaystyle f^{-1}(U)}$de${\displaystyle X}$:

${\displaystyle {\text{C}}^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$

Los mapas de límites${\displaystyle d^{p}\colon C^{p}\to C^{p+1}}$y mapas${\displaystyle \delta ^{q}\colon \Omega _{X}^{q}\to \Omega _{X}^{q+1}}$de gavillas en${\displaystyle X}$En conjunto, proporcionan un mapa de límites en el complejo doble.${\displaystyle {\text{C}}^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{q})}$

${\displaystyle D=d+\delta \colon C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet })\longrightarrow C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet }).}$

Este complejo doble es también un complejo simple graduado por${\displaystyle n=p+q}$, respecto de la cual${\displaystyle D}$es un mapa de límites. Si cada intersección finita de la${\displaystyle U_{i}}$es difeomorfo a${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, se puede demostrar que la cohomología

${\displaystyle H_{D}^{n}(C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet }))=H_{\text{dR}}^{n}(X,\mathbb {R} )}$

de este complejo es la cohomología de de Rham de${\displaystyle X}$. ^{[ 4 ] : 96} Además, ^{[ 4 ] : 179 [ 5 ]} cualquier complejo doble tiene una secuencia espectral E con

${\displaystyle E_{\infty }^{n-p,p}={\text{the }}p{\text{th graded part of }}H_{dR}^{n}(C^{\bullet }(f^{-1}{\mathcal {U}},\Omega _{X}^{\bullet }))}$

(de modo que la suma de estos es${\displaystyle H_{dR}^{n}}$), y

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},{\mathcal {H}}^{q}),}$

dónde${\displaystyle {\mathcal {H}}^{q}}$¿es el prehaz en Y enviando ?${\displaystyle U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)}$En este contexto , esto se denomina secuencia espectral de Leray.

La definición moderna engloba esto, porque el functor de imagen directa superior${\displaystyle R^{p}f_{*}(F)}$es la gavillación de la pregavilla${\displaystyle U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F)}$.

• Dejar${\displaystyle X,F}$ser colectores lisos y${\displaystyle X}$estar simplemente conectados , así que${\displaystyle \pi _{1}(X)=0}$Calculamos la secuencia espectral de Leray de la proyección.${\displaystyle f\colon X\times F\to X}$. Si la portada${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}}$es bueno (las intersecciones finitas son${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) entonces

${\displaystyle {\mathcal {H}}^{p}(f^{-1}U_{i})\simeq H^{q}(F)}$

Desde${\displaystyle X}$es simplemente conectado, cualquier prehaz constante localmente es constante, por lo tanto, este es el prehaz constante.${\displaystyle H^{q}(F)={\underline {\mathbb {R} }}^{n_{q}}}$. Así pues, la segunda página de la secuencia espectral de Leray es

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},H^{q}(F))=H^{p}(f^{-1}{\mathcal {U}},\mathbb {R} )\otimes H^{q}(F)}$

Como la portada${\displaystyle \{f^{-1}(U_{i})\}_{i\in I}}$de${\displaystyle X\times F}$también es bueno,${\displaystyle H^{p}(f^{-1}(U_{i});\mathbb {R} )\cong H^{p}(f;\mathbb {R} )}$. Entonces

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(X)\otimes H^{q}(F)\ \Longrightarrow \ H^{p+q}(X\times F,\mathbb {R} )}$

Aquí es el primer lugar donde usamos eso${\displaystyle f}$es una proyección y no solo un haz de fibras: cada elemento de${\displaystyle E_{2}}$es una forma diferencial cerrada real en todo${\displaystyle X\times F}$, por lo que aplicamos tanto d como${\displaystyle \delta }$A ellos les da cero. Por lo tanto${\displaystyle E_{\infty }=E_{2}}$Esto demuestra el teorema de Künneth para${\displaystyle X}$simplemente conectados:

${\displaystyle H^{\bullet }(X\times Y,\mathbb {R} )\simeq H^{\bullet }(X)\otimes H^{\bullet }(Y)}$

• Si${\displaystyle f\colon X\to Y}$es un haz de fibra general con fibra${\displaystyle F}$, lo anterior se aplica, excepto que${\displaystyle V^{p}\to H^{p}(f^{-1}V,H^{q})}$es solo un prehaz constante localmente, no constante.

• Todos los cálculos de ejemplo con la secuencia espectral de Serre son la secuencia de Leray para el haz constante.

En la categoría de variedades cuasiproyectivas sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$, existe un teorema de degeneración demostrado por Pierre Deligne y Blanchard para la sucesión espectral de Leray, que establece que un morfismo proyectivo suave de variedades${\displaystyle f\colon X\to Y}$nos da que el${\displaystyle E_{2}}$-página de la secuencia espectral para${\displaystyle {\underline {\mathbb {Q} }}_{X}}$degenerados, por lo tanto

${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Q} )\cong \bigoplus _{p+q=k}H^{p}(Y;\mathbf {R} ^{q}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})).}$

Se pueden calcular ejemplos sencillos si Y está simplemente conectado; por ejemplo, una intersección completa de dimensión${\displaystyle \geq 2}$(esto se debe al homomorfismo de Hurewicz y al teorema del hiperplano de Lefschetz ). En este caso, los sistemas locales${\displaystyle \mathbf {R} ^{q}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})}$tendrá monodromía trivial, por lo tanto${\displaystyle \mathbf {R} ^{q}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus l_{q}}}$Por ejemplo, consideremos una familia suave.${\displaystyle f\colon X\to Y}$de curvas de género 3 sobre una superficie K3 suave . Entonces, tenemos que

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})&\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}\\\mathbf {R} ^{1}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})&\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6}\\\mathbf {R} ^{2}f_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})&\cong {\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}\end{aligned}}}$

dándonos el${\displaystyle E_{2}}$-página

${\displaystyle E_{2}=E_{\infty }={\begin{bmatrix}H^{0}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{2}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{4}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})\\H^{0}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6})&0&H^{2}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6})&0&H^{4}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y}^{\oplus 6})\\H^{0}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{2}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})&0&H^{4}(Y;{\underline {\mathbb {Q} }}_{Y})\end{bmatrix}}}$

En la época en que Leray desarrolló su trabajo, ninguno de los dos conceptos involucrados (secuencia espectral y cohomología de haces) había alcanzado un estado definitivo. Por lo tanto, rara vez se cita el resultado de Leray en su forma original. Tras un arduo trabajo, en particular en el seminario de Henri Cartan , se obtuvo la formulación moderna, aunque no la secuencia espectral general de Grothendieck.

Anteriormente (1948/9), las implicaciones para los fibrados se extrajeron en una forma formalmente idéntica a la de la secuencia espectral de Serre , que no utiliza haces. Sin embargo, este tratamiento se aplicó a la cohomología de Alexander-Spanier con soportes compactos , tal como se aplicó a mapas propios de espacios de Hausdorff localmente compactos, ya que la derivación de la secuencia espectral requería un haz fino de álgebras graduadas diferenciales reales en el espacio total, que se obtuvo al retroceder el complejo de De Rham a lo largo de una incrustación en una esfera. Jean-Pierre Serre , quien necesitaba una secuencia espectral en homología que se aplicara a fibraciones de espacios de caminos , cuyos espacios totales casi nunca son localmente compactos, no pudo utilizar la secuencia espectral original de Leray y, por lo tanto, derivó una secuencia espectral relacionada cuya variante cohomológica coincide, para un fibrado compacto en un espacio bien comportado, con la secuencia anterior.

En la formulación alcanzada por Alexander Grothendieck hacia 1957, la secuencia espectral de Leray es la secuencia espectral de Grothendieck para la composición de dos functores derivados .

• Secuencia espectral de Serre - para más ejemplos
• Secuencia espectral de Grothendieck : para la teoría abstracta, engloba la construcción de la secuencia espectral de Leray.
• Módulo Hodge mixto

• Secuencia espectral de Leray. Artículo en la Enciclopedia de Matemáticas.
• Secuencia espectral de Leray para espacios anillados. Artículo en el proyecto The Stacks.